高中数学求值域的10种方法

1、最新资料推荐求函数值域的十种方法一 直接法（ 观察 法）： 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 1求函数 yx1的值域。【解析】 x0，x11，函数 yx1的值域为 1,) 。【练习】1 求下列函数的值域： y 3x 2( 1 x 1) ； f ( x) 24 x ； yx；4 yx12， x1,0,1,2 。1x1【参考答案】 1,5； 2,) ； (,1)(1,) ；4 1,0,3 。二 配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如f (x)af 2 ( x)bf ( x)c 的函数的值域问题，均可使用配方法。例 2求函数 yx24x2 （ x1,1）的值

2、域。【解析】 yx24x2(x2) 26 。 1 x 1 ， 3 x21 ， 1 (x 2)29 ， 3(x 2)26 5 ， 3 y 5 。函数 yx24 x2（ x 1,1）的值域为 3,5。例 3 求函数 y2x24x (x 0,4 ) 的值域。【解析】 本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：f (x)x24x( f (x)0) 配方得： f (x)(x2)24(x0, 4 ) 利用二次函数的相关知识得f (x)0, 4，从而得出： y0,2 。说明：在求解值域 (最值 ) 时，遇到分式、 根式、 对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：f ( x)0 。例 4

3、 若 x2 y4, x0, y 0 ，试求 lg xlg y 的最大值。1最新资料推荐【分析与解】 本题可看成第一象限内动点p( x, y) 在直线 x2 y4 上滑动时函数lg xlg ylg xy 的最大值。利用两点(4,0) ， (0,2) 确定一条直线，作出图象易得：x(0,4), y(0,2), 而 lg xlg ylg xylg y(42y)lg 2( y1)22 ，y=1 时， lg xlg y 取最大值 lg 2 。【练习】2求下列函数的最大值、最小值与值域： yx 24 x1； yx24 x1, x 3,4 ； yx 24x1, x0,1 ； y x24x 1, x 0,5

4、；5x 22x 4， x1yx22x 3 。yx ,4 ； 64【参考答案】 3,) ； 2,1； 2,1； 3,6 ； 56,73 ； 60,24三反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。适用类型： 分子、 分母只含有一次项的函数 ( 即有理分式一次型 )，也可用于其它易反解出自变量的函数类型。例 5 求函数 y2x的值域。x 1x ，从而便于求出反函数。分析与解： 由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出2x反解得 xy(,2) (2, ) 。y，故函数的值域为x12y【练习】1 求函数 y2x33x的值域。22 求函数 yaxb ，

5、 c0, xd的值域。cxdc【参考答案】 1 (, 2)( 2 ,) ； (, a )( a ,) 。33cc四 分离变量法：适用类型1：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法， 此类问题一般也可以利用反函数法。2最新资料推荐例 6：求函数 y1x 的值域。2x5解：1x1 (2 x5)717，222y52x522x52x7， y1，函数 y1x 的值域为 y | y1 。 22x022x525适用类型2：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为ykf ( x) ( k为 常数 )的形式。例 7 ：求函数 yx2x的值域。x 2x1分析与解 ：观察分子、 分母中均含

6、有 x2x 项，可利用分离变量法； 则有 yx2xx2x1 1x2x 1x2x111123 。)( x42不妨令： f ( x)( x1) 23, g( x)1( f ( x)0) 从而 f ( x)3 ,。24f ( x)4注意：在本题中若出现应排除f ( x) 0 ，因为 f (x) 作为分母 .所以 g (x)0, 4故 y1,1 。33另解：观察知道本题中分子较为简单，可令tx2x11x，求出t 的值域，进而可得到y 的x2xx21值域。【练习】1 求函数 y2 x22 x3 的值域。x2x 110【参考答案】 1 (2,五、换 元法：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数

7、，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型特征 是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用代数换元 ；当根式里是二次式时，用三角换元 。例 8：求函数 y2x12x 的值域。解：令 t12x （ t01t 2t2t 1 (t125），则 x， y)。2243最新资料推荐135y 2x12 x 的值域为 (5 。当 t，即 x时， ymax，无最小值。函数,2844例 9 ：求函数 yx21( x1)2的值域。解：因 1(x1)20 ，即 ( x1)21。故可令 x1cos,0, ， ycos11cos2sincos12 sin()1 。4 0,5，2

8、sin()1 ， 02 sin() 112444244故所求函数的值域为 0,12 。例 10.求函数 yx3x的值域。x42x21解：原函数可变形为：y12x1x221 x21x2可令 x= tan，则有2xsin 2, 1x2cos21x21x2y1sin 2cos21sin 424当k时， ymax1284当k时， ymin1284而此时 tan 有意义。故所求函数的值域为1 , 144例 11.求函数 y(sin x1)(cos x1) ， x,的值域。122解： y (sin x1)(cos x1)sin x cosx sin xcos x14最新资料推荐令 sin xcos xt

9、，则 sin x cosx1 (t 2 1)2y1 (t 21)t11 (t1)222由 tsin xcos x2 sin( x)4且 x12,2可得：2t22当t2时， y32 ，当2时，32max2ty224故所求函数的值域为32 , 32 。422例 12.求函数 yx45x2的值域。解：由 5x20 ，可得 | x |5故可令 x5 cos,0,y5 cos45 sin10 sin()44 05444当时， ymax 4 104当时， ymin45故所求函数的值域为：45, 4105最新资料推荐六、判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程 f (x, y)0 ；通过方程有实数根，判别式

10、a1x2b1xc1 （ a1 、 a2 不同时为零）的函数的值域，常用此方0 ，从而求得原函数的值域，形如 y2a2 xb2xc2法求解。2xx3例 13：求函数y的值域。解：由 yx2x3 变形得 ( y1)x2( y1)x y30 ，x2x1当 y1时，此方程无解；当 y1时， xr ，( y1)24( y1)( y3)0 ，解得 1y11，又 y 1， 1y1133x2x3 的值域为 y |111函数 yyx2x13七、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例 14：求函数 yx12 x 的值域。解：当 x 增大时， 12x随 x 的增大而减少

11、，1 2x 随 x 的增大而增大，函数 yx12x在定义域 (,1 上是增函数。211211 y2，22函数 yx12x的值域为 (,1 。2例 15. 求函数 yx1x1的值域。解：原函数可化为：y2x 1x1令 y1x1, y2x1 ，显然 y 1 , y 2 在 1, 上为无上界的增函数所以 yy1y2在 1, 上也为无上界的增函数6最新资料推荐所以当 x=1 时， yy1y2有最小值2 ，原函数有最大值222显然 y0 ，故原函数的值域为 (0, 2 适用类型2 ：用于求复合函数的值域或最值。（原理：同增异减 ）例 16 ：求函数 ylog 1 (4xx2 ) 的值域。2分析与解： 由

12、于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：t(x)x24x(t( x)0) 配方得： t (x)( x 2)24所以 t( x) （0,4) 由复合函数的单调性（同增异减）知： y2,) 。八、利用有界性 ：一般用于三角函数型，即利用 sin x 1,1, cos x 1,1 等。例 17 ：求函数 ycos x的值域。sin x3解：由原函数式可得：ysin x cos x3y ，可化为：y21sin x( x)3 y即 sin x(x)3yy21 xr sin x(x) 1,1即13y1y2 1解得：22y44故函数的值域为2 ,244注：该题还可以使用

13、数形结合法。ycos x0 ，利用直线的斜率解题。cos xsin x 3sin x3例 18：求函数 y12x的值域。12x7最新资料推荐解：由 y12x解得 2x 1y ，12x1y 2x0 ，1y1y110 ，y函数 y12x的值域为 y(1,1)。12x九、图像法（数形结合法）：其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例 19 ：求函数y| x3| x5 |的值域。y2x2 ( x3)解： y | x 3| | x 5 | 8( 3x 5) ，82x2( x5)-3o5x y | x3| x5

14、 |的图像如图所示，由图像知：函数y| x 3| x5|的值域为 8, )例 20.求函数 y(x2)2( x 8) 2 的值域。解：原函数可化简得：y| x2 | x8 |上式可以看成数轴上点p（x）到定点a（ 2）， b(8) 间的距离之和。由上图可知，当点p 在线段 ab 上时， y| x2 | x8 | | ab |10当点 p 在线段 ab 的延长线或反向延长线上时，y| x2 | x8 | | ab | 10故所求函数的值域为：10,例 21. 求函数 yx26x 13x24x5 的值域。解：原函数可变形为：y( x3)2(02) 2( x 2)2(01)2上式可看成x 轴上的点

15、p( x,0) 到两定点 a(3,2), b(2,1)的距离之和，8最新资料推荐由图可知当点 p 为线段与 x 轴的交点时， ymin | ab |(3 2) 2(2 1)243 ，故所求函数的值域为43,例 22.求函数 yx26x13x24 x5 的值域。解：将函数变形为：y( x3)2(02)2( x 2)2(021)上式可看成定点a（ 3 ，2）到点 p（ x， 0）的距离与定点b( 2,1) 到点 p( x,0) 的距离之差。即： y| ap | bp |由图可知： （ 1 ）当点 p 在 x 轴上且不是直线ab 与 x 轴的交点时，如点p ，则构成abp ，根据三角形两边之差小于第

16、三边，有| ap | bp | ab | (3 2)2(22261)即：26 y26（ 2 ）当点 p 恰好为直线ab 与 x 轴的交点时，有| ap | bp | | ab |26综上所述，可知函数的值域为：(26,263sin x例 23 、：求函数 y的值域 .2cos x分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式ky2y1 ，将原x2x1函数视为定点 (2 ，3) 到动点 (cos x, sin x) 的斜率，又知动点(cos x,sin x) 满足单位圆的方程，从而问题就转化为求点（ 2 ， 3）到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上

17、点的连线和圆相切时取得，从而解得：y 6 2 3 , 62 3 339最新资料推荐点评：本题从函数本身的形式入手，引入直线的斜率，结合图形，从而使问题得到巧解。例 24求函数y1x1x 的值域。分析与解答：令u1x ， v1 x ，则 u0, v0 ， u 2v22 ， u vy ，原问题转化为：当直线 uvy 与圆 u 2v22 在直角坐标系 uov 的第一象限有公共点时，求直线的截距的取值范围。由图 1 知：当 uvy 经过点 (0,2 ) 时， ym in2；当直线与圆相切时，222 。ymaxod2oc所以：值域为 2y2vd2 bceoau2十：不等式法 ：利用基本不等式ab2ab,

18、 abc33 abc ( a, b, c r ) ，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例 25. 求函数 y (sin x1)2(cosx1 )24 的值域。sin xcosx解：原函数变形为：y(sin2 xcos2 x)1x1ces2 xsec2 xsin2cos2 x13tan2 xcot2 x3 2 tan2 x cot2 x510最新资料推荐当且仅当 tan xcot x即当 x k时 ( kz) ，等号成立4故原函数的值域为：5,)例 26. 求函数 y 2sin x sin 2x 的值域。解： y 4sin x sin x cos x4sin 2x cos xy 16sin 4xcos2 x8sin 2