自动控制理论 2

1、自适应控制与应用,本 课 程 在 控 制 学 科 中 的 地 位,第一章 自适应控制基本概念,第二章 模型参考自适应系统设计初步,第三章 用李亚普诺夫稳定性理论设计MRAC,自适应控制与应用,第四章 用波波夫超稳定性理论设计MRAC,第五章 自校正技术及自校正控制器调节器的设计,第六章 极点配置的自校正技术,第一章 自适应控制的基本概念,1-1 自适应控制的产生,1-2 自适应控制的定义,1-3 自适应控制的基本原理,1-4 自适应控制系统的主要类型,1-5 自适应控制的应用,传统的控制系统设计方法，通常是首先建立被控对象的数学模型，然后根据所建数学模型的特性设计控制器（控制律），实施控制。,

2、为了要成功的设计一个控制系统，无论是常规的反馈控制系统还是最优控制系统，都必须要设计者事先知道被控对象的所有特征，及其结构和参数。,设计都要求事先掌握被控对象或被控过程的数学模型。然而有些数学模型是很难事先确知的，或者由于种种原因,一些系统的数学模型会在运行过程中发生较大范围的变化,这就是说，设计者对系统的特性并不是完全掌控的，或者说系统的特性是不肯定的。 在这些情况下，常规控制就往往达不到预定的控制要求。,引起被控对象特性发生变化的主要原因有:,（1）由于系统所处环境的变化而引起的被控对象的参数值的变化。,许多控制对象的数学模型随着时间或工作环境的改变而发生变化，而变化规律往往事先不知道。,

3、例如 ：,引起被控对象特性发生变化的主要原因有:,（1）由于系统所处环境的变化而引起的被控对象的参数值的变化。,许多控制对象的数学模型随着时间或工作环境的改变而发生变化，而变化规律往往事先不知道。,（2）系统本身由于工作情况的变化而引起自身参数值的改变.,当被控对象的数学模型参数在小范围内变化时，可用一般的反馈控制、最优控制或补偿控制等方法使得系统对外部的扰动或内部参数的小范围变动不很敏感，以达到预期性能。,而当被控对象的数学模型参数在大范围内变化时，上述方法就不能圆满解决问题了，为了使控制对象的参数在大范围变化时，系统仍能自动的工作于最优或次优状态，因而提出了自适应控制的问题。,自适应控制也

4、是一种反馈控制，但它不是一般的系统状态反馈或系统输出反馈，而是一种比较复杂的反馈控制，所以，自适应控制的设计比一般的反馈控制要复杂很多。,第一章 自适应控制的基本概念,1-1 自适应控制的产生,1-2 自适应控制的定义,1-3 自适应控制的基本原理,1-4 自适应控制系统的主要类型,1-5 自适应控制的应用,自适应的主要思路：随机应变，以变制变,直观地讲，自适应控制器应当是这样一种控制器，它能修正自己的特性以适应对象和扰动的动态特性的变化。 自适应控制的研究对象是具有一定程度不确定性的系统，这里所谓的“不确定性”是指描述被控对象及其环境的数学模型不是完全确定的，其中包含一些未知因素和随机因素。

5、,目前，关于自适应控制有许多不同的定义，不同的学者根据各自的观点，提出了自己的有关自适应控制的定义，其定义仍然是一个有很大争议的问题，下面列举一些比较流行的自适应控制系统的定义：,1.其中含义最广泛的，是1961年特鲁克萨而Truxal所提出的定义：即“任何按自适应观点设计的物理系统均为自适应系统”。,按照这个定义，许多控制系统都可包括在自适应系统 这一范畴内。,比如：喷气式飞机的燃料控制是采用温度补偿的，那么它也可以算是自适应系统，然而，实际上它属于常规反馈控制。 因为它对系统的参数改变不是根据当时的特性、性能和参数变动的实际情况做出决策的，而是实现确定下来的，不符合测量辨识，决策改造的过程

6、。,1962年Gibson提出了一个比较具体的自适应控制的定义：,一个自适应控制系统必须提供出被控对象的当前状态的连续信息，也就是要辨识对象，它必须将当前的系统性能与期望的或者最优的性能相比较，并作出使系统趋向期望或最优性能的决策，最后，它必须对控制器进行适当的修正以驱使系统走向最优状态。,这三方面的功能使自适应控制系统所必须具有的功能。,定义： 自适应系统在工作过程中，利用可调系统的输入量、输出量及状态测量某种性能指标，根据测得的指标与给定的指标进行比较，修改可调系统的参数或者辅助输入量，以保持测得的性能指标接近于给定的性能指标。,还有一类定义给包含了更具体的自适应控制思想的内容：,第一章

7、自适应控制的基本概念,1-1 自适应控制的产生,1-2 自适应控制的定义,1-3 自适应控制的基本原理,1-4 自适应控制系统的主要类型,1-5 自适应控制的应用,根据Gibson的定义，我们可以获取自适应控制的基本原理。,在自适应控制系统中,根据被控对象的输入输出信号对对象的参数或性能指标连续地或周期地进行在线辨识,然后根据所获得的信息并按照一定的评价系统优劣的性能准则,判断决定所需的控制器参数或所需的控制信号,最后通过修正装置实现这项控制决策,使系统趋向所期望的性能。,必须指出,在自适应控制系统的设计过程中最重要的决策之一是选择一个合适的系统性能指标.用这个指标将系统性能的优劣用单独一个量

8、综合地表示出来,并以这个量的极值(极大或极小)作为设计系统的依据. 。,性能指标,选择合适的性能指标后,系统的自适应控制过程将由下列三方面的作用在描述.,a 辨识被控对象的特性,b 在辨识的基础上作出控制决策,c 按照决策对可调系统实行修正,By the way,自适应控制系统比常规反馈控制系统要复杂得多，因而成本也较高，并且常常需要借助计算机才能够实现。,所以自适应控制方案只是在常规反馈控制达不到期望的性能指标使才考虑使用。,第一章 自适应控制的基本概念,1-1 自适应控制的产生,1-2 自适应控制的定义,1-3 自适应控制的基本原理,1-4 自适应控制系统的主要类型,1-5 自适应控制的应

9、用,有许多准则可以用来对自适应系统进行分类。,1.按照所用性能指标分为： （1）静态性能指标 （2）动态性能指标 （3）参数性能指标 （4）状态变量和输入量的泛函,由于性能指标的类型将决定性能指标测量方块的特点，所以可从性能指标对自适应系统进行分类。,2.按照比较判定方块的特点分类： （1）减法器 （2）决定一个规定性能指标变量的极大值化或极小值化 （3）属于某个数域,有许多准则可以用来对自适应系统进行分类。,有许多准则可以用来对自适应系统进行分类。,3.按照自适应机构对可调系统的作用分类： （1）参数自适应：主要是修正控制器中有关参数。 （2）信号综合自适应：根据需要综合出控制信号，直接加到

10、被控对象上。,（1）参数自适应,(1)由辨识装置所提供的当前被控对象的特性；,(2)所期望的性能指标；,(3)系统实际输出响应；,(4)给定的正常输入信号,（2）信号综合自适应,（2）信号综合自适应,有许多准则可以用来对自适应系统进行分类。,4.按照自适应技巧，即按照各个部分的工作模式分类： （1）确定性的 （2）随机性的 （3）学习性的,有许多准则可以用来对自适应系统进行分类。,4.按照自适应环的运行环境来分： （1）有测试信号的 测试信号加到系统输入的 测试信号作用于可调参数的 （2）无测试信号的,有许多准则可以用来对自适应系统进行分类。,5.除上述分类方法外，有的文献将自适应控制系统分为

11、三大类： （1）模型参考自适应控制系统 （2）自校正控制系统 （3）其他类型的自适应控制系统 变结构控制 混和自适应 非线性控制对象的自适应控制 模糊自适应。,第一章 自适应控制的基本概念,1-1 自适应控制的产生,1-2 自适应控制的定义,1-3 自适应控制的基本原理,1-4 自适应控制系统的主要类型,1-5 自适应控制的应用,自适应控制经过近50年的发展，无论在理论上还是应用上都取得了很大的发展。近20多年来，随着计算机技术特别是大规模集成电路和芯片的广泛普及，为自适应控制开辟了广阔的领域。 目前，自适应控制在：飞行器控制、深空探测器控制、卫星跟踪系统、大型油轮控制、电子拖动、造纸过程控制

12、、冶金过程控制、化工过程控制、水泥配料控制、大型加热炉温控制等方面得到了应用。,自适应控制大约在上世纪五十年代即已开始发展，当时大都是针对具体对象的设计的讨论，尚未形成理论体系。六十年代现代控制理论蓬勃发展所取得的一些成果，诸如状态空间法、稳定性理论、最优控制、随机控制、参数估计、对偶控制等等，为自适应控制理论的形成和发展准备了条件。,上世纪七十年代以来自适应控制理论有了显著的进展，一些学者分别在确定性和随机的、连续的和离散的系统的自适应控制理论方面，作出了贡献。对于这类系统的控制方案、结构、稳定性、收敛性等方面都有一定的突破性的进展，从而把自适应控制理论推向一个新的发展阶段，与此同时，开始出

13、现较多实际应用的例子，并取得了良好的效果。,目前自适应控制理论正在迅速发展，这反映了现代控制系统向智能化、精确化方向发展这一总的趋势。另一方面，微处理器的迅猛发展为采用自适应控制创造了条件，反过来也促进了自适应理论的发展，总之，自适应控制理论已日益被人们重视的理论领域，其实际应用也日益广泛。,第二章模型参考自适应系统(MRAC) 设计初步,2-2 MRAC的数学描述,2-3 MRAC的假定条件,2-4 用局部参数最优化理论设计MRAC,2-1 MRAC概述,为了使控制系统能够“自适应”，也就是当系统的动态性能发生较大变化时，使系统仍然具有良好的性能，曾提出过许多的解决方法，其中一类模型参考自适

14、应控制就是在50年代发展起来的。,目前比较流行的自适应控制方式之一是模型参考自适应,(MODEL REFERENCE ADAPTING CONTROL) 。,所谓MRAC，就是在系统中设置一个动态品质优良的参考模型，在系统运行过程中，要求被控对象的动态特性与参考模型的动态特性相一致。,模型参考自适应控制的关键问题是如何选择自适应机构的自适应算法，以确保系统有足够的稳定性，可调系统与参考模型的特性相一致。即使得广义误差趋于最小。,系统调整是根据被控制对象的实际输出与参考模型输出之差的某个函数准则，力图使被控对象的实际输出与参考模型的输出之间的误差趋于最小，使系统接近于或者达到所期望的动态行为。,

15、第二章模型参考自适应系统设计初步,2-2 MRAC的数学描述,2-3 MRAC的假定条件,2-4 用局部参数最优化理论设计MRAC,2-1 MRAC概述,MRAC修正作用可以是参数调整式也可以用信号综合式。,它的数学模型可以用系统的输入/输出方程表示，也可以系统的状态方程来表示。,MRAC修正作用可以是参数调整式也可以用信号综合式。,它的数学模型可以用系统的输入/输出方程表示，也可以系统的状态方程来表示。,1-用状态方程描述MRAC系统,对于参考模型，我们可以用下列线性状态方程表示,在参数调整式的模型参考系统中，可调系统的状态方程可表示为,在参数调整式的模型参考系统中，可调系统的状态方程可表示

16、为,在参数调整式的模型参考系统中，可调系统的状态方程可表示为,在参数调整式的模型参考系统中，设计的任务是确定一个具体的自适应规律，依据广义误差向量按照这一特定的自适应规律来调节参数矩阵 。,在系统稳定的情况下，这种调节作用将使广义误差向量e逐渐趋向零值。,为了能使调节的作用在广义误差向量逐渐趋向零时仍能维持，自适应规律一般常选为具有比例加积分的作用。,这样，对可调参数的调节不仅取决于广义误差的现时值 , 而且也依赖于它的过去值 ，,式中符号F和G表示在线节上 ， 和向量e之间的函数关系。,式中符号F和G表示在线节上 ， 和向量e之间的函数关系。,自适应规律选择为比例加积分的形式，它既起到按广义

17、误差向量的即时调节作用，又能具有记忆效应的调节作用。,自适应规律选择为比例加积分的形式，它既起到按广义误差向量的即时调节作用，又能具有记忆效应的调节作用。,所谓线性补偿器，就是为了满足系统的稳定性条件而引入的补偿环节。,在信号综合式的模型参考系统中，,在信号综合式的模型参考系统中，,可调系统的状态方程可表示为,在信号综合式的模型参考系统中，,可调系统的状态方程可表示为,式中： 在运行过程中是可能因扰动作用而变化的，但相对于自适应过程来说，可以看成是常数矩阵。而 则是由广义误差e按照自适应规律综合而成的信号。,在信号综合式的模型参考系统中，,式中符号u表示在线节 上 与广义误差向量e之间的函数关

18、系。常用下面的形式来表示。,在信号综合式的模型参考系统中，,式中符号u表示在线节 上 与广义误差向量e之间的函数关系。常用下面的形式来表示。,此自适应规律选择为比例加积分的形式，它既起到按广义误差向量的即时调节作用，又能具有记忆效应的调节作用。,MRAC修正作用可以是参数调整法也可以用信号综合法。,它的数学模型可以用系统的输入/输出方程表示，也可以系统的状态方程来表示。,2-用输入-输出方程描述MRAC系统,当模型参考自适应系统用输入-输出方程来描述时，一般都用微分算子的形式表示，,则参考模型的方程为,式中 N(p)和M(p)都是p的多项式，,2-用输入-输出方程描述MRAC系统,则参考模型的

19、方程为,式中 N(p)和M(p)都是p的多项式，,则参考模型的方程为,式中 N(p)和M(p)都是p的多项式，,对参数调整式的自适应系统，并联可调系统的输入-输出方程为,式中 N(p)和M(p)都是p的多项式，,对参数调整式的自适应系统，并联可调系统的输入-输出方程为,式中,对参数调整式的自适应系统，并联可调系统的输入-输出方程为,式中,而r为系统的标量输入信号， 为可调系统输出信号。,是可调系统的输入输出方程的时变系数。,对参数调整式的自适应系统，并联可调系统的输入-输出方程为,式中,由广义误差按照自适应规律进行自适应修正，其中广义误差的定义为,式中,自适应规律的选择与用状态方程描述时相似；

20、,由广义误差按照自适应规律进行自适应修正，其中广义误差的定义为,式中,自适应规律的选择与用状态方程描述时相似；,都表示自适应规律，常常确定为比例加积分的形式。,式中,都表示自适应规律，常常确定为比例加积分的形式。,对参数调整式的自适应系统，可调系统的输入-输出方程为,对信号综合式的自适应系统，可调系统的输入-输出方程为,式中,对信号综合式的自适应系统，可调系统的输入-输出方程为,表示自适应规律，常常确定为比例加积分的形式。,式中,MRAC修正作用可以是参数调整法也可以用信号综合法。,它的数学模型可以用系统的输入/输出方程表示，也可以系统的状态方程来表示。,3- MRAC系统的误差方程,通过前面

21、的分析，我们知道模型参考自适应系统规律的主要信息来源，是出于广义误差 或,3- MRAC系统的误差方程,也表明了模型参考自适应系统的完全渐近适应，就意味着对任意初始条件都能存在,3- MRAC系统的误差方程,由e所表示的误差方程必须是渐近稳定的。,误差方程是模型参考自适应系统的分析设计的重要依据。,3- MRAC系统的误差方程,3- MRAC系统的误差方程,3- MRAC系统的误差方程,3- MRAC系统的误差方程,3- MRAC系统的误差方程,3- MRAC系统的误差方程,3- MRAC系统的误差方程,3- MRAC系统的误差方程,得出的结论为：如果非线性时变部分满足某些（波波夫积分不等式）

22、条件，则反馈系统的稳定性仅由线性部分的特征（正实性质）所决定。,3- MRAC系统的误差方程,第二章模型参考自适应系统设计初步,2-2 MRAC的数学描述,2-3 MRAC的假定条件,2-4 用局部参数最优化理论设计MRAC,2-1 MRAC概述,（1）参考模型是一个线性定常系统 （2）参考模型与可调系统维数相同 （3）在参数自适应情况下，可调系统的所有参数对于自适应作用来说是可达的。,系统设计时常用假设：,（4）在自适应过程中可调系统参数仅依赖于自适应机构。 （5）除输入信号r外，没有其他外部输入信号。 （6）广义状态误差和广义输出误差可测。 （7）参考模型和可调参数的初始差异未知。,系统设

23、计时常用假设：,第二章模型参考自适应系统设计初步,2-2 MRAC的数学描述,2-3 MRAC的假定条件,2-4 用局部参数最优化理论设计MRAC,2-1 MRAC概述,基于局部参数最优化的设计方法,基于稳定性理论的设计方法,关于模型参考自适应控制系统的设计主要有两大类方法：,用局部参数最优化理论设计模型参考自适应系统是最早的一种设计方法，应用这一设计方法的要求是系统参数变化速度比系统过渡过程进行速度缓慢很多。,假定在系统的前向回路和反馈回路有若干个可调参数，当被控对象参数发生变化时，自适应机构能对这些参数进行调整，以补偿被控对象参数变化对控制系统性能的影响，即使得控制系统的输出与参考模型输出

24、一致。,基于局部参数最优化的设计方法及MIT方案,1-最速下降法2-牛顿-拉富逊法3-共轭梯度法4-变尺度法等。,为此，用被控对象与参考模型的广义输出误差 构成性能指标J，使J最小来确定自适应规律。,J是广义输出误差 的直接函数，在MIT方案中，选用性能指标J为： 分析可知，J间接的也应该是可调参数的函数。,在求J最小来确定的自适应规律的方法有很多，如：,在局部参数优化法中通常采用梯度法来推导模型参考自适应规律。,基于局部参数最优化的设计方法及MIT方案,下面先介绍一下梯度和梯度法的概念。,设系统可调参数为 ，性能指标为 由于 是 的函数，因此性能指标 是的隐函数，表示为：,梯度法：,梯度,基

25、于局部参数最优化的设计方法及MIT方案,设系统可调参数为 ，性能指标为 由于 是 的函数，因此性能指标 是的隐函数，表示为：,如果将 看作是参数 空间的一个超曲面，那么 在参数空间变化率最大的方向，称作 的梯度，记为： 。,如果将 看作是参数 空间的一个超曲面，那么 在参数空间变化率最大的方向，称作 的梯度，记为： 。,基于局部参数最优化的设计方法及MIT方案,局部参数最优化的设计方法中认为，参数的调整量 取 ，自适应调整效果最好。,有了梯度法的概念，下面进行以梯度法为基础的自适应规律的设计。,美国麻省理工学院科研人员首先利用局部参数最优化方法设计出世界上第一个真正意义上的自适应控制律。故又常

26、简称为MIT自适应规律。,基于局部参数最优化的设计方法及MIT方案,美国麻省理工学院科研人员首先利用局部参数最优化方法设计出世界上第一个真正意义上的自适应控制律。故又常简称为MIT自适应规律。,该系统中，理想模型的增益k为常数。被控系统的增益 在外界环境发生变化或有其他干扰出现时有可能会受到影响而产生变化，从而使其动态特征发生偏离.,该系统中，理想模型的增益k为常数。被控系统的增益 在外界环境发生变化或有其他干扰出现时有可能会受到影响而产生变化，从而使其动态特征发生偏离.,为了消除或降低由于 的变化所造成的影响，在控制系统中增加了一个可调增益 ，来补偿 的变化。现在的任务是设计自适应机构来实时

27、地调整 ，使的 与 乘积始终与理想型的 一致。,设理想模型的传递函数为,被控对象的传递函数为,定义广义误差为,式中 为理想模型的输出， 为被控系统的输出，广义误差e为当参考模型与被控系统的输入信号同为 时，理想模型的响应与被控系统的响应之间的偏差。,选取性能指标泛函为,我们要通过调整可调增益 使性能指标 达到最小值。若采用梯度法寻优，则首先求出 对 的梯度。,根据梯度法可知， 值应沿梯度下降的方向移动，在一定的步距下， 的变化量 将取这样的数值,式中r为正的常数。,根据梯度法可知， 值应沿梯度下降的方向移动，在一定的步距下， 的变化量 将取这样的数值,式中r为正的常数。,为可调增益 的初始值。

28、,为了获得调整 的自适应规律，对上式两边求时间的导数，得,为了获得调整的自适应规律 ，必须计算,这种类型自适应系统的开环传递函数为,所以,这种类型自适应系统的开环传递函数为,将其拉氏变换表示形式转化为微分方程的时域算子表示形式,( p为微分算子)则有,将方程两边对求导数得,将其拉氏变换表示形式转化为微分方程的时域算子表示形式,( p为微分算子)则有,将方程两边对求导数得,而理想模型的输出与输入之间有下列关系,成比例关系,将方程两边对求导数得,而理想模型的输出与输入之间有下列关系,成比例关系,两者之间仅相差一个比例常数,而理想模型的输出与输入之间有下列关系,成比例关系,两者之间仅相差一个比例常数

29、,而理想模型的输出与输入之间有下列关系,两者之间仅相差一个比例常数,这就是可调增益 的调节规律，也就是系统的自适应规律,式中,两者之间仅相差一个比例常数,这就是可调增益 的调节规律，也就是系统的自适应规律,式中,两者之间仅相差一个比例常数,这就是可调增益 的调节规律，也就是系统的自适应规律,式中,这样综合出来的模型参考闭环自适应系统的数学模型可用下列一组方程来描述：,这样综合出来的模型参考闭环自适应系统的数学模型可用下列一组方程来描述：,从前面MIT方法的推导过程来看，在寻求自适应规律的过程中，没有考虑到系统的稳定性问题，,因此对具体系统来说，获得上式后，为了确保广义误差 在自适应调节过程中能

30、逐渐地收敛到某一个允许的值，还必须进行稳定性校验。,例1首先考虑一个一阶系统，其传递函数为 ；根据上述MIT规律设计的闭环自适应系统为,假设在 时， 均为零， ，当输入一个幅度为R的阶跃信号，且假定 后 仍为常数，现对 进行调整，则有,假设在 时， 均为零， ，当输入一个幅度为R的阶跃信号，且假定 后 仍为常数，现对 进行调整，则有,由此两式，可以推得广义误差e的动态方程,假设在 时， 均为零， ，当输入一个幅度为R的阶跃信号，且假定 后 仍为常数，现对 进行调整，则有,由此两式，可以推得广义误差e的动态方程,或,当 时，式中第三项e的系数将趋向于 ，,由此两式，可以推得广义误差e的动态方程,

31、或,当 时，式中第三项e的系数将趋向于 ，,则有,时， ，且 。,从例1分析，我们可以看出：,(1) 对一阶系统来说，按MIT规则设计的闭环自适应系统是稳定的,(2)其跟踪速度或自适应速度是以指数规律进行的。,从理论上讲， 时， ,所以自适应的速度相对来说是比较慢的。但是在实际应用中，我们并不一定要求e完全等于零。当e进入 （ 为一个很小的选定值）的范围后，就可认为系统已经跟上模型了。在这种意义下，自适应调整时间还是有限的。,用局部参数最优化的方法设计的MRAC系统必须经过稳定性的验证。但是从实践经验来看，有些较为复杂的MRAC系统要验证其全局稳定性是很困难的。,在二十世纪六十年代，就有人提出

32、了以稳定性理论为基础的MRAC系统的设计方法；,1-首先是德国科学家帕克斯(Parks)提出根据李雅普诺夫稳定性理论来设计MRAC 。,即用李雅普诺夫第二法推出自适应算法来保证自适应系统的全局稳定性。,第三章用李亚普诺夫稳定性理论设计MRAC,3-3 用控制对象的输入输出构成自适应规律,3-2 用系统状态变量构成自适应规律,3-1 李亚普诺夫稳定性概念及基本原理,李雅普诺夫稳定性理论是俄国学者李亚普诺夫与1892年提出的确定系统稳定性更一般理论方法。它比经典控制理论中的代数判据，奈奎斯特判据、对数判据和根轨迹判据等适用范围更广。,不仅适用于单变量、线性、定常系统，也适用于多变量、非线性、时变系

33、统。李亚普诺夫理论在建立一系列稳定性理论的基础上，提出了判断系统稳定性的两种方法。,下面首先回顾一下关于李雅普诺夫稳定性理论的基本概念 。,李雅普诺夫稳定性理论研究的是系统受扰后能否保持平衡状态。即稳定性是针对平衡状态来说的。,1、平衡状态。 2、李亚普诺夫意义下的稳定性 稳定性 渐进稳定性 全局稳定性（大范围渐进稳定性） 不稳定,1892年李雅普诺夫提出了两种确定动态系统稳定性的方法：,第一种方法，需要求解动态系统的微分方程，根据微分方程的解来判别系统的稳定性，称为李雅普诺夫第一法；也称间接法。,第二种方法，不需要求解动态系统的微分方程，而是根据经验和技巧构造某个特定函数，并通过对它和其对时

34、间的导数的符号来判别系统的稳定性，这种方法称为李雅普诺夫第二法，也称为直接法。,2.李亚普诺夫稳定性定理,李亚普诺夫稳定性理论的应用,李亚普诺夫稳定性理论在系统稳定性分析和系统设计中得到了较多的应用。下面讨论李亚普诺夫第二法在线性系统稳定性分析中的应用。,2.李亚普诺夫稳定性定理,李亚普诺夫稳定性理论的应用,1.线性定常连续系统稳定性的判别：,设线性定常连续系统状态方程为：,式中，x为n维状态向量，A阵为非奇异常值矩阵，故原点为唯一平衡状态点，设取二次型函数 为可能的李亚普诺夫函数 ，其中P为正定矩阵。,2.李亚普诺夫稳定性定理,李亚普诺夫稳定性理论的应用,1.线性定常连续系统稳定性的判别：,

35、设线性定常连续系统状态方程为：,对 求导，并考虑系统状态方程，有：,令：,于是：,定理2 如果在包含原点在内的某个域s内，存在李雅普诺夫函数V(x，t)0 ，且 ,则系统的平衡状态是渐近稳定的。,2.李亚普诺夫稳定性定理,根据定理二，,只要Q正定，则系统渐进稳定。,令：,于是：,于是，线性定常连续系统渐进稳定的充要条件是：给定一个 正定矩阵P，若在Q正定,且满足,2.李亚普诺夫稳定性定理,根据定理二，,只要Q正定，则系统渐进稳定。,但是，按上述方法给出的步骤：先给定P阵，再验证Q是否稳定，从而确定系统是否稳定时，若系统P阵取得不好，往往导致Q非正定，因此这样的步骤可能会重复多次才能找到合适的P

36、阵。使用不方便。,于是，线性定常连续系统渐进稳定的充要条件是：给定一个 正定矩阵P，若在Q正定,且满足,在应用中，往往采用如下方法：先确定Q阵为正定矩阵（一般取单位阵I），然后反推是否存在一个正定P阵，若存在，系统稳定。若不存在，则不然。,第三章用李亚普诺夫稳定性理论设计MRAC,3-3 用控制对象的输入输出构成自适应规律,3-2 用系统状态变量构成自适应规律,3-1 李亚普诺夫稳定性概念及基本原理,用李雅普诺夫稳定性理论设计MRAC系统，其自适应规律既可以由系统的状态变量构成，也可由系统的输入输出构成。,用李雅普诺夫稳定性理论设计MRAC系统,用系统状态变量构成自适应规律,用控制对象的输入输

37、出构成自适应规律,设被控对象是结构已知参数未知的线性系统，系统的结构如图,用系统状态变量构成自适应规律,可调系统的状态方程为,式中 而矩阵的元素 是受干扰影响的时变参数。通常被控系统的参数是不便于直接调整的，,给定一个参考模型，模型对输入u的响应就代表被控对象所期望的响应。参考模型的状态方程为,系统的广义状态误差向量为,系统的广义状态误差向量为,系统的广义状态误差向量为,为了使可调系统对输入u的动态响应与参考模型对输入u的动态响应完全相一致，自适应机构对K(t)和F(t) 进行调整，使可调系统与参考模型相匹配。,为了使可调系统对输入u的动态响应与参考模型对输入u的动态响应完全相一致，自适应机构

38、对K(t)和F(t) 进行调整，使可调系统与参考模型相匹配。,都是对称正定矩阵，这就保证了V0，两边取时间导数，有,都是对称正定矩阵，这就保证了V0，两边取时间导数，有,因为 为稳定矩阵，只要选择一个对称正定阵Q，使得 成立，方程中右边的第一项必定是负定的。为了保证 是负定的，,则可得自适应调节规律为,则可得自适应调节规律为,这样确定的K(t)、F(t)参数调整的自适应规律，就保证了李雅普诺夫函数V为正定的，它对时间t的导数是负定的，从而对任意分段连续的输入向量函数u能保证MRAC系统是全局稳定的。,用可调系统状态变量设计MRAC,用系统状态变量构成自适应规律,设在初始时刻,产生输出广义误差e

39、,开环系统的动态方程,考虑被控系统为一阶的情况,用控制对象的输入输出构成自适应规律,设在初始时刻,产生输出广义误差e,开环系统的动态方程,考虑被控系统为一阶的情况,设,选择包含广义误差e和增益偏差的李雅普诺夫函数,考虑被控系统为一阶的情况,设,选择包含广义误差e和增益偏差的李雅普诺夫函数,取李雅普诺夫函数对时间的导数,设,选择包含广义误差e和增益偏差的李雅普诺夫函数,取李雅普诺夫函数对时间的导数,设,设,定理2 如果在包含原点在内的某个域s内，存在李雅普诺夫函数V(x，t)0 ，且 ,则系统的平衡状态是渐近稳定的。,设,可调增益的自适应规律,可调增益的自适应规律,闭环自适应系统的动态方程,闭环

40、自适应系统稳定,闭环自适应系统稳定,闭环自适应系统稳定,第四章 用超稳定性理论设计MRAC,4-1 超稳定性理论的基本概念及定义,4-2 用超稳定性理论设计MRAC,而用超稳定性理论来设计模型参考自适应系统，它可以给出一族自适应规律，并且有相当系统的一整套设计理论。因此，有利于读者学习掌握这种自适应控制的设计方法和结合实际系统灵活选择适当的自适应控制规律。,2-2 MRAC数学描述,3- MRAC系统的误差方程,2-2 MRAC数学描述,3- MRAC系统的误差方程,得出的结论为：如果非线性时变部分满足某些（波波夫积分不等式）条件，则反馈系统的稳定性仅由线性部分的特征（正实性质）所决定。,超稳

41、定性理论：,2-2 MRAC数学描述,3- MRAC系统的误差方程,正实性概念最先是在网络分析与综合中提出来的，数学上的正实函数的概念与物理上的无源网络的概念密切相关。,由电阻、电感、电容、变压器等组成的无源网络总要从外界吸收能量，因而无源性表示了网络中能量的非负性，当无源网络中所有元件都是线性的，其相应的传递函数是正实的。,随着控制理论的不断发展，正实性概念被引入自动控制，在自适应控制研究中起着重要的作用。,下面，从正式函数的基本数学定义出发，讨论有关的理论和特性。,正实性,设 是复变量 的有理函数，其中 和 都是多项式。如果当 为实数时， 也是实数，而且当 时，只要 有定义，就 那么就称

42、为正实函数。,为实数,为实数,设 是复变量 的有理函数，其中 和 都是多项式。如果当 为实数时， 也是实数，而且当 时，只要 有定义，就有 那么就称 为正实函数。,为实数,为实数,设 是复变量 的有理函数，其中 和 都是多项式。如果当 为实数时， 也是实数，而且当 时，只要 有定义，就有 那么就称 为正实函数。,为实数,设 是复变量 的有理函数，其中 和 都是多项式。如果当 为实数时， 也是实数，而且当 时，只要 有定义，就有 那么就称 为正实函数。,为实数,设 是复变量 的有理函数，其中 和 都是多项式。如果当 为实数时， 也是实数，而且当 时，只要 有定义，就有 那么就称 为正实函数。,为

43、正实函数,设 是复变量 的有理函数，如果当 为实数时， 也是实数，而且当 时， 恒有定义，并且 ，那么就称 为严格正实函数。,设 是复变量 的有理函数，其中 和 都是多项式。如果当 为实数时， 也是实数，而且当 时，只要 有定义，就有 那么就称 为正实函数。,设 是复变量 的有理函数，其中 和 都是多项式。如果当 为实数时， 也是实数，而且当 时，只要 有定义，就有 那么就称 为正实函数。,由于在右半开平面 上检验 是一项繁琐的 运算，所以常用以下等价定义。,设 是复变量 的有理函数，如果 满足下列条件：,1）当 为实数时， 为实数。 2） 在 右半开平面， 没有极点。 3）在虚轴上，若存在极

44、点，则相异，其相应留数为实数，且大于等于零。 4）对于 不是 极点时，有 则称 为正实函数。,设 是复变量 的有理函数，如果 满足下列条件：,1）当 为实数时， 为实数。 2） 在 右半闭平面， 没有极点。 3）对于 ，有 则称 为正实函数。,例：试判断下列传递函数的正实性。,波波夫积分不等式,第四章 用超稳定性理论设计MRAC,4-1 超稳定性理论的基本概念及定义,4-2 用超稳定性理论设计MRAC,用波波夫超稳定性理论设计MRAC系统，其自适应规律既可以由系统的状态变量构成，也可由系统的输入输出构成。,用系统状态变量构成自适应规律,用控制对象的输入输出构成自适应规律,用波波夫稳定性理论设计

45、MRAC系统,用状态变量设计MRAC 步骤,(1)将模型参考自适应系统等价为非线性时变反馈系统的标准误差模型的形式，即由一线性的前向方块和一个非线性的反馈方块组成。,(2)使等价系统的反馈方块满足波波夫积分不等式，并由此确定合适的自适应规律。,(3)确定等价系统的前向方块是严格正实的，从而决定另一部分自适应规律。,(4)将等价系统返回至原始系统，从而完成整个自适应系统的工作原理图。,用系统状态变量构成自适应规律,设参考模型的状态方程：,被控对象的状态方程,带入上式：,一般自适应控制采用前馈加反馈的形式，即：,带入上式：,设：,则可调系统：,则可调系统：,因此，自适应规律将通过调节 ，来调整：,

46、(1)将模型参考自适应系统等价为非线性时变反馈系统的标准误差模型的形式，即由一线性的前向方块和一个非线性的反馈方块组成。,步骤一,由系统广义误差方程,得状态误差方程：,步骤一,步骤一,步骤一,如果 满足下列条件：,1） 都具有实系数。 2） 都是胡尔维茨多项式。 3） 阶数之差不超过 . 4） 仍为正实函数。,则 仍为正实函数。,引理,步骤一,步骤一,步骤一,为了能使调节的作用在广义误差向量逐渐趋向零时仍能维持，自适应规律一般常选为具有比例加积分的作用。,上式带入：,步骤一,获得模型参考自适应系统的等价形式,步骤二,使得等价反馈方块满足波波夫积分不等式,步骤二,使得等价反馈方块满足波波夫积分不

47、等式,步骤二,上式分为两个部分：,设：,步骤二,上式分为两个部分：,设：,在形式上完全相同，因此只需分析一个不等式的解即可类推。,步骤二,分析：,求解自适应规律：,再分解为两个不等式：,（1）,（2）,步骤二,不经证明的一个结论， 只要选取如下的函数，即不等式（1）成立。,（1）,（2）,步骤二,类似的，确定 为：,步骤二,也就是说自适应规律取如下形式，可使等价的非线性方块满足波波夫积分不等式。,根据等价前向方块正实性要求，确定线性补偿器D,步骤三,步骤三,根据等价前向方块正实性要求，确定线性补偿器D,步骤三,式中D可以根据定理2，通过求解,式中D可以根据定理2，通过求解,步骤三,若 是严格正

48、实，其充分必要条件是：,存在着两个正定对称阵 ，以及阵 ，对应于如前描述系统满足下列关系：,式中D可以根据定理2，通过求解,步骤三,若 是严格正实，其充分必要条件是：,存在着两个正定对称阵 ，以及阵 ，对应于如前描述系统满足下列关系：,步骤三,P,Q保证恒为正定阵，从而确定D 阵使得G(s)为严格正实函数，此时，系统为全局渐近稳定，其状态误差为,若 是严格正实，其充分必要条件是：,存在着两个正定对称阵 ，以及阵 ，对应于如前描述系统满足下列关系：,步骤三,P,Q保证恒为正定阵，从而确定D 阵使得G(s)为严格正实函数，此时，系统为全局渐近稳定，其状态误差为,步骤三,P,Q保证恒为正定阵，从而确

49、定D 阵使得G(s)为严格正实函数，此时，系统为全局渐近稳定，其状态误差为,步骤四,(4)将等价系统返回至原始系统，从而完成整个自适应系统的工作原理图。,在确定了 后， 完成整个自适应系统的工作原理图。,步骤四,有多种选取方法，选取方法不同， 所得到的自适应规律的类型就不同。 一般来说， 选取 为常数，获得比例积分型自适应规律。,5-1 自校正控制技术,5-2 自校正调节器设计,5-3 自校正控制器设计,第五章 自校正控制技术及自校正调节器设计,常规的PID(比例-积分-微分)调节器的研究，不论在理论方面还是实践方面都做了大量工作。它被广泛地应用于各种确定性的控制系统，并且收到了良好的效果，,

50、5-1 自校正控制技术,第五章 自校正控制技术及自校正调节器设计,5-1 自校正控制技术,如果采用自校正技术，就能自动整定调节器或控制器的参数，使系统在较好的性能下运行。,第五章 自校正控制技术及自校正调节器设计,5-1 自校正控制技术,因此，提出采用自适应技术来代替常规的PID调节器。,自适应控制适用于结构已知，参数未知但恒定的系统。,也适用于结构已知，参数缓慢变化的系统。,第五章 自校正控制技术及自校正调节器设计,5-1 自校正控制技术,它既能完成调节器的任务，又能承担伺服跟踪完成控制器的任务。,第五章 自校正控制技术及自校正调节器设计,5-1 自校正控制技术,第五章 自校正控制技术及自校

51、正调节器设计,5-1 自校正控制技术,第五章 自校正控制技术及自校正调节器设计,5-1 自校正控制技术,第五章 自校正控制技术及自校正调节器设计,5-1 自校正控制技术,第五章 自校正控制技术及自校正调节器设计,5-1 自校正控制技术,第五章 自校正控制技术及自校正调节器设计,5-1 自校正控制技术,性能指标选取是自校正控制技术中一个重要的内容，它决定自校正控制的方法。,根据性能指标的不同，自校正控制技术又分为：,最小方差自校正控制技术,极点配置自校正控制技术,第五章 自校正控制技术及自校正调节器设计,5-1 自校正控制技术,其性能指标是二次型目标函数的形式（输入/出量的方差），控制策略是保证

52、这个二次型目标函数达到极小的数值。,目前最常用的二次型目标函数有下列四种形式,最小方差自校正控制技术,第五章 自校正控制技术及自校正调节器设计,5-1 自校正控制技术,最小方差自校正控制技术,自校正控制技术的性能指标的另一种设计方案是在二十世纪70年代中后期由Edmunds(1976),Wellstead(1979) 和 Astrom(1980)等人相继提出的，这种方法不采用目标函数的形式，而是把预期的闭环系统的行为用一组期望传递函数的零极点的位置加以规定。自校正控制策略就是保证实际的闭环系统零极点收敛于这一组期望的零极点。也称极点配置自校正控制。,第五章 自校正控制技术及自校正调节器设计,5

53、-1 自校正控制技术,极点配置自校正控制技术,极点配置自校正调节器,极点配置自校正控制器,零极点影响系统的动稳态性能,第五章 自校正控制技术及自校正调节器设计,5-1 自校正控制技术,自校正控制系统的数学描述,自校正调节器,自校正控制器,极点配置自校正调节器,极点配置自校正控制器,参数递推估计器计算方法,参数控制器计算方法,第五章 自校正控制技术及自校正调节器设计,5-1 自校正控制技术,自校正控制技术小型计算机或微处理机来实现，因此受控系统的数学模型都用离散形式。,对于单输入单输出受控系统，其离散模型可以表示为：,其中为 受控系统的输出， 为受控系统的输出， 为白色序列，即 均相互独立。,自

54、校正控制系统的数学描述,第五章 自校正控制技术及自校正调节器设计,5-1 自校正控制技术,受控自回归滑动平均模型,该式指的是：当前t时刻的输出y(t)，与前na个时刻的输出 有关，与前nb个时刻的输入 有关，也与前nc个时刻的噪声 有关。这是离散系统的一般模型。,其中为 受控系统的输出， 为受控系统的输出， 为白色序列，即 均相互独立。,第五章 自校正控制技术及自校正调节器设计,5-1 自校正控制技术,受控自回归滑动平均模型,例如：,其中为 受控系统的输出， 为受控系统的输出， 为白色序列，即 均相互独立。,第五章 自校正控制技术及自校正调节器设计,5-1 自校正控制技术,当引入单位时滞算子

55、时，则离散模型可写成,其中为 受控系统的输出， 为受控系统的输出， 为白色序列，即 均相互独立。,当引入单位时滞算子 时，则离散模型可写成,其中为 受控系统的输出， 为受控系统的输出， 为白色序列，即 均相互独立。,其中：,式中 为系数未知或系数时变的时滞算子多项式，式中d为系统的时滞时间。,当引入单位时滞算子 时，则离散模型可写成：,当多项式A的零点位于 平面单位圆上或单位圆内时，A为不稳定多项式，受控系统为开环不稳定系统。,对于：,当多项式B的零点位于 平面单位圆上或单位圆内时，B为不稳定多项式，受控系统为非逆稳定系统。,零点,开环稳定系统,开环稳定多项式,零点,逆稳定系统,稳定多项式,零

56、点,开环稳定系统,开环稳定多项式,在一般情况下，系统的随机干扰为平稳的，因此除特殊说明外，我们都假定多项式C是稳定多项式。,零点,稳定多项式,要使最小方差自校正调节器的解存在，对A，B，C式有如下要求：,1）受控系统的时延d及多项式A、B、C的阶次和系数已知。,2）多项式 所有零点位于 复平面单位圆外， 即系统为逆稳定系统。,4） 为白噪声序列，,3）多项式 所有零点位于 复平面单位圆外。,第五章 自校正控制技术及自校正调节器设计,5-1 自校正控制技术,自校正控制系统的数学描述,参数递推估计器计算方法,参数控制器计算方法,5-1 自校正控制技术,5-2 自校正调节器设计,5-3 自校正控制器

57、设计,第五讲 自校正控制技术及自校正调节器设计,5-2 自校正调节器设计,第五讲 自校正控制技术及自校正调节器设计,5-2 自校正调节器设计,5-2 自校正调节器设计,最小方差自校正调节器,5-2 自校正调节器设计,最小方差自校正调节器,其中：,数学描述,5-2 自校正调节器设计,最小方差自校正调节器,一个控制系统的差分方程可用如下式来表示：,5-2 自校正调节器设计,由于系统中信号的传递存在着d 步的时滞，这就使得t时刻的输入量u(t)要延时到t+d 时刻才能对系统产生作用。因此，要想得到t时刻系统的最优输出量u(t)，就必须对t+d时刻的输出y( t+d)进行预测（预测它与u(t)的关系）。 并且，在此基础上，通过”输出方差最小”这个性能指标的约束，求得u(t)的表达是即为最优输出。,最小方差自校正调节器,分析：,5-2 自校正调节器设计,即：就要预测t+d时刻系统的输出量的表达式y(t+d)，称为预测模型。并且以此式来构成最小方差自校正调节器的二次型指标函数。,最小方差自校正调节器,5-