补充：拉氏变换.ppt

1、,s为复频率,拉氏变换是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程以便求解。,拉普拉斯变换,对应,时域函数f(t)(原函数),复频域函数F(s)(象函数),对应,时域函数f(t)(原函数),复频域函数F(s)(象函数),对应,时域函数f(t)(原函数),复频域函数F(s)(象函数),形如 的数，叫做复数,1.复数与复平面,2 复平面 一个复数 本质上由一对有序实数 唯一确定。可对应于平面上的点 ，这样表示复数的平面称为复平面或 平面。其中 轴称为实轴， 轴称为虚轴。,复数的表示,代数形

2、式： 三角形式： 指数形式：,2. 拉氏变换的定义,正变换,反变换,t 0 , f(t)=0,今后讨论的拉氏变换均为 0 拉氏变换,计及t=0时f(t)包含的冲击。,注,在t0 至t0 f(t)=(t)时此项 0,1,指数函数 三角函数 单位脉冲函数 单位阶跃函数 单位速度函数 单位加速度函数 幂函数,3.信号典型函数 拉氏变换的计算,阶跃信号（Step Function）,阶跃信号含宽频带谐波分量，产生容易，是最常用系统 性能测试信号。,时间,r（t）,R,-单位阶跃 函 数,斜坡信号（Ramp Function）,斜坡信号为匀速信号，适于测试匀速系统。,时间 t,r（t）,R t,t g（

3、）=R,-单位阶跃函数,抛物线信号（Parabolic Function）,u（t）-单位阶跃函数 抛物线信号为匀加速信号，适于测试匀加速系统。,时间 t,r（t）,0.5 R t 2,脉冲信号（Pulse Function）, (t) -单位脉冲函数 t = 0 理想情况: r（t）= ( t ) = 0 t 0 A / h 0 h 可用于测试系统抗冲击能力,定义1.,d -函数的图示:,4.典型函数的拉氏变换,(1)单位阶跃函数的象函数,(3)指数函数的象函数,(2)单位冲激函数的象函数,5 拉普拉斯变换的基本性质,1）.线性性质,例1,解,根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个函

4、数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行计算。,注：欧拉公式,2）. 微分性质,例1,解,推广：,例2,解,3）.积分性质,应用微分性质,例,解,4）.延迟性质,注,5).频移性,解:,例:求拉氏变换,时移性,频移性,例1,求矩形脉冲的象函数,解,根据延迟性质,6).初值定理和终值定理,初值定理：,f(t)在t = 0处无冲激则,终值定理：,令S上式两边取极限,证：,即：,证：利用导数性质,6 拉普拉斯反变换的部分分式展开,用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。 由象函数求原函数的方法：,(1)利用公式,(2)对简单形式的F(S)可以查拉氏变

5、换表得原函数,(3)把F(S)分解为简单项的组合,部分分式展开法,利用部分分式可将F(s)分解为：,象函数的一般形式：,待定常数,1,待定常数的确定：,方法1,方法2,求极限的方法,例,解法1,解法2,一对共轭复根为一分解单元设：,原函数的一般形式：,2,K1,K2也是一对共轭复根,例,解,方法二：配方法，根据,3,例,解,小结,1. n =m 时将F(s)化成真分式和多项式之和,由F(s)求f(t) 的步骤：,2. 求真分式分母的根，确定分解单元,3. 将真分式展开成部分分式，求各部分分式的系数,4. 对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换 。,例,解,将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程；,解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；,应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。,7.拉氏变换求解线性微分方程,应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中，因此，不需要根据初始条件求积分常数的值就可得到微分方程的全解。,如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏变换可以简单 地用sn代替dn/dtn得到。,拉氏变换的性质,是常数）,求函数的拉氏变换,1,2,3,4,求函数的拉氏变换,