现代控制理论第七章

1、离散系统的基本概念 两类离散系统： （1）采样控制系统或脉冲控制系统 离散信号是脉冲序列（时间上离散） （2）数字控制系统或计算机控制系统 离散信号是数字序列（时间上离散、幅值上整量化）,理想采样过程的数学描述：,采样信号的Laplace变换：,零阶保持器：,对应的L变换,零阶保持器的特性： （1）低通特性 （2）相角迟后特性 （3）时间迟后特性 （平均迟后时间 T/2）,(4) 单位斜坡信号 e(t)=t，则,（3） 单位理想脉冲序列 e(t)=T(t),（1） 单位脉冲函数 e(t)=(t),（2） 单位阶跃函数 e(t)=1(t),(5) 指数函数 e(t)= e-at (a为实常数，则

2、,这是一个公比为(e-aTz-1)的等比级数，当| e-aT z-1 |1时，级数收敛,则可写成闭合形式,7-3 Z变换和Z反变换,（1） 线性定理 若 E1(z)=Ze1(t)，E2(z)=Ze2(t)，a为常数，则 Ze1(t)+e2(t)= E1(z)+ E2(z)，Zae(t)=a E(z),（2） 实数位移定理 若 E(z)=Ze(t)，则 Ze(t-kT)=z-kE(z) 滞后定理,（3） 实数位移定理（超前定理） 若 E(z)=Ze(t)，则 Ze(t+kT)=,(4) 复数位移定理 已知 e (t) 的 z 变换为 E(z) ，则有,(5) 初值定理,若e (t)的z变换为E(

3、z)，并有极限 存在，则,若e (t)的z变换为E(z)，函数序列e(nT)为有限值(n=0,1,2,)， 且极限 存在，则,(6) 终值定理,二、 Z变换的性质,设x(nT)和y(nT)为两个采样函数，其离散卷积定义为 x(nT)*y(nT)= ，则卷积定理为： 若g(nT)= x(nT)*y(nT ) 则G(z)=X(z)Y(z),（7）卷积定理,三、求Z变换的方法,1、按定义求Z变换：级数求和法（略） 2、部分分式法：,3、留数计算法： 无重根时， 有重根时：,2. 幂级数法（综合除法),由Z变换的定义,而,则c0,c1,c2,就是脉冲序列e*(t)各采样点的值e(nT) , 所以,Z反

4、变换,从Z域函数E(z)求时域函数e*(t)，叫做Z反变换记作Z-1E(z)= e*(t)。,1. 部分分式展开法 部分分式展开法是将E(z)展成若干分式和的形式，对每部分分式查Z变换表找出相应的e*(t)。因Z变换表中Z变换函数分子普遍有因子Z，所以应将E(z)/z展开成部分分式。,3. 反演积分法(留数法),7-4 离散系统的数学模型,（1）线性离散系统（满足叠加定理） （2）线性定常离散系统：(输入、输出关系不随时间而变化）,离散系统数学模型常用表示方法：差分方程、脉冲传递函数等。,2）递推法（迭代法）,差分方程的求解方法：,1）经典法： 一阶差分方程：,3）Z变换法：实质是对差分方程两

5、端取Z变换，得到以Z为变量的代数方程，然后对代数方程的解Y（Z）取Z反变换。,线性常系数差分方程及其解法：,差分的定义：离散函数两数之差为差分。差分又分前向差分 和后向差分。,2）差分方程法：在零初始条件下，方程两边同时求取Z变换。,串连环节时的开环系统脉冲传递函数：,A串连环节之间有采样开关,结论：串连环节之间有同步采样开关隔离时，总的脉冲传递函数等于各环节脉冲传函的乘积。,串连环节时的开环系统脉冲传递函数：,B串连环节之间没有采样开关,结论：串连环节之间无同步采样开关隔离时，总的脉冲传函的求法是先将各环节的传递函数相乘，然后再求取Z变换。,Z变换：,串连环节时的开环系统脉冲传递函数：,C.

6、有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数,离散系统稳定性的充要条件,z平面：,方法：将 替换，得到一个以w为变量的代数方程 ，再应用劳斯判据。,朱利稳定判据：,朱利判据是根据离散系统的闭环特征方程 的系数，判别其根是否严格位于z平面上的单位圆内，从而判断该离散系统是否稳定。,利用特征方程的系数，按下述方法构造（2n-3）行，（n+1）列，朱利阵列：,设离散系统n阶闭环特征方程可以写为：,二、离散系统的稳态误差,稳态误差的计算可以用两种方法进行： 利用Z变换的终值定理，可以求出系统的终值误差。 从系统误差脉冲传递函数出发的动态系数法，可以求出系统动态误差的稳态分量。, 静态误差系数,1）单位阶跃输入时,对于0型系统，,对于以上系统，, 静态误差系数,2）单位斜坡输入时，,对于0型系统，,对于型系统，,对于型以上系统，, 静态误差系数,3）单位加速度输入,对于0、 型系统，,对于型系统，,对于型以上系统，,（单位反馈的稳态误差表格见P329）,第六节离散系统的动