平面图形的几何性质.ppt

1、附录 截面的几何性质,其中面积A、极惯性矩IP均为和横截面的形状和尺寸有关的几何量，称为截面的几何性质。,在计算梁的应力和位移时，还要用到另一些截面的几何性质。这一章就将介绍这些几何性质和其计算方法。,.1 截面的静面矩和形心位置,.2 惯性矩、惯性积和惯性半径,.4 转轴公式 主惯性轴和主惯性矩,.3 平行移轴公式,目 录,一、静面矩,分别为图形对 z 轴和 y 轴的静矩。,说明：,1、静矩不仅与平面图形的形状尺寸有关，还与所选坐标的位置有关。同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩不同。,2、静矩的数值可正可负，也可以为零。,3、静面矩的单位：mm3 或 m3,定义,面积对轴的一次矩,.1 截面

2、的静面矩和形心位置,截面形心位置和均质薄板的重心位置重和。设形心C的坐标为yC、zC，利用合力矩定理得。,二、形心,即:,从而：,推论,1、若平面图形对某一坐标轴的静矩等于零，则该坐标轴必通过图形的形心。,2、平面图形对通过其形心的坐标轴的静矩恒等于零，,即：轴过形心 S该轴=0,求所示图形对y、z轴的静矩以及形心位置,y,y+dy,解法1：,例 1,解法2：,试想想还有没有其它方法？,？,例2 试求1、2部分对z轴的静面积矩。,解：,1、2两部分的面积和形心沿y轴的坐标分别为,因为整个矩形截面对z轴的静面矩衡等于零，即,三、组合图形的静矩和形心,1、组合图形对某一轴的静矩等于组成它的各部分图

3、形对同一轴静矩的代数和，即：,其中：Ai， yi， zi 分别代表第i个图形的面积和形心坐标， n为分割成的简单图形的个数。,2、组合图形的形心坐标,其中：yc 、 zc为组合图形的形心坐标， Sz、Sy为组合图形分别对z轴和y轴的静矩, A为组合图形的总面积,由于y轴是对称轴,解：,.2 惯性矩、惯性积和惯性半径,一、惯性矩与惯性积,惯性矩定义,图形面积对某轴的二次矩,则分别定义为该截面对z轴和y轴得惯性矩,（3）其大小不仅与平面图形的形状尺寸有关,而且还与平面图形面积相对于坐标轴的分布情况有关.平面图形的面积相对坐标轴越远,其惯性矩越大;反之,其惯性矩越小.,特点：,（1）惯性矩的量纲为长

4、度的四次方，单位用m4 、 cm4 、 mm4.,（2）惯性矩恒为正值,惯性积定义,图形对一对相互垂直的轴的矩,特点:,(1)惯性积的量纲为长度的四次方，单位为m4 、 cm4 、 mm4. (2)其值可正、可负，可为零。 (3)所选坐标轴有一个对称轴，则惯性积的值为零。,其中iy、iz分别为平面图形对z轴和y轴的惯性半径。,（4）组合图形对某轴的惯性矩等于各组成图形对同一轴的惯性矩之和:,（5）工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的乘积, 即,或,（2）即平面图行对通过一点的任意一对正交坐标轴的惯性矩之和均相等, 并且等于平面图形坐标原点的极惯性矩.,二、极惯性矩,定义,图形面

5、积对某点的二次矩：,特点：,（1）具有惯性矩的特点,求所示图形对过形心的z、y轴的惯性矩,例4,解：,求所示图形对过形心的z、y轴的惯性矩,例5,解：,同理，对于空心圆：,.3 平行移轴公式,一、惯性矩的平行移轴公式,C为形心，y、z为原坐标轴，yc、zc为过形心C分别与y、 z平行的坐标轴,则有：,(1)两平行轴中必须有一对轴为过形心的轴。 (2)截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系应通过平行的形心轴惯性矩来换算。 (3)a、b的正负号由形心C在y、z坐标系中所在的的象限来决定,说明：,例6,求所示图形对过形心的z、y轴的惯性矩。,解：,（1）确定形心,由于y、 z为对称轴，故y、z的坐标原点

6、就是形心。,（2）计算三部分对z、y轴的惯性矩。,（3）计算图形的惯性矩。,例 7 求图示截面对水平z(过形心)轴的惯性矩。,解：可以看成外面的大矩形对z轴的惯性矩减去里面的小矩形对z轴的惯性矩。,形心坐标：,外面的大矩形对Z轴的惯性矩为：,利用平行移轴公式，可得,里面的小矩形对z轴的惯性矩为：,所以,练习求图示截面对水平z(过形心)轴的惯性矩。,解：可以看成外面的大矩形对z轴的惯性矩减去里面的小矩形对z轴的惯性矩。,形心坐标：,外面的大矩形对Z轴的惯性矩为：,利用平行移轴公式，可得,里面的小矩形对z轴的惯性矩为：,所以,例 8 求图示截面对于水平z轴的惯性矩。,解：,整个圆截面对z1轴的惯性

7、矩为 ，则半圆对z1轴惯性矩为,虽然z轴与z1轴平行，但是它不是半圆截面的形心轴，则,因此必须先确定半圆对过其形心轴的惯性矩,例 8 求图示截面对于水平z轴的惯性矩。,解：,(1) 计算半圆对z轴的惯性矩,而,练习求图示截面对水平轴zC的惯性矩。,.4 转轴公式 主惯性轴和主惯性矩,一、惯性矩和惯性积的转轴公式,则截面对y1轴的惯性矩为,任意轴y、z的惯性矩和惯性积已知，且规定a逆时针转向为正,由上面公式易得,二、截面的主惯性轴和主惯性矩,当坐标轴转动90之后,由此可知，在坐标轴转动的过程中，必然会有一对坐标轴的惯性积,则y0、z0就称之为主惯性轴，简称主轴。截面对主轴的惯性矩称之为主惯性矩。

8、,由上式可以解出a0的值，就确定两个主轴中y0的位置，此时的Iy0恒大于Iz0值。,求惯性矩的极值,这说明1和0相等,故其中Iy0就是最大值，而Iz0就是最小值。,(4)形心主惯性矩：对任一形心的主惯性轴的惯性矩,几个主要定义,(1)主惯性轴：Iy0z0=0，则y0、z0为主惯性轴。,(2)主惯性矩：对任一主惯性轴的惯性矩,(3)形心主惯性轴：过形心的主惯性轴的惯性矩,可以证明：任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴,若截面有两个对称轴，这两个对称轴就是截面的形心主轴。,例 9 求图示截面形心主惯性矩。,解：(1)由对称性易确定形心位置,(2)求图示截面对y、z轴惯性矩,矩形1,矩形2,矩形3,对整个截面