第三讲+条件异方差模型.ppt

1、1,条件异方差模型,Eviews中条件方差或变量波动性模型通常有如下几个原因: 首先，我们可能要分析持有某项资产的风险；其次，预测置信区间可能是时变性的，所以可以通过建立残差方差模型得到更精确的区间；第三，如果误差的异方差是能适当控制的，我们就能得到更有效的估计。,2,自回归条件异方差模型 自回归条件异方差(Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model， ARCH)模型是特别用来建立条件方差模型并对其进行预测的。 ARCH模型是1982年由恩格尔(Engle, R.)提出，并由博勒斯莱文(Bollerslev, T., 1986)发展成

2、为GARCH (Generalized ARCH)广义自回归条件异方差。这些模型被广泛的应用于经济学的各个领域。尤其在金融时间序列分析中。 按照通常的想法，自相关的问题是时间序列数据所特有，而异方差性是横截面数据的特点。但在时间序列数据中，会不会出现异方差呢？会是怎样出现的？,3,恩格尔和克拉格（Kraft, D., 1983）在分析宏观数据时，发现这样一些现象：时间序列模型中的扰动方差稳定性比通常假设的要差。恩格尔的结论说明在分析通货膨胀模型时，大的及小的预测误差会大量出现，表明存在一种异方差，其中预测误差的方差取决于后续扰动项的大小。,4,从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时间序列

3、预测的研究工作者，曾发现他们对这些变量的预测能力随时期的不同而有相当大的变化。预测的误差在某一时期里相对地小，而在某一时期里则相对地大，然后，在另一时期又是较小的。这种变异很可能由于金融市场的波动性易受谣言、政局变动、政府货币与财政政策变化等等的影响。从而说明预测误差的方差中有某种相关性。 为了刻画这种相关性，恩格尔提出自回归条件异方差(ARCH)模型。ARCH的主要思想是时刻 t 的ut 的方差(= t2 )依赖于时刻(t 1)的扰动项平方的大小，即依赖于 t2- 1 。,5,ARCH模型 k -变量回归模型： 如果 ut 的均值为零， ut 的方差依赖于前期的平方扰动项，我们称它为ARCH

4、(1)过程：,6,容易加以推广，ARCH (p)过程可以写为： 这时方差方程中的(p+1)个参数0, 1, 2, , p也要和回归模型中的参数0, 1, 2, , k一样，利用极大似然估计法进行估计。,7,如果扰动项方差中没有自相关，就会有 H0 ： 这时 从而得到扰动项方差的同方差性情形。 恩格尔曾表明，容易通过以下的回归去检验上述虚拟假设： 其中，t 表示从原始回归模型估计得到的OLS残差。,8,ARCH的检验,下面介绍检验一个模型的残差是否含有ARCH效应的两种方法：ARCH LM检验和残差平方相关图检验。 1. ARCH LM检验 Engle在1982年提出检验残差序列中是否存在ARC

5、H效应的拉格朗日乘数检验（Lagrange multiplier test），即ARCH LM检验。自回归条件异方差性的这个特殊的设定，是由于人们发现在许多金融时间序列中，残差的大小与最近的残差值有关。ARCH本身不能使标准的OLS估计无效，但是，忽略ARCH影响可能导致有效性降低。,9,ARCH LM检验统计量由一个辅助检验回归计算。为检验原假设：残差中直到q阶都没有ARCH，运行如下回归： 式中 t 是残差。这是一个对常数和直到 q 阶的滞后平方残差所作的回归。这个检验回归有两个统计量： （1）F 统计量是对所有残差平方的滞后的联合显著性所作的一个省略变量检验； （2）TR2 统计量是En

6、gles LM检验统计量，它是观测值个数 T 乘以回归检验的 R2 ；,10,普通回归方程的ARCH检验都是在残差检验下拉列表中进行的，需要注意的是，只有使用最小二乘法、二阶段最小二乘法和非线性最小二乘法估计的方程才有此项检验。,Breusch-Pagan-Godfrey Harvey Glejser ARCH White Custom Test Wizard,普通方程的ARCH检验列表,11,残差平方相关图 显示直到所定义的滞后阶数的残差平方t2的自相关系数和偏自相关系数，计算出相应滞后阶数的Ljung-Box统计量。残差平方相关图可以用来检查残差自回归条件异方差性（ARCH）。如果残差中不

7、存在ARCH，在各阶滞后自相关和偏自相关系数应为0，且Q统计量应不显著。可适用于LS，TSLS，非线性LS方程。在上图中选择Residuals Tests/ Correlogram Squared Residuals项，它是对方程进行残差平方相关图的检验。单击该命令，会弹出一个输入计算自相关和偏自相关系数的滞后阶数设定的对话框，默认的设定为36，单击OK按钮，得到检验结果。,12,沪市股票价格指数波动的ARCH检验 为了检验股票价格指数的波动是否具有条件异方差性，本例选择了沪市股票的收盘价格指数的日数据作为样本序列，这是因为上海股票市场不仅开市早，市值高，对于各种冲击的反应较为敏感，因此，本例

8、所分析的沪市股票价格波动具有一定代表性。在这个例子中，我们选择的样本序列sp是1996年1月1日至2006年12月31日的上海证券交易所每日股票价格收盘指数，为了减少舍入误差，在估计时，对sp进行自然对数处理，即将序列ln(sp)作为因变量进行估计。,13,由于股票价格指数序列常常用一种特殊的单位根过程随机游动（Random Walk）模型描述，所以本例进行估计的基本形式为： 首先利用最小二乘法，估计了一个普通的回归方程，结果如下： (2.35) (951) R2= 0.997,14,可以看出，这个方程的统计量很显著，而且，拟合 的程度也很好。但是需要检验这个方程的误差项是否存在条件异方差性。

9、,15,股票价格指数方程回归残差,观察上图，该回归方程的残差，我们可以注意到波动的“成群”现象：波动在一些较长的时间内非常小，在其他一些较长的时间内非常大，这说明残差序列存在高阶ARCH效应。,16,因此，对上式进行条件异方差的ARCH LM检验，得到了在滞后阶数p = 3时的ARCH LM检验结果如下。此处的P值为0，拒绝原假设，说明其残差序列存在ARCH效应。,可以计算方程残差平方t2的自相关（AC）和偏自相关（PAC）系数，结果说明残差序列存在ARCH效应。,17,中国CPI模型的ARCH检验 因变量为中国的消费价格指数（上年同月=100）减去100，记为cpit；解释变量选择货币政策变

10、量：狭义货币供应量M1的增长率，记为m1rt；3年期贷款利率，记为Rt，样本期间是1994年1月2007年12月。由于是月度数据，利用X-12季节调整方法对 cpit 和 m1rt 进行了调整，结果如下： t = (19.5) (-5.17) (2.88) (-2.74) R2=0.99 对数似然值 = -167.79 AIC = 2.045 SC =2.12,18,这个方程的统计量很显著，拟合的程度也很好。但是观察该回归方程的残差图，也可以注意到波动的“成群”现象：波动在一些时期内较小，在其他一些时期内较大，这说明误差项可能具有条件异方差性。,19,从自相关系数和偏自相关系数可以看出：残差序

11、列存在着一阶ARCH效应。再进行条件异方差的ARCH LM检验，得到了在滞后阶数p = 1时的ARCH LM检验结果：,因此计算残差平方t2的自相关（AC）和偏自相关（PAC）系数，结果如下：,20,从自相关系数和偏自相关系数可以看出：残差序列存在着一阶ARCH效应。因此利用ARCH(1)模型重新估计模型，结果如下： 均值方程： z = (12.53) (-1.53) (4.72) (-3.85) 方差方程： z = (5.03) (3.214) R2=0.99 对数似然值 = -151.13 AIC = 1.87 SC = 1.98 方差方程中的ARCH项的系数是统计显著的，并且对数似然值有

12、所增加，同时AIC和SC值都变小了，这说明ARCH(1)模型能够更好的拟合数据。,21,再对这个方程进行条件异方差的ARCH LM检验，得到了残差序列在滞后阶数p=1时的统计结果： 此时的相伴概率为0.69，接受原假设，认为该残差序列不存在ARCH效应，说明利用ARCH(1)模型消除了模型残差序列的条件异方差性。残差平方相关图的检验结果为： 自相关系数和偏自相关系数近似为0。这个结果也说明了残差序列不再存在ARCH效应。,22,GARCH模型 扰动项 ut 的方差常常依赖于很多时刻之前的变化量，因此必须估计很多参数，而这一点很难精确的做到。但是如果我们能够意识到下式不过是 t2 的分布滞后模型

13、， 我们就能够用一个或两个 t2 的滞后值代替许多 ut2 的滞后值，这就是广义自回归条件异方差模型(generalized autoregressive conditional heteroscedasticity model，简记为GARCH模型)。在GARCH模型中，要考虑两个不同的设定：一个是条件均值，另一个是条件方差。,23,在标准化的GARCH(1,1)模型中： 均值方程 方差方程 其中：xt 是 (k+1)1维外生变量向量， 是(k+1)1维系数向量。 均值方程是一个带有扰动项的外生变量函数。由于t2是以前面信息为基础的一期向前预测方差 ，所以它被称作条件方差，方差方程也被称作条

14、件方差方程 。,24,条件方差方程是下面三项的函数： 1常数项（均值）： 2用均值方程的扰动项平方的滞后来度量从前期得到的波动性的信息： ut2-1（ARCH项）。 3上一期的预测方差： t2-1 （GARCH项）。 GARCH(1,1)模型中的(1,1)是指阶数为1的GARCH项（括号中的第一项）和阶数为1的ARCH项（括号中的第二项）。一个普通的ARCH模型是GARCH模型的一个特例，GARCH(0,1)，即在条件方差方程中不存在滞后预测方差t2-1的说明。,25,高阶GARCH(p, q)模型 高阶GARCH模型可以通过选择大于1的 p 或 q 得到估计，记作GARCH(q, p)。其方

15、差表示为： 这里，q 是GARCH项的阶数， p是ARCH项的阶数，p0并且, (L)和(L)是滞后算子多项式。,26,为了使GARCH(q, p)模型的条件方差有明确的定义，相应的ARCH()模型 的所有系数都必须是正数。只要(L)和(L)没有相同的根并且(L)的根全部位于单位圆外，那么当且仅当0=0/(1-(L)，(L)=(L)/(1-(L)的所有系数都非负时，这个正数限定条件才会满足。例如，对于GARCH(1, 1)模型 这些条件要求所有的3个参数都是非负数。,27,ARCH-M模型 金融理论表明具有较高可观测到风险的资产可以获得更高的平均收益，其原因在于人们一般认为金融资产的收益应当与

16、其风险成正比，风险越大，预期的收益就越高。这种利用条件方差表示预期风险的模型被称为ARCH均值模型(ARCH-in-mean)或ARCH-M回归模型。在ARCH-M中我们把条件方差引进到均值方程中: ARCH-M模型的另一种不同形式是将条件方差换成条件标准差： 或取对数,28,ARCH-M模型通常用于关于资产的预期收益与预期风险紧密相关的金融领域。预期风险的估计系数是风险收益交易的度量。例如，我们可以认为某股票指数，如上证的股票指数的收益率（returet）依赖于一个常数项及条件方差(风险)： 这种类型的模型（其中期望风险用条件方差表示）就称为GARCH-M模型。,29,在EViews中估计A

17、RCH模型,估计GARCH和ARCH模型，首先选择Object/ New Object/ Equation，然后在Method的下拉菜单中选择ARCH，得到如下的对话框。,ARCH模型定义对话框,30,与选择估计方法和样本一样，需要指定均值方程和方差方程。 一、均值方程(Mean equation) 在因变量编辑栏中输入均值方程形式，均值方程的形式可以用回归列表形式列出因变量及解释变量。如果方程包含常数，可在列表中加入C。如果需要一个更复杂的均值方程，可以用公式的形式输入均值方程。,31,如果解释变量的表达式中含有ARCHM项，就需要点击对话框右上方对应的按钮。EViews中的ARCH-M的下

18、拉框中，有4个选项： 1.选项None表示方程中不含有ARCHM项； 2.选项Std.Dev.表示在方程中加入条件标准差； 3.选项Variance则表示在方程中含有条件方差 2。 4.选项Log(Var)，表示在均值方程中加入条件方差的对数ln( 2)作为解释变量。,32,二、方差设定和分布设定 (Variance and distribution specification) EViews的选择模型类型列表 (1) 在下拉列表中可以选择所要估计的ARCH模型的类型。,33,设定了模型形式以后，就可以选择ARCH项和GARCH项的阶数。缺省的形式为包含一阶ARCH项和一阶GARCH项的模型，

19、这是现在最普遍的设定。 如果估计一个非对称的模型，就应该在Threshold编辑栏中输入非对称项的数目，缺省的设置是不估计非对称的模型，即该选项的个数为0。可以估计含有多个非对称项的非对称模型。,34,（2）在Variance栏中，可以根据需要列出包含在方差方程中的外生变量。由于EViews在进行方差回归时总会包含一个常数项作为解释变量，所以不必在变量表中列出C。 （3）约束（Restriction）下拉列表则允许我们进行IGARCH约束或者方差目标（variance target）约束，当然也可以不进行任何约束（None）。,35,(4) Error组合框可以设定误差的分布形式： 缺省的形式

20、：Normal（Gaussian）， 备选的选项有： Students-t； Generalized Error（GED）； Students-t with fixed df.； GED with fixed parameter。 需要注意，选择了后两个选项的任何一项都会弹出一个选择框，需要在这个选择框中分别为这两个分布的固定参数设定一个值。,36,三、估计选项（Options） EViews为我们提供了可以进入许多估计方法的设置。只要点击Options按钮并按要求填写对话即可。,37,沪市股票价格指数波动的GARCH模型 利用GARCH(1，1)模型估计结果如下：,38,ARCH估计的结果可

21、以分为两部分：上半部分提供了均值方程的标准结果；下半部分，即方差方程包括系数，标准误差，z-统计量和方差方程系数的P值。在方程中ARCH的参数对应于，GARCH的参数对应于 。在表的底部是一组标准的回归统计量，使用的残差来自于均值方程。 注意如果在均值方程中不存在回归量，那么这些标准回归统计量，例如R2也就没有意义了。,39,利用GARCH(1, 1)模型重新估计例6.1的方程如下： 均值方程： (2.74) (1480) 方差方程： (13.49) (17.69) (75.61) R2=0.997,40,方差方程中的ARCH项和GARCH项的系数都是统计显著的，说明这个模型能够更好的拟合数据

22、。再对这个方程进行条件异方差的ARCHLM检验，取滞后阶数p=3。结果统计量的相伴概率为P = 0.927，说明利用GARCH模型消除了原残差序列的异方差效应。ARCH项和GARCH项的系数和小于1，满足参数约束条件。,41,利用GARCH(0, 1)模型重新估计中国CPI模型 均值方程： (12.53) (-1.53) (4.72) (-3.85) 方差方程： (5.03) (3.21) R2=0.997,42,方差方程中的ARCH项的系数是统计显著的，并且对数似然值有所增加，同时AIC和SC值都变小了，这说明ARCH(1)模型能够更好的拟合数据。再对这个方程进行异方差的ARCH LM检验，

23、得到的残差序列在滞后阶数p=1时的统计结果： 接受原假设，认为该残差序列不存在ARCH效应，说明利用ARCH(1)模型消除了残差序列的条件异方差性。,43,残差平方相关图的检验结果为： 自相关系数和偏自相关系数近似为0。这个结果也说明了残差序列不再存在ARCH效应。,44,例估计我国股票收益率的ARCHM模型 选择的时间序列是1996年1月1日至2006年12月31日的上海证券交易所每日股票价格收盘指数sp，股票的收益率是根据公式：re ln(spt /spt-1) ，即股票价格收盘指数对数的差分计算出来的。 ARCH-M模型： re + t + ut,45,46,估计出的结果写成方程: 均值

24、方程: (-2.5) (2.9) 方差方程: (12.46) (18.38) (74.8) 对数似然值 = 8126 AIC = -5.66 SC = -5.65 在收益率方程中包括 t 的原因是为了在收益率的生成过程中融入风险测量，这是许多资产定价理论模型的基础 “均值方程假设” 的含义。在这个假设下， 应该是正数，结果 = 0.21，因此我们预期较大值的条件标准差与高收益率相联系。估计出的方程的所有系数都很显著。并且方差方程系数 + 之和小于1，满足平稳条件。均值方程中t 的系数为0.21，表明当市场中的预期风险增加一个百分点时，就会导致收益率也相应的增加0.21个百分点。,47,非对称A

25、RCH模型,在资本市场中，经常可以发现这样的现象：资产的向下运动通常伴随着比之程度更强的向上运动。为了解释这一现象，Engle和Ng（1993）绘制了好消息和坏消息的非对称信息曲线， 波动性 0 信息,48,资本市场中的冲击常常表现出一种非对称效应。这种非对称性是十分有用的，因为它允许波动率对市场下跌的反应比对市场上升的反应更加迅速，因此被称为“杠杆效应”，是许多金融资产的一个重要事实特征。例如，许多研究人员发现了股票价格行为的非对称实例负的冲击似乎比正的冲击更容易增加波动。本节将介绍2种能够描述这种非对称冲击的模型：TARCH模型和EGARCH模型。,49,TARCH模型 TARCH或者门限

26、(Threshold)ARCH模型由Zakoian (1990) 和Glosten，Jafanathan，Runkle(1993)独立的引入。条件方差指定为： 其中，dt-1是虚拟变量：当ut-10)和坏消息(ut 0 ，我们说存在杠杆效应，非对称效应的主要效果是使得波动加大；如果 0 ，则非对称效应的作用是使得波动减小。,50,许多研究人员发现了股票价格行为的非对称的实例 。负的冲击似乎比正的冲击更容易增加波动。因为较低的股价减少了相对公司债务的股东权益，股价的大幅下降增加了公司的杠杆作用从而提高了持有股票的风险。 估计TARCH模型，EViews要在Threshold选项中填“1” ，表明

27、有1个非对称项，可以有多个。,51,对于高阶TARCH模型的制定，EViews将其估计为：,52,中国CPI的TARCH模型 本例利用我国消费价格指数CPI和货币政策变量数据建立TARCH模型: 均值方程： 方差方程：,53,估计结果如下：,54,写成方程： 均值方程： z = (13.14) (-2.59) (3.67) (-2.77) 方差方程： z = (8.14) (2.55) (-1.87) R2=0.99 对数似然值=-150.27 AIC=1.87 SC=2.0,55,在TARCH模型中，非对称效应项的系数 显著不等于零，说明本例的CPI波动具有非对称效应。ut-1 0是“好消息

28、”，此时CPI大于货币政策的拟合值；ut-1 0，则 dt-1 0 ，所以该冲击会给CPI带来一个 = 0.69倍的冲击。 而出现“坏消息”时，ut-1 0，此时 dt-1 1 ，则“坏消息”仅会带来一个 = 0.69+(-0.568)= 0.122 倍的冲击。 由于非对称效应项的系数 是负数，因此所带来的冲击是减少CPI的波动，表明货币政策的实施能够减少价格的波动。,56,EGARCH模型,EGARCH或指数（Exponential）GARCH模型由纳尔什（Nelson，1991）提出。条件方差被指定为： 等式左边是条件方差的对数，这意味着杠杆影响是指数的，而不是二次的，所以条件方差的预测值一定是非负的。杠杆效应的存在能够通过 0)和坏消息(ut 0)对条件方差有不同的影响：好消息有一个 + 的冲击；坏消息有一个对 + (-1) 的冲击。如果 0，则信息是非对称的。,57,EViews指定了更高阶的EGARCH模型： 估计EGARCH模型只要选择ARCH指定设置下的EGARCH 项即可。 克里斯汀(Christie，1982)的研究认为，当股票价格下降时