微积分基本公式(打印).ppt

1、定积分定义,定积分的几何意义:,各部分面积的代数和,可积的两个充分条件:,1.,2.,且只有有限个间断点,定积分的性质(7条),5.1 内容回顾,(大前提:函数有界),定积分的性质,(设所列定积分都存在),( k 为常数),规定,5. 若在 a , b 上,则,推论1. 若在 a , b 上,则,推论2.,6. 设,则,7. 定积分中值定理,则至少存在一点,使,证:,则由性质6 可得,根据闭区间上连续函数介值定理,使,因此定理成立.,说明:,可把,故它是有限个数的平均值概念的推广.,积分中值定理对,因,改成,P241例6,内容小结,1. 定积分的定义, 特殊和式的极限,2. 定积分的性质,3.

2、 定积分中值定理,连续函数在区间上的平均值公式,注:,可进一步修改为,(证明见5.2),1. P235 题4,2. P236 题13 (4),题13(4) 解:,设,即,但,(P235 12(2),在0,1上严格单增,定积分中值定理(推广),证明:则至少存在一点,若f(x)在a,b上连续,g(x)在a,b上连续且保号,使得,(保号的保持在积分内),(P270第14题),证:,不妨设g(x)0,若g(x)0则命题显然成立,若g(x)0,则,设f(x)在a,b上的最小(大)值为m(M).,m g(x) f(x) g(x)M g(x),在a,b上积分得,由介值定理得,即,使得,若在 a , b 上连

3、续,证明,且,若,(P235第12题),则,(1),且,若,则,(2),且,若,则,(3),证:,(1),(反证),设,则存在x0使得f(x0)0,不妨设,则存在x0的某邻域U(x0,),当x属于U(x0,)时, f(x) ,与,矛盾.,所以,且,若,则,(2),由(1)反证.,首先,若,由(1)得,矛盾,所以,(3)令F(x)=g(x)f(x),由(1)得, F(x)=g(x)f(x)0,即g(x)=f(x),二、积分上限的函数及其导数,三、牛顿 莱布尼兹公式,一、引例,5.2 微积分的基本公式,第五章,(微积分的基本公式),一、引例,在变速直线运动中, 已知位置函数,与速度函数,则物体在时

4、间间隔,内经过的位移为,这种定积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .,在这里s(t)是v(t)的原函数，即,二、积分上限的函数及其导数,则变上限函数,证:,则有,定理1. 若,(介于x与x+h之间),说明:,1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.,2) 变限积分求导:,同时为,通过原函数计算定积分开辟了道路 .,(推导在后面),三、牛顿 莱布尼兹公式,( 牛顿 - 莱布尼兹公式),证:,根据定理 1,故,因此,得,定理2.,函数 ,则,例1. 计算,解:,原式=,例2. 计算,解:,原式=,例4. 计算正弦曲线,的面积 .,解:,例3. 计算,解:,| |,例5. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,速停车,解: 设开始刹车时刻为,则此时刻汽车速度,刹车后汽车减速行驶 , 其速度为,当汽车停住时,即,得,故在这段时间内汽车所走的距离为,刹车,问从开始刹,到某处需要减,设汽车以等加速度,车到停车走了多少距离?,例6. 求,解:,原式,例7.,确定常数 a , b , c 的值, 使,解:,原式 =,c 0 , 故,又由, 得,例8.,证明,在,内为单调递增函数 .,证:,只要证,例9. 设,求,在 , 的表达式.,解:,时,时,总之,内容小结,则有,1. 微积分基本公式,3. 变限积分求导公式,2. 定积分中值定理的推广,(a,b)或(b,a),