专题1.8+概率与统计（讲）-2018年高考数学（理）二轮复习讲练测+Word版含解析

1、2018年高三二轮复习讲练测之讲案【新课标版理科数学】专题八 概率与统计考向一 古典概型与几何概型【高考改编回顾基础】1.【古典概型】【2017天津，改编】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 .【答案】2.【几何概型】【2016高考新课标2改编】某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 .【答案】【解析】因为红灯持续时间为40秒.所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为.【命题预测看准方向】概

2、率考点是近几年高考的热点之一，主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型等知识，近几年高考对概率的考查由单一型向知识交汇型转化，多与统计、函数、方程、数列、平面向量、不等式(线性规划)等知识交汇命题【典例分析提升能力】【例1】【2017山东，改编】从分别标有，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 .【答案】【趁热打铁】已知，则函数在区间上为增函数的概率是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】当时，情况为符合要求的只有一种；当时，则讨论二次函数的对称轴要满足题意则产生的情况表示：，9种情况满足的只有三种：综上所述得：使得函数在区间为增函数的

3、概率为：.【例2】在区间上任取一数，则的概率是（ ）A B C. D【答案】C【解析】由题设可得,即;所以,则由几何概型的概率公式.故应选C.【趁热打铁】记集合构成的平面区域分别为，现随机地向中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入中的概率为_【答案】.【解析】因为集合，构成的平面区域，分别为圆与直角三角形，其面积分别为，随机地向中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入中的概率为.故应填.【例3】某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下表：消费次数第1次第2次第3次第4次第5次及以上收费比例10.95

4、0.900.850.80该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下表：消费次数第1次第2次第3次第4次第5次及以上频数60201055假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率；(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；(3)该公司要从这100位里至少消费两次的顾客中按消费次数用分层抽样方法抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品，求抽出的2人中恰有1人消费两次的概率【答案】种【解析】(1)100位会员中，至少消费两次的会员有40位，所以估计一位会员至少消费两次的概率为0.4.(2)该会

5、员第1次消费时，公司获得的利润为20015050(元)第2次消费时，公司获得的利润为2000.9515040(元)，所以，公司获得的平均利润为45(元)。【趁热打铁】【2016高考山东文数】某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：若，则奖励玩具一个； 若，则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.（I）求小亮获得玩具的概率；（II）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.【答案】（）.（

6、）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.【解析】试题分析：用数对表示儿童参加活动先后记录的数，写出基本事件空间与点集一一对应.得到基本事件总数.（）利用列举法，确定事件包含的基本事件，计算即得.（）记“”为事件，“”为事件.确定事件包含的基本事件共有个， 事件包含的基本事件共有个，计算得到，比较即知.（）记“”为事件.则事件包含的基本事件共有个，即 所以，即小亮获得玩具的概率为.（）记“”为事件，“”为事件.则事件包含的基本事件共有个，即所以，则事件包含的基本事件共有个，即所以，因为所以，小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.【方法总结全面提升】1. 求复杂互斥事件概率的方法一是直接法，将所求

7、事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维的方法(正难则反)求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便2.求古典概型的概率的基本步骤:算出所有基本事件的个数；求出事件包含的基本事件个数；代入公式，求出；几何概型的概率是几何度量之比,主要使用面积、体积之比与长度之比.【规范示例避免陷阱】【典例】市政府为调查市民对本市某项调控措施的态度，随机抽取了100名市民，统计了他们的月收入频率分布和对该项措施的赞成人

8、数，统计结果如下表所示：(1)用样本估计总体的思想比较该市月收入低于20(百元)和不低于30(百元)的两类人群在该项措施的态度上有何不同；(2)现从样本中月收入在10，20)和60，70)的市民中各随机抽取一个人进行跟踪调查，求抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成的概率【规范解答】(1)由表知，样本中月收入低于20(百元)的共有5人，其中持赞成态度的共有2人，故赞成人数的频率为，月收入不低于30(百元)的共有75人，其中持赞成态度的共有64人，故赞成人数的频率为，根据样本估计总体的思想可知月收入不低于30(百元)的人群对该措施持赞成态度的比月收入低于20(百元)的人群持赞成态度的比例要高

9、(2)将月收入在10，20)内，不赞成的3人记为a1，a2，a3，赞成的2人记为a4，a5，将月收入在60，70)内，不赞成的1人记为b1，赞成的3人记为b2，b3，b4，从月收入在10，20)和60，70)内的人中各随机抽取1人，基本事件总数n20，其中事件“抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成”包含的基本事件有(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(a3，b2)，(a3，b3)，(a3，b4)，(a4，b1)，(a5，b1)，共11个，抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成的概率P.【反思提高】解答概率与统计综合题的2个注

10、意点(1)明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率(2)此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成【误区警示】求解古典概型问题的关键：先求出基本事件的总数，再确定所求目标事件包含基本事件的个数，结合古典概型概率公式求解一般涉及“至多”“至少”等事件的概率计算问题时，可以考虑其对立事件的概率，从而简化运算考向二 统计与统计案例【高考改编回顾基础】1.【分层抽样】【2017江苏卷】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_件.【答案

11、】182【系统抽样】【2014广东卷改编】为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为_【答案】25【解析】由题意得，分段间隔是25.3.【茎叶图、中位数、平均数】【2017山东卷改编】如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为_ 【答案】3，5.4.【对标准差、平均数、中位数的理解】【2017全国卷改编 为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，xn，给出下列指标：x1，x2，xn的平均数；x1，x2，xn的

12、标准差；x1，x2，xn的最大值；x1，x2，xn的中位数其中所给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是_(填序号) 【答案】【解析】根据标准差的概念，可知标准差是刻画一组数据波动与稳定程度的一个量，所以选.5.【回归直线方程及其应用】【2017山东卷改编】为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为x.已知xi255，yi1600，4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为_【答案】166【解析】易知x22.5，y160.因为4，所以160422.5，解得7

13、0，所以回归直线方程为4x70，当x24时，9670166.6【对频率分布直方图的认识】【2017北京卷改编】某大学艺术专业400名学生参加某次测评，从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，整理得到如图所示的频率分布直方图，已知样本中分数小于40的学生有5人，估计总体中分数在区间40，50)内的人数为_ 【答案】207【22列联表及独立性检验公式】【2017全国卷改编】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，得到如下列联表：箱产量50 kg箱产量50 kg旧养殖法6238新养殖法3466根据列联表判断_(填“有”或“没有”)99%的把握认为箱产量与养殖方法有关 【答案】有【解

14、析】k15.7056.635，有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关【命题预测看准方向】从近五年高考试题来看,高考对概率的考查重点是基本概念和基本公式,如互斥事件的概率、古典概型、几何概型等;高考对统计与统计案例的考查密度小,有增强的趋势,考查的重点有用样本估计总体、回归分析和独立性检验等. 概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题，这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神.备考重点是互斥事件的概率、古典概型、几何概型、用样本

15、估计总体、回归分析、独立性检验等.【典例分析提升能力】【例1】已知关于 的二次函数（）设集合和，分别从集合中随机取一个数作为和， 在区间上是增函数的概率（）设点是区域内的随机点，求函数在区间上是增函数的概率【答案】（）（） .试题解析：要使函数在区间上是增函数，需且，即且（）所有的取法总数为个满足条件的有， ， ， ， 共5个，所以所求概率（）如图，求得区域的面积为由，求得所以区域内满足且的面积为所以所求概率【趁热打铁】为迎接校运动会的到来，某校团委在高一年级招募了12名男志愿者和18名女志愿者(18名女志愿者中有6人喜欢运动)(1)如果用分层抽样的方法从男、女志愿者中共抽取10人组成服务队，

16、求女志愿者被抽到的人数；(2)如果从喜欢运动的6名女志愿者中(其中恰有4人懂得医疗救护)，任意抽取2名志愿者负责医疗救护工作，则抽出的志愿者中2人都能胜任医疗救护工作的概率是多少？【答案】(1)6(人)(2).【例2】【2018届北京市石景山区高三第一学期期末】某学校高三年级共有1000名学生，其中男生650人，女生350人，为了调查学生周末的休闲方式，用分层抽样的方法抽查了200名学生.（）完成下面的列联表；不喜欢运动喜欢运动合计女生50男生合计100200（）在抽取的样本中，调查喜欢运动女生的运动时间，发现她们的运动时间介于30分钟到90分钟之间，右图是测量结果的频率分布直方图，若从区间段

17、和的所有女生中随机抽取两名女生，求她们的运动时间在同一区间段的概率.【答案】（）见解析（） 试题解析：（）根据分层抽样的定义，可知抽取男生130人，女生70人， 不喜欢运动喜欢运动合计女生502070男生5080130合计100100200（）由直方图可知在内的人数为2人，设为，在内的人数为4人，设为.设“两人的运动时间在同一区间段”的事件为. 从中抽取两名女生的可能情况有：， 两人的运动时间恰好在同一区间段的可能情况有7种. .【趁热打铁】【2018届重庆市九校联盟高三上第一次联考】某社区为了解辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”，从辖区住户的离退休老人中随机抽取了100位老人进行

18、调查，获得了每人每天的平均户外“活动时间”（单位：小时），活动时间按照、从少到多分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示.（1）求图中的值；（2）估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数；（3）在、这两组中采用分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在同一个组的概率.【答案】(1) (2) （3）试题解析：（）由频率分布直方图，可知，平均户外“活动时间”在的频率为同理，在， ， ， ， ， 等组的频率分别为0.08，0.20，0.25，0.07，0.04，0.02，由解得（）设中位数为m小时因为前5组的频率之和为，而前4组的频率之和为，所以由，解得故

19、可估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数为2.06小时【例3】【2018届湖南师大附中高三上月考（五）】在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在市的区开设分店为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格记表示在各区开设分店的个数， 表示这个分店的年收入之和（个）23456（百万元）2.5344.56（）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；（）假设该公司在区获得的总年利润（单位：百万元）与之间的关系为，请结合（）中的线性回归方程，估算该公司应在区开设多少个分店，才能使

20、区平均每个分店的年利润最大？参考公式：， ， 【答案】（1）；（2）公司应在区开设4个分店，才能使区平均每个分店的年利润最大【解析】试题分析：（1）根据给定参考公式，代入求出，再根据回归直线过中心点求出，即可写出回归直线方程；（2）根据所给回归直线方程，求出每个店的平均利润，利用均值不等式求最值即可.（2） ，区平均每个分店的年利润 ，时， 取得最大值，故该公司应在区开设4个分店，才能使区平均每个分店的年利润最大【趁热打铁】某商场对A商品30天的日销售量y(件)与时间t(天)的销售情况进行整理，得到如下数据，经统计分析，日销售量y(件)与时间t(天)之间具有线性相关关系时间t(天),2,4,6

21、,8,10日销售量y(件),38,37,32,33,30(1)请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y关于t的线性回归方程t.(2)已知A商品30天内的销售价格z(元)与时间t(天)的关系为z根据(1)中求出的线性回归方程，预测t为何值时，A商品的日销售额最大参考公式：，.【答案】(1)t40.(2)预测当t20时，A商品的日销售额最大，最大值为1600元【解析】(1)根据题意，(246810)6，(3837323330)34，tiyi2384376328331030980，t22426282102220，所以回归系数为故所求的线性回归方程为t40.【例4】【2017课标II，文19】海水养殖

22、场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）, 其频率分布直方图如下：（1） 记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50kg箱产量50kg旧养殖法新养殖法（3） 根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较。附：P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828 【答案】（1）0.62.（2）有把握（3）新养殖法优于旧养殖法【解析】(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量50

23、kg箱产量50kg旧养殖法6238新养殖法3466K2= 由于15.7056.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)箱产量的频率分布直方图平均值(或中位数)在45kg到50kg之间,且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法.【趁热打铁】为考查某种疫苗预防疾病的效果,进行动物实验,得到统计数据如下：未发病发病合计未注射疫苗20注射疫苗30合计5050100现从所有试验动物中任取一只,取到“注射疫苗”动物的概率为（）求列联表中的数据,的值；（）绘制发病率的条形统计图,并判断疫苗是否有效？（）

24、能够有多大把握认为疫苗有效？0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 -未注射 注射附：【解析】（）设“从所有试验动物中任取一只,取到“注射疫苗”动物”为事件A,由已知得,所以,（）未注射疫苗发病率为,注射疫苗发病率为 发病率的条形统计图如图所示,由图可以看出疫苗影响到发病率 0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 -未注射 注射0.660.25（） 所以至少有99.9%的把握认为疫苗有效.【方法总结全面提升】1简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取适用范围：总体中的个体较少2系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规

25、则在各部分中抽取适用范围：总体中的个体数较多3分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取适用范围：总体由差异明显的几部分组成4利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时易出错，应注意区分这三者在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和5.求回归直线方程的关键正确理解计算，的公式和准确的计算在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相

26、关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值6.独立性检验的关键根据22列联表准确计算K2，若22列联表没有列出来，要先列出此表K2的观测值k越大，对应假设事件H0成立的概率越小，H0不成立的概率越大【规范示例避免陷阱】【典例】【2017北京，文17】某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：20,30），30,40），80,90，并整理得到如下频率分布直方图：（）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体

27、中分数在区间40,50）内的人数；（）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等试估计总体中男生和女生人数的比例（）根据题意，样本中分数不小于50的频率为，分数在区间内的人数为.所以总体中分数在区间内的人数估计为.【反思提升】1.用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观.2.频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.【误区警示】

28、求解统计图表问题，重要的是认真观察图表，发现有用信息和数据对于频率分布直方图，应注意图中的每一个小矩形的面积是落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1，当小矩形等高时，说明频率相等，计算时不要漏掉其中一个考向三 概率、随机变量及其分布【高考改编回顾基础】1.【独立事件的概率】【2015全国卷改编】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为_【答案】0.6482【条件概率】【2014全国卷改编】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的

29、空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是_【答案】0.8【解析】设“第一天空气质量为优良”为事件A，“第二天空气质量为优良”为事件B，则P(A)0.75，P(AB)0.6，由题知要求的是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，根据条件概率公式得P(B|A)0.8.3.【二项分布的期望与方差】【2017课标II，理13】一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则 .【答案】4.【正态分布】【2015湖北卷改编】设XN(1，)，YN(2，)，这两个正态分布密度曲线如图151所示有下列结论：P(Y2)P(Y1)；P(X2)P(X1)；对任意正数

30、t，P(Xt)P(Yt)；对任意正数t，P(Xt)P(Yt)其中正确的是_(填序号)【答案】【命题预测看准方向】离散型随机变量分布列的计算涉及排列、组合和概率的知识,综合性强,是高考考查的重点；两点分布、超几何分布和二项分布等重要的概率模型,应用性强,更是高考命题的重中之重；高考常把随机变量的分布列、均值和方差结合在一起重点考查考生分析、解决实际问题的能力.复习备考重点是条件概率与相互独立事件的概率；离散型随机变量及其分布列；二项分布与正态分布；离散型随机变量的分布列、均值与方差.【典例分析提升能力】【例1】【2017课标1，理19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线

31、上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得，其中为抽取

32、的第个零件的尺寸，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）附：若随机变量服从正态分布，则，【解析】 【趁热打铁】【2018届河北衡水金卷高三高考模拟一】“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗2018年春节前夕， 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；将

33、频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；若，则， 【答案】(1) (2) （3）的分布列为01234试题解析：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为（2）服从正态分布，且， ，落在内的概率是根据题意得，； ； ； ； 的分布列为01234【例2】【2017北京，理17】为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示

34、服药者，“+”表示未服药者.（）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（）从图中A，B，C，D四人中随机.选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）；（）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）【答案】（）0.3；（）详见解析；（）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.【解析】（）由图知，A,B,C,D四人中，指标的值大于1.7的有2人：A和C.所以的所有可能取值为0,1,2.所以的分布列为012 故的期望.（）在这100名患者中，服药者指标数据

35、的方差大于未服药者指标数据的方差.【趁热打铁】某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理” 的原则，规定参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区附近有三家社区医院，并且他们的选择是等可能的、相互独立的.（1）求甲、乙两人都选择社区医院的概率；（2）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；（3）设在4名参加保险人员中选择社区医院的人数为，求的分布列和数学期望及方差.【答案】(1) ；(2) ；(3)答案见解析.【解析】试题分析：（1）设“甲、乙两人都选择A社区医院”为事件A，由于他们的选择是相互独立，故利用乘

36、法公式可求；（2）先求甲、乙两人选择同一个社区医院的事件的概率，再求甲、乙两人不选择同一个社区医院的概率；（3）确定随机变量可能取的值，计算相应的概率，即可得到的分布列和数学期望及方差. (2)设“甲、乙两人选择同一家社区医院”为事件B，那么P(B)C，所以甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率P()1P(B).依题意B(4，)，所以P(k)C()k()4kC.故的分布列为01234P所以的数学期望E()4.方差D()4(1-)【例3】【2017天津，理16】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为.（）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求

37、随机变量的分布列和数学期望；（）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.【答案】 (1) (2) 所以，随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望.【趁热打铁】【2018届江苏省如皋市高三上学期调研（三）】袋中有大小相同的3个红球和2个白球,现从袋中每次取出一个球,若取出的是红球，则放回袋中,继续取一个球,若取出的是白球,则不放回,再从袋中取一球,直到取出两个白球或者取球5次,则停止取球,设取球次数为,(1)求取球3次则停止取球的概率;(2)求随机变量的分布列.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据独立事件同时发生的概率公式以及互斥事件的概率公式可得取球

38、次则停止取球的概率；（2）可能的取值为2,3,4,5，根据独立事件同时发生的概率公式以及互斥事件的概率公式分别求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.试题解析：（1）记“取球3次停止”为事件， 则； 其分布表如下：2345【例4】【2017山东，理18】在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从

39、中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的频率。（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.【答案】（I）(II)X的分布列为X01234PX的数学期望是.【解析】试题分析：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为M，计算即得(II)由题意知X可取的值为：.利用超几何分布概率计算公式得X的分布列为X01234P进一步计算X的数学期望.因此X的分布列为X01234PX的数学期望是=【趁热打铁】【2018届北京市海淀区高三第一学期期末】据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP50

40、0发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（数值越小，速度越快，单位是MIPS）测试1测试2测试3测试4测试5测试6测试7测试8测试9测试10测试11测试12品牌A3691041121746614品牌B2854258155121021（）从品牌A的12次测试中，随机抽取一次，求测试结果小于7的概率；（）从12次测试中，随机抽取三次，记X为品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果的次数，求X的分布列和数学期望E（X）

41、；（）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.【答案】（）；（）随机变量的分布列为：0123；（）本题为开放问题，答案不唯一. 试题解析：（）从品牌的12次测试中，测试结果打开速度小于7的文件有：测试1、2、5、6、9、10、11，共7次，设该测试结果打开速度小于7为事件，因此 （）12次测试中，品牌的测试结果大于品牌的测试结果的次数有：测试1、3、4、5、7、8，共6次，随机变量所有可能的取值为：0，1，2，3 随机变量的分布列为：0123（）本题为开放问题，答案

42、不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，结合已有数据，能够运用以下8个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，标准1: 会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值与后6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度）标准2: 会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差与后6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处理器打开含

43、有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动）标准3：会用品牌A前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值与品牌B前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值进行阐述（品牌A前6次测试结果的平均值大于品牌B前6次测试结果的平均值，品牌A后6次测试结果的平均值小于品牌B后6次测试结果的平均值，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌B）标准6：会用品牌A这12次测试结果的方差与品牌B这12次测试结果的方差进行阐

44、述（品牌A这12次测试结果的方差小于品牌B这12次测试结果的方差，品牌A打开文件速度的波动小于B）标准7：会用前6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数、后6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（前6次测试结果中，品牌A小于品牌B的有2次，占1/3. 后6次测试中，品牌A小于品牌B的有4次，占2/3. 故品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于B，品牌A打开含有文字和图片的文件的速度快于B）标准8：会用这12次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（这12次测试结果中，品牌A小于品牌B的有6次，占1/2.故品牌A和品牌B打开

45、文件的速度相当）参考数据期望前6次后6次12次品牌A5.509.837.67品牌B4.3311.838.08品牌A与品牌B4.9210.83方差前6次后6次12次品牌A12.30 27.37 23.15 品牌B5.07 31.77 32.08 品牌A与品牌B8.27 27.97 【方法总结全面提升】1.条件概率的两种求解方法: (2)基本事件法,借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再求事件AB所包含的基本事件数n(AB),得P(B|A)=n(AB)n(A).2.判断相互独立事件的三种常用方法:(1)利用定义,事件A,B相互独立P(AB)=P(A)P(B).（2）利用性质,

46、A与B相互独立,则A与B,A与B,A与B也都相互独立.(3)具体背景下,有放回地摸球,每次摸球的结果是相互独立的.当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验.3. 求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况确定X的取值情况,然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率.4. 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程,但需要注意检验该概率模型是否满足公式P(X=k)= Cnkpk(1-p)n-k的三个条件:(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p;(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是相互独立的;(3)该公式表示n次试验中事件A恰好

47、发生了k次的概率.5. 求离散型随机变量的均值与方差的基本方法有:(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差,可直接按定义(公式)求解;(2)已知随机变量X的均值、方差,求X的线性函数Y=aX+b的均值、方差,可直接用均值、方差的性质求解,即E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数).(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布,可直接利用它们的均值、方差公式求解,即若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p);若XB(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).【规范示例避免陷阱】【典例】【2017全国卷】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(，2)(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3，