数学建模山猫问题

1、数学建模论文题目： 山猫数量的变化及趋势 设计人1： 姓名 魏 蕾 学院自动化与电气工程学院班级 自动控制081 学号 200808618 设计人2： 姓名 罗雅允 学院自动化与电气工程学院班级 自动控制081 学号 200808620 设计人3： 姓名 赵述达 学院自动化与电气工程学院班级 自动控制081 学号 200808606 山猫数量的变化及趋势摘要本问题假设100只山猫在较好、中等及较差的自然环境下，年平均增长率分别为1.68%， 0.55%和-4.50%，根据单一控制变量原理，排除山猫出现迁入和迁出现象，环境条件不随时间变化，山猫没有受到大的自然、人为灾害，是在自然条件下的结果，在

2、此基础上，通过模型的建立对山猫数量在不同自然环境下逐年变化的研究，考虑在捕获山猫时山猫的灭绝问题，以及给人工繁殖提供一个可行的方案，对其他动物的研究，可类似于山猫问题处理，因而有着广泛的应用。针对问题1、2，我们可建立指数模型，在指数模型中，建立山猫数量与时间（年份）的关系（指数函数关系），画出变化图形，即可解决问题1。对于问题2，通过指数多项式函数的建立，在不同的捕获数量下，根据函数的变化趋势，我们可判断山猫是否会灭绝，这样可防止过度捕获而引起的物种灭绝问题，同时进行适当的捕获，也可最大限度的利用资源针对问题3，通过建立指数模型和微分方程建模，分析函数数据变化可得，在人工繁殖的条件下，可将山

3、猫的数量稳定在某数值左右，即山猫的数量变化率接近0，这可应用到生产中，给人工繁殖提供一个可行的方案，使山猫数量稳定于一定值，有效地控制山猫的数量，同时，对其他动物的研究，可类似于山猫问题处理，因而有着广泛的应用。关键词：山猫数量 指数模型 微分建模 一、问题重述 动物数量逐年变化的研究，在动物保护、人工繁殖、饲养方面都有着广泛的应用。我们主要通过对山猫数量逐年变化的研究，将山猫在不同自然环境下25年的数量变化图示化，考虑在捕获山猫时山猫的灭绝问题，以及给人工繁殖提供一个可行的方案，使山猫数量稳定于一定值。对其他动物的研究，可类似于山猫问题处理，因而有着广泛的应用。 具体问题如下：某种山猫在较好

4、、中等及较差的自然环境下，年平均增长率分别为1.68%，0.55%和-4.50%，假设开始时有100只山猫，按以下情况讨论山猫数量逐年变化过程及趋势。(1)3种自然环境下25年的变化过程(结果要列表并图示)(2)如果每年捕获3只，会发生什么情况? 山猫会灭绝吗?(3)在较差的自然环境下，如果想要山猫的数量稳定在60只左右，每年要人工繁殖多少只?二、模型的假设1.在一定区域（一个森林）范围内，山猫没有出现迁入和迁出现象，并且它们都有相同的出生率与死亡率。2假设山猫数量n是时间t的函数，且连续。3.在一段时间内山猫没有受到大的自然、人为灾害。4.山猫在较好、中等及较差的自然环境条件下的每年平均增长

5、率不随时间而发生改变。三、问题的参数1n0：表示山猫数量的初始值2r1、r2、r3：分别表示在较好、中等及较差的自然环境下的年平均增长率3t：年份4n1、n2、n3：分别表示第t年山猫的数量5a:表示每年需人工饲养的山猫数四、问题的分析1变化率 b:山猫数量n是关于时间t的函数，r为山猫平均年增长率，当给t一个增量t时，则有 n(t+t)- n(t)/ t=n*r ，而当t趋于0时，b=n/t= n*r。2.山猫数量：n = n0+b = n0*(1+r)t，若r0 ,随着时间的增长，山猫数量 n 以几何级数的形式增长，且当 t时，n；若r0，随着时间的增长，山猫数量n以几何级数的形式递减至0

6、。五、 模型的建立与求解问题1 我们建立的数学模型如下：题目：已知山猫在较好、中等及较差的自然环境条件下的每年平均增长率分别为r1=1.68%，r2=0.55%和r3=-4.50%，山猫数量初始值n0=100，并且第t年的山猫数量为n（t）=n0*(1+r)t,其中1t25。求解：当r 分别取r1,r2,r3时n的值为多少？解：应用turbo c软件编程求解n的值，并绘制表格。程序如下：运行结果如下：根据运行结果绘制表格：增长率山猫数量年份r1r2r3110110095210310191310510187410610283510810279611010375711210372811410469

7、9116105661011810563111201066012122106571312410755141261085215128108501613010947171321094518135110431913711141201391113921141112382214411236231461133424149114332515111431利用mallab可画出山猫在3种自然环境下25年的变化过程(作图)：x=0:1:25; y1=(1+0.0168).x)*100;y2=(1+0.0055).x)*100;y3=(1-0.045).x)*100; plot(x,y1,*r,x,y2,*b,x,y

8、3,*k); legend(较好,中等,较差); xlabel(时间t轴); gtext(y1轴);gtext(y2轴);gtext(y3轴); title(双坐标曲线)山猫25年的变化过程图：问题2每年捕获三只，则山猫在较好的自然环境下数量变化：第一年，y1=100*(1+1.68%)-3；第二年，y1=100*(1+1.68%)2-3*(1+1.68%)-3；第三年，y1=100*(1+1.68%).3-3*(1+1.68%)2-3*(1+1.68%)-3；第x年，y1=100*(1+1.68%).x-3*(1-1.0168.x)/(1-1.0168)；同理可得，山猫在中等的自然环境下数量

9、变化为：y2=100*(1+0.55%).x-3*(1-1.0055.x)/(1-1.0055)；山猫在较差的自然环境下数量变化为：y3=100*(1-4.5%).x-3*(1-(1-0.045).x)/0.045；用matlab做出m文件程序如下：hold on;x=0:1:25;y1=100*(1+1.68/100).x-3*(1-1.0168.x)/(1-1.0168);plot(y1,*r);y2=100*(1+0.55/100).x-3*(1-1.0055.x)/(1-1.0055);plot(y2,b.);y3=100*(1-4.5/100).x-3*(1-(1-0.045).x)

10、/0.045;plot(y3,k:);legend(较好,中等,较差);变化如图所示：由图示知，在捕获3只的情况下，山猫数量在三种自然环境下都呈下降趋势，其中较差环境下已濒临灭绝。问题3在较差的自然环境下，如果想要山猫的数量稳定在60只左右，那么，我们设每年需要人工饲养的山猫数为a,则y3=100*(1-4.5%).x+a*(1-(1-4.5%).x)/4.5% ；在t年以后山猫数量逐渐稳定在60只左右，那么山猫增长率就为0，即xt时，y3=60，dy3(t)=0。用matlab作m文件程序如下：syms a t x;y3=100*(1-4.5%).x+a*(1-(1-0.045).x)/4.

11、5%;solve(y3(t)=60,x=t, dy3(t)=0)计算可得a=2.7(只)。稳定趋势如图：由于在实际生活中a只能取整数，故对a=2或a=3再进一步讨论。进一步校正如下：当a=2时，y3函数如图：由图示显然不满足数量稳定于60，故a=2不合适。当a=3时，y3函数如图：由图取a=3,即每年人工繁殖需3只才更合适，使得在较差环境下山猫数量稳定在60只左右。六、模型检验在问题1的源程序中，对 t取不同的值，求得对应的山猫数量如下：由表分析可知，当t 值不断变大时，n1、n2不断增长，趋于无穷大，而n3减小至0。因此，该模型在t值较小时比较适用，而当t较大时模型需要改进。七、模型优缺点该

12、模型在t值较小时比较适用，能过准确的预测山猫数量的变化趋势，而当t较大时对山猫数量变化趋势的预测不准确，所以模型需要改进。八、模型改进1. 在考虑捕获山猫对其的灭绝问题时，可不必单独对捕获1、2或3只考虑，而应对捕获m只一般性考虑，编写程序在不同数量评价的标准n的情况下，并输出相应的“灭绝”、“骤减”等更详细的结果。2. 在判断物种是否濒临灭绝时，能相应的再考虑怎样具体的保护该物种不致灭绝，建立合理化的模型，给出合理的方案，是可以进一步研究的课题。例如，改善物种的生活环境，人工繁殖等等。3. 在建立模型解需人工繁殖多少只来稳定物种数量时，对于解出的非整数解的处理还需要改进，有时取其邻近整数解并

13、不可靠，而且通过图像分别考虑其整数解的是否合适，在实际生活中也不十分可行，模型也需要改进。4. 选用模型太过理想，需要添加阻碍r，则有 dn/dt = (r-kn)*n = rn-kn2n(t0) = n0解得 n(t)=1/k/n+(1/ n0-k/r)*e-rt,由此可得（1）当t时，n(t)r/k ，称 r/k 为最大环境容纳量，为渐近线；（2）dn/dt = k(r/k-n)*n0，为增函数；（3）d2n/dt = r dn/dt 2kn*dn/dt = (r-2kn) dn/dt , 当rr/2k时，d2n/dt2 2kn时，即n0,为凹函数；由上可得结论：随着时间t的不断增长，山猫数量在到达中最大环境容纳量一半之前，将会加速增长；在到达中最大环境容纳量一半之后，将呈减速增长，不断趋向于最大环境容纳量，即最大值r/k。参考文献1沈文选,杨清桃.数学建模引导.哈尔滨工业大学出版社.2008.12赵静,但琦.数学建模与数学实验(第二版).高等教育出版社.2003.63刘来福,曾文艺.数学模型