2011届高考数学第一轮学案和测评复习课件2

1、第二单元 函数及其性质,知识体系,第一节 函数及其表示,基础梳理,1. 函数的概念 设集合A是一个非空的 ,对A中的任意数x,按照确定的法则f,都有 的数y与它对应,则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作 .其中,x叫做 ,自变量取值的范围叫做这个函数的 .自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y=f(a).所有函数值构成的集合y|y=f(x),xA 叫做这个函数的 .,唯一确定,y=f(x),xA,自变量,定义域,数集,值域,2. 构成函数的三要素: 、 .,定义域,对应法则,3. 两个函数的相等 当两个函数的 和 都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.,定义域

2、,对应法则,4. 常用的函数表示法 (1) ; (2) ; (3) .,列表法,图象法,解析法,5. 分段函数 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不的 ， 这样的函数通常叫做分段函数.,对应法则,6. 映射的概念 设A、B是两个非空的集合,如果按某种对应法则f,对于集合A中的 元素x,在集合B中有 的元素y与x对应,那么就称f是集合A到集合B的映射，记作“ ”,任意一个,一个且仅有一个,f(x),典例分析,题型一 函数的概念,【例1】设函数 (1)求f（-4）； (2)若 =8,求,分析 这是分段函数的变换问题,需要结合定义域作数值代换. 解 -42,f(-4)= +2=18;

3、 当 当 综上所述，,学后反思 本题是在已知分段函数解析式的前提下,通过给出自变量(函数值)确定函数值(自变量),这是近几年高考考查函数概念的常见题型.解决这类问题关键要理解函数定义,自变量确定,有唯一的函数值与之对应；函数值确定,可能有多个自变量与之对应.同时，分段函数一定要结合定义域分段考虑,解析: 0, 0, f = ,f =f +1=f +2= , f +f =3.,答案:D,举一反三 (2010济宁模拟)已知 , 则 f +f 的值等于( ) A. -2 B. 1 C. 2 D. 3,题型二 函数三要素的应用,【例2】试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1) (2) (3) (4

4、),分析: 两函数是否是同一函数可根据定义域、值域和对应关系是否相同来判断.关键是定义域和对应关系是否相同.,解: (1)由于 故它们的对应关系不相同,所以它们不是同一函数; (2)由于函数f(x)= 的定义域为(-,0)(0,+),而g(x)= 的定义域为R,所以它们不是同一函数; (3)由于当nN*时,2n1为奇数,f(x)= =x,g(x)= =x,它们的定义域、值域及对应关系都相同,所以它们是同一函数;,(4)由于函数 的定义域为x|x0,而g(x)= 的定义域为x|x-1或x0,它们的定义域不同,所以它们不是同一函数.,学后反思 函数含有三个要素,即定义域A,值域B和对应关系f,其中

5、核心是f,它是函数关系的本质特征,只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才是同一函数,换言之就是: 定义域不同,两个函数也就不同. 对应关系不同,两个函数也就不同. 即使定义域和值域都分别相同的两个函数.它们也不一定是同一函数,因为函数的定义域和值域不能唯一的确定函数的对应关系.,举一反三,2. 下列四组函数,表示同一函数的是( ) A. f(x)= ,g(x)= (a0,a1) B. f(x)= ,g(x)= C. f(x)=2x-1(xR),g(x)=2x-1(xZ) D. f(x)= ,g(t)=,解析： A中两函数定义域不同,B中两函数定义域不同,C中定义域不同. 答

6、案： D,分析 第(1)题用配凑法;第(2)题用换元法;第(3)题已知一次函数,可用待定系数法;第(4)题用方程组法.,题型三 求函数解析式 【例3】(1)已知 ,求f(x); (2)已知f( +1)=lg x,求f(x); (3)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x); (4)已知f(x)满足2f(x)+f( )=3x,求f(x).,解(1) , f(x)= -3x(x2或x-2). (2)令 +1=t(t1),则x= , f(t)=lg ,f(x)=lg (x1). (3)设f(x)=ax+b(a0), 则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax

7、+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17, a=2,b=7,f(x)=2x+7.,(4)2f(x)+f( )=3x, 把中的x换成 ,得2f( )+f(x)=3x, 2-,得3f(x)=6x- , f(x)=2x- (x0).,学后反思 函数解析式的求法常见有: (1)配凑法.已知fh(x)=g(x),求f(x)的问题,往往把右边的g(x)整理成或配凑成只含h(x)的式子,用x将h(x)代换. (2)待定系数法.若已知函数的类型(如一次函数、二次函数），比如二次函数可设为f(x)=a +bx+c(a0),其中a、b、c是待定系数,根据题设条件,列出方程组,解出a、b、c即可

8、. (3)换元法.已知fh(x)=g(x),求f(x)时，往往可设h(x)=t,从中解出x,代入g(x)进行换元，便可求解. (4)方程组法.已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还有其 他未知量,如f( )等,必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过 解方程组求出f(x).,举一反三,3. (1)(2009广州模拟)若f(x)对任意实数x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,则f(x)= 。 (2)(2009潮州模拟)设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,在x1时,f(x)= -1,则x1时,f(x)= 。,解析：(1)2f(x)-f(-x)=3x+1, 2f(

9、-x)-f(x)=-3x+1, 由、解得f(x)=x+1. (2)当x1时,有-x+21时,f(x)=f(-x+2)= -1. 答案： (1)x+1 (2) -1,题型四 分段函数的应用 【例4】(12分)某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元，出厂单价为60元.该厂为鼓励销售定购,决定当一次订购量超过100个时,每多订一个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元.(1)当一次订购量为多少时,零件的实际出厂单价降为51元; (2)设一次订购量为x个,零件实际出厂单价为P元,写出P=f(x)的表达式; (3)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元

10、?如果订购1 000个,利润又是多少元?(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本),分析 关键是利用条件建立数学模型,注意本题要用分段函数建模.,解(1)设一次订购量为 个时,每个零件的实际出厂价恰好降为51元. 则 故一次订购550个时,每个零件的实际出厂价恰好降为51元.3,(2)当0x100时,P=60； 当100x550时, ,P=60-0.02(x-100)=62- ； 当x550时,P=51,.6 , 其中xN.8,(3)设销售商的一次订购量为x个时,工厂利润为y元, 则其中xN.10 当x=500时,y=6 000;当x=1 000时,y=11 000. 因此销售商一次订购5

11、00个零件时,该厂获得利润6 000元;如果订购1 000个,利润为11 000元.12,学后反思 对于分段函数，应分别求出各区间内的函数关系，再结合在一起，注意各区间的端点既不重复，又不遗漏.实际问题要注意自变量的取值范围.,举一反三,4. 某市某种类型的出租车，规定3千米内起步价8元（即行程不超过3千米，一律收8元）.若超过3千米，除起步价外，超过部分再按1.5元/千米收费计价，若乘客与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱，下车后乘客付了16元，则乘客乘车里程的范围是 .(单位：千米),解析: 设乘客乘车里程为x千米，计价为y元，由题意可知： 8,0 x3， 8+(x-3)1.5,x3. 由

12、15.58+(x-3)1.516.5,解得8x263. 答案：,易错警示,【例】已知 ,求f(x-1).,错解分析 在使用直接配凑法或换元法求函数解析式时,没有考虑定义域的变化而致错.也就是说在采用换元法求函数解析式时一定要保持等价变换.,错解 由已知得 , f(x)= -2, f(x-1)= -2= -2x-1.,正解 由已知得 , 但 2, 则f(x)= -2(|x|2),从而f(x-1)= -2= -2x-1(x3或x-1).,10. (2009山东)定义在R上的函数 ,则f(2 009)的值为.,考点演练,解析:当x0时,f(x)=f(x-1)-f(x-2), 则f(x+1)=f(x)

13、-f(x-1), 两式相加并整理得f(x+1)=-f(x-2),即f(x+3)=-f(x), f(x+6)=-f(x+3)=f(x), f(2 009)=f(6334+5)=f(5)=f(-1) = =1.,答案:1,11. 如图,在边长为4的正方形ABCD上有一点P,沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动,设P点移动的路程为x,ABP的面积为y=f(x).求ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式.,解析: 这个函数的定义域为(0,12). 当0x4时,S=f(x)= 4x=2x; 当4x8时,S=f(x)=8; 当8x12时,S=f(x)= 4(12-x)=2(12-x)=24-

14、2x. 这个函数的解析式为 2x,x(0,4, f(x)= 8,x(4,8, 24-2x,x(8,12).,12. （2009如皋模拟）已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)-2x的解集为(1,3).若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式.,解析: f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=a -(2+4a)x+3a, 由方程f(x)+6a=0，得a -(2+4a)x+9a=0, 因为方程有两个相等的根, 所以= -4a9a=0, 即5 -4a-1=0,解得a=1或a=- , 由于a0,故舍去a=1.将a=- 代入，得 f(x)=,第二节 函数的定义域与值域,

15、1. 在函数y=f(x),xA中,x叫做自变量, 叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值, 叫做函数的值域. 2. 函数的定义域的常见求法 (1)分式的分母 ； (2)偶次根式的被开方数 ； (3)对数的真数大于零,底数 ； (4)零次幂的底数； (5)三角函数中的正切函数y=tanx ； (6)已知函数f(x)定义域D,求函数fg(x)的定义域,只需 ； (7)已知函数fg(x)定义域为D,求函数f(x)的定义域,只需要求,基础梳理,x的取值范围A,函数值的集合f(x)|xA,不为零,大于或等于零,大于零且不等于1,g(x)D,不为零,g(x)的,值域(xD),典例分析,题型一 函

16、数的定义域,【例1】求函数f(x)= 的定义域.,分析 只需要使解析式有意义,列不等式组求解.,解 要使函数有意义,则只需 即 x2或x0, -3x3, 解得-3x0或2x3. 故函数的定义域是(-3,0)(2,3).,学后反思 求函数的定义域,其实质就是以函数解析式所含运算可以施行为准则,列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集,其准则一般是:,(1)分式中,分母不为零; (2)偶次方根中,被开方数非负; (3)对于y= ,要求x0; (4)对数式中,真数大于0,底数大于0且不等于1; (5)由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题的约束.,举一反三,函数f(x)= +lg(3x+1)的定

17、义域是( ) A.（ ,+） B. （ ,1） C. D. （-, ）,解析： 由 1-x0,解得 0 答案： B,题型二 复合函数的定义域,【例2】(1)已知函数f(x)的定义域为0,1，求下列函数的定义域:f( );f( -1). (2)已知函数flg(x+1)的定义域是0,9，则函数f( )的定义域为 .,分析 根据复合函数定义域的含义求解.,解 (1)f(x)的定义域是0,1,要使f( )有意义，则必有0 1,解得-1x1. f( )的定义域为-1,1. 由0 -11，得1 2. 1x4.(x0时， 才有意义) 函数f( -1)的定义域为1,4. (2)flg(x+1)的定义域为0,9

18、, 0 x9,1x+110, 0lg(x+1)1， f(x)的定义域为0,1. 由0 1,得x0. f( )的定义域为(-,0,学后反思 已知函数f(x)的定义域为a,b,则函数fg(x)的定义域是指满足不等式ag(x)b的x的取值范围;一般地,若函数fg(x)的定义域是a,b,指的是xa,b,要求f(x)的定义域就是求xa,b时g(x)的值域.,举一反三,2. 已知 的定义域为0,3,求f(x)的定义域.,解析： 的定义域为0,3,0 x3, 1 2，f(x)的定义域为1,2.,分析 对于（1）利用二次函数在确定区间单调性求解或利用在区间的图象判别. 对于（2）利用换元法转化为二次函数的值域

19、问题，还可以通过单调性求解. 对于（3）利用指数函数性质求得(2x0).,解 (1)y=3 -x+2= . 对称轴x= -1,3,函数在x= 处取得最小值.即 .结合函数的单调性知函数在x=3处取得最大值,即 =26，函数的值域为,(2)方法一:令 =t(t0),则x= . y=1- -t= 二次函数对称轴为t=- , y= 在0,+)上是减函数, ymax= =1. 函数有最大值1,无最小值,其值域为(-,1. 方法二:y=2x与y=- 均为定义域上的增函数, y=2x- 是定义域为x|x 上的增函数, ,无最小值. 函数的值域为(-,1.,(3)由y= ，得 . 由指数函数的性质可知， 0

20、，解得-1y1. 故函数的值域为（-1，1）,学后反思 求函数值域(最值)的常用方法: (1)基本函数法 对于基本函数的值域可通过它的图象性质直接求解. (2)配方法 对于形如y=a +bx+c(a0)或F(x)=a +bf(x)+c(a0)类的函数的值域问题,均可用配方法求解. (3)换元法 利用代数或三角换元,将所给函数转化成易求值域的函数,形如y= 的函数,令f(x)=t,形如y=ax+b (a,b,c,d均为常数,ac0)的函数, 令 =t;形如含 的结构的函数,可利用三角代换,令x=acos ,0,或令x=asin, . (4)不等式法 利用基本不等式:a+b2 ,用此法求函数值域时

21、,要注意条件“一正、二定、三相等”.如利用a+b2 求某些函数值域(或最值)时应满足三个条件:a0,b0;a+b(或ab)为定值;取等号条件a=b，三个条件缺一不可.,(5)函数的单调性法 确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域,例如,f(x)=ax+ (a0,b0).当利用不等式法等号不能成立时,可考虑用函数的单调性. (6)数形结合法 如果所给函数有较明显的几何意义,可借助几何法求函数的值域,形如: 可联想两点 与 连线的斜率. (7)函数的有界性法 形如y= ,可用y表示出sin x,再根据-1sin x1,解关于y的不等式,可求y的取值范围. (8)导数法 设y

22、=f(x)的导数为f(x),由f(x)=0可求得极值点坐标,若函数定义域为a,b,则最值必定为极值点和区间端点中函数值的最大值和最小值.,举一反三,3. 求下列函数的值域. (1)y= ; (2)y=,解析： (1)由 3x+60, 8-x0,得-2x8, 定义域为-2,8. 函数为增函数,- y . 函数的值域为- , . (2)y +(2y-1)x+2y-1=0,又xR, = -4y(2y-1)0,即(2y-1)(-1-2y)0, - y ，函数的值域为,题型四 函数的最值,【例4】（12分）已知函数f(x)= ,x1,+). (1)当a=4时,求f(x)的最小值; (2)当a= 时,求f

23、(x)的最小值; (3)若a为正常数,求f(x)的最小值,分析 在解决该类型函数的最值时,首先考虑到应用基本不等式求解,但须逐一验证应用基本不等式所具备的条件.若条件不具备,应从函数单调性的角度考虑.,解 (1)当a=4时,f(x)=x+ +2,易知,f(x)在1,2上是减函数,在2,+)上是增函数.2 f(x)min=f(2)=6.4 (2)当a= 时,f(x)=x+ +2,易知,f(x)在1,+)上为增函数，6 f(x)min=f(1)= .8 (3)函数f(x)=x+ +2在(0, 上是减函数,在 ,+)上是增函数.10 若 1,即a1时,f(x)在区间1,+)上先减后增,f(x)min

24、=f( )=2 +2; 若a1,即0a1时,f(x)在区间1,+)上是增函数. f(x)min=f(1)=a+3.12,举一反三,学后反思 求函数在某区间上的最值,通常先判断函数在该区间上的单调性,当函数或区间中含有字母时,要对字母加以讨论,以确定函数的单调性.,4. 已知函数f(x)=kx+b的图象与x、y轴分别相交于A、B, =2i+2j(i、j分别是与x、y轴正半轴同方向的单位向量), 函数g(x)= -x-6. (1)求k、b的值; (2)当x满足f(x)g(x)时,求函数 的最小值.,解析： (1)由已知得A ,B(0,b).则 于是 =2,b=2，k=1,b=2. (2)由f(x)

25、g(x),得x+2 -x-6, 即(x+2)(x-4)0,则 -3, 其中当且仅当x+2=1,即x=-1时等号成立. 的最小值是-3.,易错警示,【例】已知f(x)=2+ (1x9),求函数y= 的 最大值.,错解 y= = ,即 y= 1x9,0 2. 当x=9,即 =2时,y取最大值为22.,错解分析 忽视了复合函数f( )的定义域,误以为函数y的定义域仍为f(x)的定义域,从而导致求最大值出错.,正解 f(x)的定义域为1,9,要使函y= 有意义,必有: 1 9, 1x9，1x3,0 1. 当x=3,即 =1时,y的最大值为13.,考点演练,10. 函数f(x)= 在区间a,b上的值域为

26、0,1,则b-a的最小值为 .,答案:,解析:由图象可知,a,b应为 的一个子区间.当a= ,b=1时,b-a取 最小值为 .,11. (创新题)如图所示,某灌溉渠的横断面是等腰梯形,底宽及两边坡的总长度为a,边坡的倾斜角为60. (1)求横断面面积y与底宽x的函数关系式,并 求定义域; (2)当 时,求横断面面积的最大及最小值.,解析：(1)坡长为 ,高为 sin 60= , 上底为x+2 cos 60= , 面积 定义域为(0,a).,(2) , 由二次函数的图象可知 当 时, ; 当 时, .,12. 已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=2x- .,(1)求y=f(

27、x)的解析式; (2)画出函数y=f(x)的图象,并指出f(x)的单调区间及在每个区间上的增减性; (3)若函数y=f(x)的定义域为a,b,值域为 (1ab),求实数a、b的值.,解析：(1)当x0, f(x)=-f(-x)=-2(-x)- =2x+ , f(x)的解析式为,(2)f(x)的图象如图,f(x)在(-,-1和1,+)上是减函数,f(x)在-1,1上是增函数.,(3)f(x)在1,+)上是减函数,且1ab,f(x)在a,b上是减函数, 即 解得 又1ab, ,第三节 函数的单调性,基础梳理,定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为A, 区间M A.如果取区间M上的任意两个值 ,

28、 ,改变量 0,则当 0时，就称f(x)在 上是增函数:当 0时，就称函数f(x)在 上是减函数 .,区间M,区间M,2. 如果函数y=f(x)在某个区间M上是 或 ,那么就说函数y=f(x)在这一区间M具有(严格的)单调性,区间M叫做y=f(x)的 .,3. 设复合函数y=fg(x),其中u=g(x),A是y=fg(x)定义域的某个区间,B是映射g:xu=g(x)的象集. (1)若u=g(x)在A上是增(或减)函数,y=f(u)在B上也是增(或减)函数,则函数y=fg(x)在A上是 ; (2)若u=g(x)在A上是增(或减)函数,而y=f(u)在B上是减(或增)函数,则函数y=fg(x)在A

29、上是 .,增函数,减函数,单调区间,增函数,减函数,典例分析,题型一 函数单调性的判断与证明,【例1】判断下列函数的单调性,并证明. (1)f(x)= ,x(-1,+); (2)f(x)= ,x-1,+).,分析 先判断单调性,再用单调性的定义证明.(1)采用通分进行变形,(2)采用分子有理化的方式进行变形.,解 (1)函数f(x)= 在(-1,+)上为减函数. 利用定义证明如下: 任取 、 (-1,+),且-10, +10, - 0. 0,即f( )-f( )0,f( )f( ). f(x)= 在(-1,+)上为减函数. (2)函数f(x)= 在-1,+)上为增函数, 证明如下: 任取 、

30、-1,+)且-1 0， 0, 即f( )-f( )0,f( )f( ). 函数f(x)= 在-1,+)上为增函数,学后反思 对于给出具体解析式的函数,判断或证明其在某区间上的单调性问题,可以结合定义(基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断)求解,可导函数则可以利用导数解之.,举一反三 1. 已知 a0, 是R上的偶函数. (1)求a的值; (2)求证：f(x)在(0,+)上为增函数.,解析：(1)依题意,对一切xR,有f(-x)=f(x), 即 ， ， 不可能恒为0， , a=1,a0,a=1.,(2)证明：方法一(定义法):设 ,则 , 由 , 得 , ,即 , f(x)在(0,+)上为增函

31、数.,方法二(导数法):a=1,x(0,+), f(x)= , f(x)在(0,+)上为增函数.,题型二 求函数的单调区间,【例2】求函数f(x)=x+ 的单调区间,分析 利用定义法或导数法.,解 方法一:首先确定定义域x|x0,所以要在(-,0)和(0,+)两个区间上分别讨论.任取 , (0,+)且 ,则 = ,要确定此式的正 负只要确定 的正负即可. 这样,又需要判断 大于1,还是小于1.由于 、 的任意性,考虑到要将(0,+)分为(0,1)与(1,+).,(1)当 (0,1)时, 0, 0,f(x)为增函数; 同理可求，(3)当 (-1,0)时,f(x)为减函数; (4)当 (-,-1)

32、时,f(x)为增函数. 方法二:f(x)=1- ,令f(x)0,得x21,即x1或x-1, 令f(x)0,得x21,即-1x1,f(x)的单调增区间为(1,+)和(-,-1),单调减区间为(-1,0)和(0,1).,学后反思 利用定义时,要注意 的正负判断,一般可 设 ,再令1- =0,得 =1,从而找到分界点.复合函数 y=fg(x)的单调规律是“同增,异减”,即f(x)与g(x)单调性相 同时,fg(x)为增函数;单调性不同时,fg(x)为减函数.,2. 函数f(x)= (ab0),求f(x)的单调区间.,举一反三,解析：在定义域内任取 , ab0,b-a0, , 只有当 或 时函数才单调

33、. 当 或 时 . f(x)的单调区间为(-,-b)和(-b,+).,题型三 利用单调性比较大小 【例3】设函数f(x)是R上的减函数,则 ( ) A. f(a)f(2a) B. f( )f(a) C. f( +a)f(a) D. f( +1)f(a),分析 由减函数的定义可知,只需比较各组函数值的自变量的大小即可.,解 , +1a. 又f(x)在R上为减函数,f( +1)f(a)成立，即选D.,学后反思(1)本题为选择题,故可用排除法解之,如令a=1时,则有f(a)f(2a),f( )=f(a),可排除A、B,令a=0,可排除C. (2)此类题的解法依据是增减函数的定义,为此我们可将两个实数

34、转化为同一函数在同一单调区间上的两个函数值,再利用单调性比较大小.,举一反三,3. 若函数f(x)在a,b上是增函数,对任意的 a,b( ),下列结论中不正确的是( ),答案:C,解析:由于f(x)在a,b上是增函数，所以无论 还是 都有 ( )与 同号，又因为 ，所以 0 且 0 ，故A、B、D均正确.由于 与 大小不确定，所 以 与 的大小也不确定，C是错误的.,题型四 单调性的应用 【例4】(12分)函数f(x)对任意的a、bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x0时,f(x)1. (1)求证:f(x)是R上的增函数; (2)若f(4)=5,解不等式f(3 -m-2)3.

35、,分析 根据题目中所给的关系式通过赋值、变形、构造,寻找f(x2)与f(x1)的关系.,解(1)设 R,且 ,则x= . 1. .2 .5 即f(x)是R上的增函数.6,(2)f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5. f(2)=3,.8 原不等式可化为f(3 -m-2)f(2),.10 f(x)是R上的增函数, 3 -m-22 11 解得 ,故解集为 .12,学后反思(1)抽象函数的单调性问题一般是给出一个关于抽象函数的关系式,再给出函数的某些信息或性质.处理这种问题的关键是根据所求,利用所提供的信息,对关系式进行恰当地赋值、变形、构造,不断产生新的信息,同时,式子的形式也不断接近

36、目标的形式，但要注意函数定义域不能扩大或缩小. (2)第二步是利用第一步的成果,去求进一步的问题,往往是通过合理变形,根据单调性,脱去“f”,得到具体的数学式,然后进行求解或论证.,解析：f(2)=0, 原不等式可化为 又f(x)为偶函数,且f(x)在(0,+)上为增函数, f(x)在(-,0)上为减函数且f(-2)=f(2)=0. 不等式可化为 , 或 , 由得 ,x-5或x0, 由得 , 或 , 由得原不等式的解集为,举一反三 4.已知偶函数f(x)在(0,+)上为增函数,且f(2)=0,解不等式,【例】求函数y=lg( -2x-3)的增区间.,易错警示,错解1,+)是它的增区间.,错解分

37、析 应先确定函数的定义域,本题由于未考虑函数的定义域而出现错误.,正解 设t= -2x-3,底数a=101,故原函数的单调性与函数t= -2x-3单调性相同，故函数t= -2x-3的增区间为1,+),又 -2x-30,原函数的增区间为(3,+).,考点演练,解析： 若x=0,则不论a取何值,f(x)0显然成立; 当x0，即x(0,1时,f(x)=a -3x+10可化为a , 设g(x)= , 则g(x)= , 所以g(x)在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,因此g(x)max=g（ ）=4,从而a4;,当x0,g(x)在区间-1,0)上单调递增,因此g(x)min=g(-1)=4,从而a4

38、. 综上，a=4. 答案： 4,11. (2010锦州模拟)作出函数 的图象,并指出f(x)的单调区间.,解析：原函数可化为 图象如图所示. 由图象可知函数f(x)的单调减区间为(-,-3, 单调增区间为3,+), 常数函数区间为(-3,3).,12. 若函数f(x)=ln 在1,+)上是增函数,求a的取值范围.,解析： 要满足题意,首先需要: 对任意的1 , 恒成立, 即ln 0, -1,a 1,欲使a 恒成立,只要a-1. 还要使当x1时, 0恒成立,由f(x)在x1,+)上是增函 数知,只要x=1时, 0即可,解得a9. a的取值范围是-1,9).,第四节 函数的奇偶性和周期性,基础梳理

39、,1. 定义:一般地,如果对于函数f(x)定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-xD,且 ,则称f(x)为奇函数;如果对于函数g(x)定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-xD,且 ,则称f(x)为偶函数.,2. 简单性质 图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象 ;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象 .,3. 周期:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有 那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期,f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),关于原点对称,关于y轴对称,f(x+T)=f(x),典例分析,题型一

40、判断函数的奇偶性,【例1】判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= ; (2)f(x)= ; (3)f(x)= ; (4)f(x)=,分析 先求函数的定义域,而后判断f(x)与f(-x)之间的关系.,解 (1)由 0,得定义域为-1,1),关于原点不对称, f(x)为非奇非偶函数. (2) f(x)=0, f(x)既是奇函数又是偶函数.,(3) 得定义域为(-1,0)(0,1), f(x)= . f(-x)= =f(x), f(x)为偶函数. (4)当x0,则 f(-x)= =-f(x), 当x0时,-x0,则 f(-x)= =-f(x), 综上所述,对任意的x(-,0)(0,+),都有f(-

41、x)=-f(x),故f(x)为奇函数.,学后反思 判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大,解决问题时应先考察函数的定义域,若函数的解析式能化简,一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程(要保证定义域不变).,举一反三,1. 设函数f(x)在(-,+)内有定义,下列函数: y=-|f(x)|;y=xf( );y=-f(-x); y=f(x)-f(-x). 必为奇函数的有.(要求填写正确答案的序号),解析:设y=g(x), 根据奇偶函数的定义判断,g(-x)=(-x)f =-xf( )=-g(x);g(-x)=f(-x)-f(x)=-g(x).,答案:,题型二 奇偶性的应用,【例2】定义在R

42、上的函数f(x)= (a0)为奇函数，求 的值.,分析 利用奇函数的定义域求出a.,解 方法一：由条件知f(-x)=-f(x),即 f(-x)+f(x)=0. + =0, 化简得 =0, a=4, 方法二：f(x)是奇函数且f(x)在x=0处有意义， f(0)=0， =0,即 =1,解得a=4. ,学后反思 方法一是利用若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)对任意x恒成立，抓住“对任意x恒成立”是解题关键；方法二要注意f(x)在x=0处有意义这个条件，这种方法很常用，需要熟练掌握.,举一反三,2. 已知函数f(x)= (a,b,cZ)是奇函数,又f(1)=2,f(2)3,求a,b,c的值

43、.,解析： 由f(-x)=-f(x)，得-bx+c=-(bx+c),c=0. 又f(1)=2,得a+1=2b, 而f(2)3,得 3,解得-1a2. 又aZ,a=0或a=1. 若a=0,则b= Z,应舍去;若a=1,则b=1Z. a=1,b=1,c=0.,题型三 函数的周期性,【例3】(12分)(2009日照调研)设f(x)是(-,+)上的奇函数,对任意实数x,都有f(x+2)=-f(x),当-1x1时,f(x)= . (1)求证:直线x=1是函数f(x)图象的一条对称轴; (2)当x1,5时,求函数f(x)的解析式.,分析 通过f(x+2)=-f(x)与-f(x)=f(-x)的转化,来求函数

44、的对称轴与周期,技巧在于通过换元进行转化.求函数f(x)的解析式要利用函数的周期性进行转化,转化到知道函数解析式的区间上.,解 (1)f(x)为奇函数,-f(x)=f(-x), f(x+2)=f(-x),3 f(x-1)+2=f-(x-1),即f(1+x)=f(1-x), 直线x=1是函数f(x)图象的一条对称轴. (2)f(x+4)=-f(x+2)=f(x),6 f(x)是以4为周期的函数. 又当-1x1时,f(x)= , 当x1,3时,x-2-1,1, f(x)=f(x-2+2)=-f(x-2)=- ,8 当x(3,5时,x-4(-1,1, f(x)=f(x-4+4)=f(x-4)= ,1

45、0 当x1,5时,f(x)的解析式为 12,学后反思 函数的奇偶性经常与函数的其他性质,如单调性、周期性、对称性结合起来考查.因此,在复习过程中应加强知识横向间的联系.,举一反三,3. 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数.若f(x)的最小正周期是，且当x 时，f(x)=sinx,求f（ ）的值.,解析： 由题意可得 =,易错警示,【例】判断函数 的奇偶性.,错解 当x0时，f(-x)=- +2(-x)-3=-( ) = -f(x),当x0时，f(-x)= +2(-x)+3=-( )=-f(x), 函数f(x)是奇函数.,错解分析 尽管对定义域的每一个x0，f(-x)=-f(x)成立

46、.但当x=0时,f(0)=2-f(0)，故函数既不是奇函数也不是偶函数.,正解 f(x)既不是奇函数也不是偶函数.,10. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为 .,解析:f(x)是R上的奇函数,f(-x)=-f(x). 令x=0,得f(0)=0,又f(x+2)=-f(x), f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)=f(0+2)=-f(0). f(0)=0,f(6)=0.,考点演练,答案:0,11. 已知函数 (x0,aR). (1)当a=1时,解不等式f(x)-f(x-1)2x-1; (2)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由.,解析： (1)

47、即 x(x-1),0 x1. 原不等式的解集为（0，1）.,(2)当a=0时,f(x)= . 对任意x(-,0)(0,+),都有 ,f(x)为奇函数. 当a0时, (a0,x0), 取x=1,得f(-1)+f(1)=2a0,f(-1)-f(1)=-20, f(-1)-f(1),f(-1)f(1), 函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.,12. 设 为奇函数,a为常数. (1)求a的值; (2)证明f(x)在(1,+)内单调递增; (3)若对于3,4上的每一个x的值,不等式 恒成立,求实数m的取值范围.,解析：(1)f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x). .通过检验a=1(舍去),a=-

48、1. (2)任取 , . ,即 f(x)在(1,+)内单调递增.,恒成立. 令 .只需 ,可以用 定义证明g(x)在3,4上是增函数, . 时原式恒成立.,第五节 函数的图象,一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、 对数函数、三角函数等.对于这些函数的图象应非常清楚 描点法作图:通过 、 、 三个步骤,画出函数图象.用描点法在选点时往往选取 ,有时也可利用函数的性质(如单调性、奇偶性、周期性)画出图象 图象变换法作图:在高考中要求学生掌握三种变换换 、,基础梳理,函数的图象,函数图象的作法,1. 基本函数:,列表,描点,连线,特殊点,平移变换,伸缩变换,对称变换,2. 平移变换 (1)y=

49、f(x)的图象 得到函数y=f(x+a)的图象. (2)y=f(x-b)(b0)的图象可由y=f(x)的图象 得到. 对于左、右平移变换,往往容易出错,在实际判断中可熟记口诀: . 而对于上、下平移，相比较则容易掌握，原则是上加下减，但要注意的是加、减指的是在 . 如:h0,y=f(x)h的图象可由y=f(x)的图象 而得到.,向左平移a(a0)个单位,向右平移b个单位,左加右减,f(x)整体上,向上(下)平移h个单位,3. 对称变换 (1)y=f(-x)与y=f(x)的图象关于 对称; (2)y=-f(x)与y=f(x)的图象关于 对称; (3)y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于 对称

50、; (4)y=f-1(x)与y=f(x)的图象关于 对称; (5)y=|f(x)|的图象:可将y=f(x)的图象在 (6)y=f(|x|)的图象:可先作出y=f(x),当x0时的图象,再利用用 ,作出y=f(x)(x0)的图象.,y轴,x轴,原点,直线y=x,x轴下方的部分关于x,轴翻转180,其余部分不变,偶函数的图象关于y轴对称,变为原来的A倍,横坐标,纵坐标,典例分析,题型一 作图,【例1】作出下列函数的图象. (1)y= ;(2)y= ; (3)y= ;(4)y=,分析 首先将简单的复合函数化归为基本的初等函数,然后由基本初等函数图象变换得到.,4. 伸缩变换 (1)y=Af(x)(A

51、0)的图象,可将y=f(x)的图象上所有点的纵坐标标, ， 不变而得到; (2)y=f(ax)(a0)的图象,可将y=f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的 , 不变而得到.,解 (1)首先化简解析式得 ,利用二次函数的图象作出其图象,如图. (2)因y= ,先作出y= 的图象, 将其图象向右平移一个单位,再向上平移一个单位, 即得y= 的图象,如图. (3)先作出y= 的图象,再将其图象向下平移一个单位,保留x轴上方的部分,将x轴下方的图象翻折到x轴上方, 即得y= 的图象,如图. (4)先作出y= 的图象,再将其图象在y轴左边的部分去掉,并作出y轴右边的图象关于y轴对称的图象,即得y=

52、的图象,再将y= 的图象向右平移一个单位,即得y= 的图象,如图.,学后反思 已知函数解析式研究函数图象问题,主要是将解析式进行恰当的化简,然后与一些熟知函数的图象相联系,通过各种图象变换(主要有平移变换、伸缩变换、对称变换)等得到要求的函数图象.另外,还要善于借助解析式发现函数的性质(奇偶性、单调性、周期性等),以此帮助分析函数图象的特征.,举一反三,1.(2008江西)函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间 内的图象大致是( ),题型二 识图,【例2】下列四个函数中,图象如下图所示的只能是( ) A. y=x+lg x B. y=x-lg x C. y=-x+lg

53、 x D. y=-x-lg x,解析：:函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x| 由解析式画出分段函数的图象. 答案： A,分析 用特殊值法,逐个代入验证.,解 当x=1时,由图象知y0,而C、D中y0,而A中y=110+lg110=-9100,故排除A,只能选B.,学后反思 函数的图象是函数的另外一种表达式,图象可以形象地描述函数的性质,此题仅仅抓住y0(即图象在x轴上方),在其定义域(0,+)中仅取几个特殊值进行验证,这种赋值法也是经常使用的.,举一反三,2. 已知函数y=f(x)(0 x1)的图象如图，若0 1,则( ),A. B. C. D. 以上都不正确,解析： 如

54、图，设P( ， ),Q( , )，则 、 分 分别是直线OP和OQ的斜率，易知 ，所以 答案： A,题型三 函数的图象变换,【例3】(2009青岛模拟)已知 则下列函数的图象错误的是( ),分析 先画出分段函数 的 的图象，再根据函数图象间的变换逐一判断.,解 f(x)的图象如图所示, f(x-1)的图象由f(x)的图象向右平移1个单位，故A正确; f(-x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，故B正确; 由y=f(|x|)的奇偶性可知,保留f(x)在y轴右侧的图象,左侧图象由右侧图象关于y轴对称得到，故C正确; |f(x)|的图象是将f(x)图象在x轴下方部分关于x轴翻转180,其余部分不变,故D错.,学后反思 这类问题主要考查函数图象的几种变换(如平移变换、对称变换、伸缩变换等),有时也考查函数的奇偶性及互为反函数的两个函数的图象问题.复习时应加强对y=f(x)与y=f(-x)、y=-f(x)、y=-f(-x)、y=f(|x|)、y=|f(x)