八年级数学下册第六章平行四边形2平行四边形的判定知识讲解及例题演练(新版)北师大版

1、平行四边形的判定【学习目标】1. 平行四边形的四个判定定理及应用，会应用判定定理判断一个四边形是不是平行四边形2. 会综合应用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的几何问题【要点梳理】要点一、平行四边形的判定1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5. 对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（ 1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个行四边形时，应选择较简单的方法 .（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也

2、可作为“画平行四边形”的依据.【典型例题】类型一、平行四边形的判定1. 如图，点 a.b.c 在正方形网格的格点上（小正方形的边长为单位1）（1）在图中确定格点d，并画出以a.b.c.d 为顶点的平行四边形（2）若以c 为原点， bc 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则你确定的点d 的坐标是_.【思路点拨】（ 1）分为三种情况：以ac为对角线时、以ab 为对角线时、以bc为对角线时，画出图形，根据a.b.c 的坐标求出即可；（ 2）在（ 1）的基础上，把 y 轴向左平移了一个单位，根据平移性质求出即可【答案与解析】1 / 11（1）解：从图中可知a（ -3 ，2）， b（-4 ， 0） c（

3、 -1 ， 0），以 ab为对角线时，得出平行四边形 acbd1， d1 的坐标是（ -6 ，2），以 ac为对角线时，得出平行四边形 abcd2， d2 的坐标是（ 0， 2），以 bc为对角线时，得出平行四边形 abd3c， d3 的坐标是（ -2 ，-2 ），（2）解：以 c为原点， bc所在直线为 x 轴，建立直角坐标系， d 的坐标是 （ -1 ，2），（ 1，2），（-5 ， 2），故答案为：（ -1 ， 2）或（ 1，2）或（ -5 ， 2）【总结升华】 本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质的应用，主要考查学生能否运用平行四边形的性质进行计算，注意：一定要进行分类讨论举一反

4、三【变式】（2016?呼伦贝尔）如图，分别以 rt abc的直角边 ac及斜边 ab向外作等边 acd 及等边 abe，已知： bac=30， ef ab，垂足为 f，连接 df（ 1）试说明 ac=ef；（ 2）求证：四边形 adfe是平行四边形【答案】证明：（ 1） rt abc中， bac=30， ab=2bc，又 abe是等边三角形，efab， ab=2af af=bc，在 rt afe和 rt bca中，afbcaeba2 / 11 rt afe rt bca（ hl）， ac=ef；（ 2） acd是等边三角形， dac=60， ac=ad， dab=dac+bac=90又 ef

5、ab， ef ad， ac=ef， ac=ad，ef=ad，四边形 adfe是平行四边形2. 类比学习：一动点沿着数轴向右平移3 个单位，再向左平移2 个单位，相当于向右平移1个单位用实数加法表示为3+（ -2 ） =1若坐标平面上的点作如下平移：沿 x 轴方向平移的数量为a（向右为正， 向左为负， 平移 |a|个单位），沿 y 轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b| 个单位），则把有序数对 a ，b 叫做这一平移的“平移量”；“平移量” a ， b 与“平移量” c ， d 的加法运算法则为 a ，b+c ， d=a+c ，b+d 解决问题：（ 1）计算： 3 ， 1+1 ，

6、2 ；1 ， 2+3 ， 1 ；（ 2）动点 p 从坐标原点 o出发，先按照“平移量” 3 ， 1 平移到 a，再按照“平移量”1 ， 2 平移到 b；若先把动点 p 按照“平移量” 1 ， 2 平移到 c，再按照“平移量” 3 ， 1 平移，最后的位置还是点 b 吗？在图 1 中画出四边形 oabc证明四边形oabc是平行四边形（ 3）如图 2，一艘船从码头 o出发，先航行到湖心岛码头 p（2， 3），再从码头 p 航行到码头 q（ 5， 5），最后回到出发点 o请用“平移量”加法算式表示它的航行过程3 / 11【思路点拨】（1）本题主要是类比学习，所以关键是由给出的例题中找出解题规律，即前

7、项加前项，后项加后项（ 2）根据题中给出的平移量找出各对应点，描出各点，顺次连接即可（ 3）根据题中的文字叙述列出式子，根据（ 1）中的规律计算即可【答案与解析】解：（ 1） 3 ， 1+1 ， 2=4 ，3 ；1 ， 2+3 ， 1=4 ，3 （ 2）画图最后的位置仍是 b证明：由知， a（ 3， 1），b（ 4， 3）， c（ 1，2）oc=ab= 12225 ，oa=bc= 321210 ，四边形 oabc是平行四边形（3）从 o出发，先向右平移2 个单位，再向上平移3 个单位，可知平移量为2 ， 3 ，同理得到 p 到 q的平移量为3 ，2 ，从 q到 o的平移量为 -5 ， -5 ，

8、故有2 ， 3+3 ， 2+-5 ， -5=0 ， 0 【总结升华】 本题考查了几何变换中的平移变换，解答本题关键是仔细审题，理解题目给出的信息，对于此类题目同学们不能自己凭空想象着解答，一定要按照题目给出的思路求解，克服思维定势举一反三：【变式】 一动点沿着数轴向右平移5 个单位， 再向左平移2 个单位， 相当于向右平移3 个单位用实数加法表示为5+（-2 ） =3若平面直角坐标系xoy 中的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移 |a| 个单位），沿 y 轴方向平移的数量为b（向上为正， 向下为负， 平移 |b| 个单位），4 / 11则把有序数对 a ， b

9、叫做这一平移的“平移量”规定“平移量”a ，b 与“平移量” c ，d 的加法运算法则为a ， b+c ， d=a+c ， b+d （ 1）计算： 3 ， 1+1 ， 2 ；（ 2）若一动点从点 a（ 1，1）出发，先按照“平移量” 2 ， 1 平移到点 b，再按照“平移量”-1 ， 2 平移到点c；最后按照“平移量”-2 ， -1 平移到点d，在图中画出四边形abcd，并直接写出点d 的坐标；（3）将（ 2）中的四边形abcd以点 a 为中心， 顺时针旋转90，点 b 旋转到点e，连结 ae.be若动点 p 从点 a 出发，沿 aeb的三边 ae.eb.ba 平移一周请用“平移量”加法算式表

10、示动点 p 的平移过程【答案】解：（ 1） 3 ， 1+1 ， 2=4 ，3 ；（ 2）b 点坐标为：（ 1+2，1+1）=（ 3，2）；c 点坐标为：（ 3-1 ，2+2）=（ 2，4）；d 点坐标为：（ 2-2 ， 4-1 ） =（ 0，3）；如图所示：5 / 11d（ 0， 3）（3）点 a至点 e，向右平移1 个单位，向下平移2 个单位；点 e 至点 b，向右平移 1 个单位，向上平移 3 个单位；点 b 至点 a，向左平移 2 个单位，向下平移 1 个单位；故动点 p 的平移过程可表示为： 1 ， -2+1 ， 3+-2， -1 3. 如图，平行四边形 abcd的对角线相交于点 o，

11、直线 ef 经过点 o，分别与 ab，cd的延长线交于点 e，f求证：四边形 aecf是平行四边形【思路点拨】 平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为四边形 abcd是平行四边形，可证 of=oe，oa=oc，根据条件在图形中的位置，可选择利用“对角线相互平分的四边形为平行四边形”来解决【答案与解析】证明：四边形abcd是平行四边形，od=ob， oa=oc，ab cd， dfo=beo， fdo= ebo，在 fdo和 ebo中，dfo beofdo ebo ,od ob6 / 11 fdo ebo（ aas），of=oe，四边形ae

12、cf是平行四边形【总结升华】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法类型二、平行四边形的性质定理与判定定理的综合运用4. 如图， abc中 ab=ac，点 d 从点 b 出发沿射线 ba 移动，同时，点 e 从点 c 出发沿线段ac的延长线移动，已点知d.e 移动的速度相同，de与直线 bc相交于点f（ 1）如图 1，当点 d 在线段 ab上时，过点 d 作 ac的平行线交 bc于点 g，连接 cd.ge，判定四边形 cdge的形状，并证明你的结论；（2）过点 d 作直线 bc的垂线垂足为m，当点 d.e 在移动的过程中，线段bm、

13、 mf、 cf有何数量关系？请直接写出你的结论【思路点拨】（ 1）由题意得出 bd=ce，由平行线的性质得出 dgb= acb，由等腰三角形的性质得出 b= acb，得出 b= dgb，证出 bd=gd=ce，即可得出结论；（ 2）由（ 1）得：bd=gd=ce，由等腰三角形的三线合一性质得出bm=gm，由平行线得出 gf=cf，即可得出结论【答案与解析】解：（ 1）四边形cdge是平行四边理由如下：如图1 所示： d.e 移动的速度相同，bd=ce， dg ae， dgb=acb， ab=ac， b= acb，7 / 11 b= dgb，bd=gd=ce，又 dg ce，四边形cdge是平行

14、四边形；（ 2） bm+cf=mf；理由如下：如图 2 所示：由（ 1）得： bd=gd=ce，dm bc，bm=gm，dg ae， gf=cf，bm+cf=gm+gf=mf【总结升华】 本题考查了等腰三角形的判定与性质、 平行四边形的判定与性质； 熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键举一反三【变式】如图，已知四边形abcd为平行四边形，ae bd 于 e，cf bd于 f（ 1）求证： be=df；（ 2）若 m、 n 分别为边 ad.bc上的点，且 dm=bn，试判断四边形 menf的形状（不必说明理由） 8 / 11【答案】解：（ 1）四边形abcd是平行四边形，

15、ab=cd ， ab cd， abd=cdb，ae bd于 e， cfbd于 f， aeb=cfd=90， abe cdf（ aas）， be=df；（ 2）四边形 menf是平行四边形证明：由（ 1）可知： be=df，四边形 abcd为平行四边形， ad bc， mdb=nbd，dm=bn， dmf bne，ne=mf， mfd= neb， mfe=nef，mf ne，四边形menf是平行四边形5. 如图，已知在平行四边形 abcd中， e.f 是对角线 bd上的两点， be=df，点 g、h 分别在 ba和 dc的延长线上，且 ag=ch，连接 ge.eh、 hf、fg（1）求证：四边形

16、 gehf是平行四边形；（ 2）若点 g、h 分别在线段 ba 和 dc上，其余条件不变，则（ 1）中的结论是否成立？（不用说明理由）9 / 11【思路点拨】（1）先由平行四边形的性质，得ab=cd，ab cd，根据两直线平行内错角相等得 gbe=hdf再由 sas可证 gbe hdf，利用全等的性质，证明gef= hfe，从而得ge hf，又 ge=hf，运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得证（ 2）仍成立可仿照（ 1）的证明方法进行证明【答案与解析】（ 1）证明：四边形 abcd是平行四边形，ab=cd， ab cd， gbe= hdf又 ag=ch， bg=dh又 be=df， gbe hdfge=hf， geb= hfd， gef= hfe，ge hf，四边形gehf是平行四边形（ 2）解：仍成立 （证法同上）【总结升华】本题考查的知识点为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形举一反三【变式】如图， abcd中，对角线 ac，bd相交于 o点， ae