线性代数》期末辅导.ppt

1、线性代数期末辅导,行列式的概念,第一部分 行列式,主要内容,二阶行列式：,三阶行列式:,(2)对角线法则,注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号,说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,由 个数构成的，记作,阶行列式,行列式的性质与计算,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号.,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零.,推论 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.,性质3 行列式的某一行（列）中的所有的元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.,性质4 行列式如果有两行（列）元素成比例

2、，则此行列式等于零.,性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式的值不变.,性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 等于两个行列式之和.,定义 在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作 .,叫做元素 的代数余子式.,定理2 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列） 对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即,或,4. 克莱姆法则,如果线性方程组,(1),的系数行列式不等于零，即,那么，方程组(1)有唯一解,其中

3、 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,定理3 如果线性方程组(1)的系数行列式 ，则(1)一定有解，且解是唯一的.,定理3如果线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.,定义5 线性方程组（1）右端的常数项 不全为零时，线性方程组（1）叫做非齐次线性方程组，当 全为零时，线性方程组（1）叫做齐次线性方程组.,对于齐次线性方程组,(2),一定是它的解，这个解叫做齐次线性方程组（2）的零解.如果一组不全为零的数是（2）的解，则它叫做齐次线性方程组(2)的非零解.,定理4 如果线性方程组（2）的系数行列式 ，则齐次线性方程组（2）没有非

4、零解.,定理4如果线性方程组（2）有非零解，则系数行列式必为零.,第二部分 矩阵,叫做m行n列矩阵（简称mn矩阵），记为 其中 叫做矩阵A的第i行第j列元素,1矩阵的定义 由mn个数 排成m行n列的数表,当m = n时，矩阵A称为n阶矩阵或n阶方阵n阶矩阵与n阶行列式是两个截然不同的概念,只有一行的矩阵称为行矩阵或行向量; 只有一列的矩阵称为列矩阵或列向量,行数、列数均相等的矩阵称为同型矩阵,设 与 是同型矩阵，且 （i =1, 2, m；j =1, 2, n），则称它们相等，记作A = B,2特殊矩阵 设 中每个元素都是零，则称它为零矩阵，记作 或O,时，称为n阶单位矩阵，记作En或E,设方

5、阵 中， （ ），则称A为对角矩阵，记为 ；特别地，当 时，即,矩阵的运算,1.矩阵相加,2.数乘矩阵,3.矩阵相乘,特别注意矩阵乘法的下列特性,(1) 矩阵乘法无交换律，即AB BA；特别地，EA = AE = A，即单位矩阵在矩阵乘法中相当于数1在数的乘法中的作用，注意这里的两个单位矩阵可能不同阶。,(2) 若AB = O，绝不能认为必然有 A = O 或 B = O,例如 , ,(3) 矩阵乘法无消去律，即若 AB = AC，绝不能认为必然有 B = C,4.矩阵A的行列式，记作 | A | 或det A,特别注意 A BAB A A,| AT | = | A |， | A | = |

6、A | | AB | = | A | B | = | B | A |,矩阵的行列式满足（设A、B为n阶方阵， 为数）,5.矩阵的转置,设 ，,矩阵转置的运算律（设运算均可行）,( AT )T = A;( A + B )T = AT + BT ( AB )T = BTAT ;(kA )T = kAT,满足条件AT = A的矩阵A称为对称矩阵（其元素以主对角线为对称轴对应相等）,满足条件AT = -A的矩阵A称为反对称矩阵,6逆矩阵,定义:设A为n阶方阵，若存在同阶方阵B，使得 AB = BA = E，则称矩阵A可逆，称B为A的逆矩阵，记为 A1 = B,若A是可逆的，则它的逆矩阵A1存在且唯一,

7、方阵A可逆的充分必要条件是 | A | 0,运算律:设A、B均是同阶可逆矩阵，则,(A1)1 = A；(AB)1 = B1A1 AT 也可逆，且(AT)1 = (A1)T,伴随矩阵,设A为n阶矩阵，称 为A的伴随矩阵,由此可见，A*可逆的充要条件是A可逆,矩阵的秩,(1)矩阵的 阶子式 在 矩阵中,任取 行 列,位于这些行列交叉处的 个元素,按原来它们在A 中所处的位置而得到的 阶行列式, 称为 的 阶子式.,（2)矩阵的秩 设在矩阵 中有一个不等于0的r 阶子式D, 且所有 r +1阶子式(如果有的话)都等于0,则称D为矩阵 A 的最高阶非零子式,数 r 称为矩阵 A 的秩,记作R(A) .

8、,9.矩阵的初等变换,(1)交换矩阵的两行或两列;,(2)用一个非零数 k 乘以矩阵的某一行或某一列;,(3)把矩阵某一行(列)的 k 倍加到另一行(列)上.,10.初等方阵 单位矩阵施行一次初等变换而得到的矩阵称为初等方阵.,11.等价矩阵 矩阵A 经过初等变换而得到矩阵B, 称矩阵 A 与矩阵 B 等价,记作 AB.,重要结论,存在 阶可逆矩阵 和 阶可逆矩阵 ,使得 .,典型例题,解,第三部分 向量组的线性相关性,1. 维向量及其运算 2. 线性组合与线性表示,(1)线性组合 设 是一 维 向量组， 是一组实数，称 是 A 的一个线性组合,3 线性相关性的概念及结论,(1)线性相关、线性

9、无关:设 为 个 维向量,若存在 个不全为零的数 ,使 ，则称 线性相关若由 可推出 全为零，则称 线性无关.,(2) 维向量组 线性相关的充要条件是其中有一个向量可以由其余向量线性表示；含有零向量的向量组一定线性相关,(4) n维向量组 线性相关的充要条件是齐次线性方程组 有非零解其中 .特别地 时,线性相关的充要条件是 ,(3) 线性无关，而 线性相关，则 可由 唯一线性表示,例,设向量组 线性无关， 则向量组 也线性无关,令,则有,由,向量组 线性无关得，,由,第四部分 线性方程组,1基本概念,称,为n个未知量m个方程的线性方程组，,不全为0时，称(1)为非齐次线性方程组；,当 全为0时

10、，称 (1) 为齐次线性方程组,，,则（1）可写成矩阵形式 （3）,或 （4）,A称为方程组（1）的系数矩阵， 为方程组（1）的增广矩阵.,齐次线性方程组可表示为 或 ,注 齐次线性方程组总有解；,2解的性质,性质1 若 是 的解则 也是 的解；,性质2 若 是 的解则 也是 的解；,性质3 的解的任一线性组合，还是 的解；,性质4 若 为 的解，则 为其导出组 的解；,性质5 若 为 的解为其导出组 的解，则 为 的解,求非齐次方程组 的通解方法,(1) 对增广矩阵作初等行变换，化为阶梯形矩阵；,(2)求出导出组 的一个基础解系 ；,(3)求 的一个特解 （为简便，可令自由变量全为0）；,(

11、4) 写出通解 ；,其中 为任意常数,3基本方法,例,求解方程组,解,:,施行初等行变换,对增广矩阵,B,第五部分 相似矩阵及二次型,1正交向量组与正交矩阵,（1）向量的内积 设 维向量,称 为向量 与 的内积.特别地，当 时，称向量 与 正交.,（2）向量的长度 称 为 维向量 的长度（范数）.,（3）正交向量组 设 为一组非零 维向量，若它们两两正交，则称 为一正交向量组.,2 矩阵的特征值和特征向量,（1）特征值与特征向量的概念 设 A 是 阶方阵，如果数 和 维非零列向量 使 成立，则称 是方阵 A 的一个特征值，非零列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量.,对 可写成如下形式,这是

12、 个未知数 个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是其系数行列式,此式是以 为未知数的 次方程，称为方阵 A 的特征方程，其左端是 的 次多项式，记作 , 称为方阵 A的特征多项式，易见 A的特征值就是特征方程的根.,（）特征值和特征向量的求法,求特征方程 的全部根,便得到 A 的全部特征值.,对于特征值 ，求它所对应的齐次线性方程组 的全部非零解,得到 A的属于 的全部特征向量.,二次型及其矩阵表示,（1）二次型的定义 含有 个变量 的二次齐次函数,称为二次型.,取 ，则,于是二次型的矩阵表示为,其中 , 称A 为二次型 的矩阵，,二次型的标准形与规范形,（1）二次型 ，经可逆线性变换 后化为 ，其中 仍是对称阵，,（2）对任意的二次型 ，总可以通过可逆的线性变换 化成只含变量平方项,称为二次型的标准形，,时，,称为二次型的规范形,化二次型为标准形的方法,（1）配方法,（2）正交变换法,对