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文档简介

1、4.4 二 次 型,4.4.1 二次型及其矩阵表示 4.4.2 二次型的标准形 4.4.3 正定二次型,二次型的标准形,定义,叫做二次型。,二次型 f,对称矩阵 A,对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩,定义 设A，B为n阶方阵，如果存在n阶可逆矩阵C，使得 B=CTAC，则称矩阵A与B是合同的，称矩阵C为合同变换矩阵。,显然A是对称矩阵，,这表明对称矩阵A是二次型,的矩阵。,只含有平方项的二次型叫做标准形,解,（秩不变）,二次型的标准型,定义,如果x的二次型 经过可逆线性变换x=Hy变成y的二次型,就称此二次型为原来二次型的标准型。,定理1,经过可逆线性变换后，二次型的秩不变。,定理2,

2、任何二次型的标准型都存在。,是任意二次型,其中A是n阶对称矩阵,存在正交矩阵P，使得,作正交变换,化二次型为标准型,作线性变换,则f 只含平方项,配方法,或,作线性变换,用配方法把二次型化成标准型,作线性变换,定理: 设A是n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P,使,用正交变换化二次型为标准型,正交变换,用正交变换化二次型为标准型的具体步骤：,求矩阵A的特征方程,2.求特征方程的根，即特征值,3.对每个特征值,解方程组,得到n个特征向量,对这个特征向量正交化和单位化，得到,5.,便得到标准型,得特征值,可求得的单位特征向量顺次为,试用正交变换化二次型,为标准型,解,矩阵A的特征多项式为,特征值,正交化,单位化,作正交变换,代入f ，得到标准型,二次型的规范形,二次型经过线性变换变成 f=z12+zs2-zs+12-zr2,称为二次型的规范形。,定理 二次型f= TA 可通过可逆线性变换 =Py化为规范形。（P109),惯性定律,对于同一个二次型，其标准形中正项的个数固定（称为正惯性指标），负项的个数也是固定的（称为负惯性指标） ，因而非零项的个数固定(称为惯性指标）,f 的惯性指标 = f 的矩阵 A 的非零特征值个数 r,f 的正惯性指标 =

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