科学计算与数学建模第3章 湘江流量估计模型-数值积分-3.4- Gauss积分法与节点位置的优化-2017-01.pptx

1、3.4 Gauss积分法与节点位置的优化,3.4.1 Gauss型求积公式的定义,如果我们对系数 A0 , A1 和节点 x0 , x1 都不加限制，那么就可以 适当选取 A0 , A1 和 x0 , x1，使所得公式的代数精度m1。,若要求求积公式 都准确成立，则只要,对f (x) 1, x, x2 , x3,A0 , A1,和 x0 , x1 满足下面的方程组,1,1 f (x)dx A0 f (x0 ) A1 f (x1 ),1,1,f (x)dx A0 f (x0 ) A1 f (x1 )的两点公式时，如果,在构造形如 ,限定求积节点 x0 1， x1 1，那么所得插值型求值(即最好的

2、机械,1,1,f (x)dx f (1) f (1) 的代数精度仅为1。,积分)公式： ,f (x) 1, x, x2 , x3,2,0011,3,11, A0A1 2,A0 x0A1 x1 0 , Ax,A x 2,2 3 A x 30, Ax,00,解之得,0,3 3,A0 A1 1x,1,3 3,x,1,f (x)dx A0 f (x0 ) A1 f (x1 ),1,1,1,f (x)dx f ( 3 ) f ( 3 ) 33,故得到代数精度为3的插值型求积公式：,b,a,n f (x)dx Akf (xk ),的代数精度达到2n+1也是完全可能的。,只要适当选择2n+2个待定参数xk

3、和 Ak,k 0 (k 0,1, n) 使求积公式,可见，对于一般求积公式： ,数精度达到了2n+1，则称它为Gauss(高斯)型求积公式，并 称相应的求积节点为Gauss(高斯)点。,b,a,f ( xk ) 的求积公式代,k 0,n f ( x)dx Ak,定义3.4.1若形如 ,3.3.2 Gauss求积公式的构造与应用 构造Gauss型求积公式的一个比较简单的方法是： (1) 先用区间a,b上的 n+1 次正交多项式确定Gauss点 xk a, b(k 0,1, n) (2) 然后利用高斯点确定求积系数 Ak (k 0,1, n),当积分区间是-1,1时，两点至五点Gauss型求积公式

4、的节点、 系数和余项如表3.5.1所示，其中 1,1 。,表3.5.1 Gauss型求积公式节点和系数表,可见，当n=2时，,x0,1 0.57735027,A0,1,1,得两点高斯型求积公式：,1,1 f (x)dx f (0.57735027) f (0.57735027),当n=3时，由表3.5.1可以查出三个求积节点和对应的三个系数 （注意，系数0.55555556应连用两次），从而得到三点高斯 型求积公式：,1,1 f (x)dx 0.55555556 f (0.77459667) 0.88888889 f (0) 0.55555556 f (0.77459667),x a b b

5、a t 22,1,222,b,a,1,b aa bb a,f (x)dx ,f (t)dt,将区间上的积分转化为区间-1,1上的积分：,先作变量替换，令,记,( )(,22,g tfa b b a t,1,)，则等式右端的积分为1 g(t)dt,然后利用表3.5.1对于给定的 n=1,2,3,4，可以写出Gauss 型求积公式。,对于一般区间 a, b 上积分，也可以利用表3.5.1写出 高斯型求积公式。其原理与方法如下：,1,1,n g(t)dt Ak g(tk ) k 0,1,22,2,2,tk ),1,a bb a,a bb a,f (,n t)dt Ak f ( k 0,2,22,b,

6、a,b a,a bb a,f (x)dx ,f (,n Ak k 0,（3.4.7）,tk )（3.4.8）,容易得出，,由于Gauss求积公式（3.4.7）对变量 t 不高于2n+1次的多项式准 确成立，从而求积公式（3.4.8）对变量 x 不高于2n+1次的多项 式也准确成立，即(3.4.8)是区间 a, b 上Gauss型求积公式。,解：,2,22,b,tk ),k 0,b a,a bb 1,f (x)dx ,3 Ak f (,a,4,a 0, b 1, f (x) ,1x2,1,4,dx,0 1x2,例3.4.2 利用四点高斯型求积公式计算,的近似值。,t0 0.86113631, t

7、1 0.33998104,t2 t1 , t3 t0 A00.34785485, A1 0.65214515, A2A1 , A3 A0,1,4,得,dx 3.141624,0 1x2,其中,可见,Gauss型求积公式具有计算工作量小，所得近似值精确 程度高的优点，是一种高精度的求积公式。,近似值：,Gauss型求积公式的明显缺点是：当 n 改变大小时， 系数和节点都在改变。同时，其余项表达式涉及被积函数 的高阶导数，要利用它们来控制精度也是十分困难的。 为了克服这些缺点，在实际计算中较多采用复合求积的方法。 先把积分区间a,b分成 m 个等长的小区间 xi1 , xi (i 1, 2, m)

8、 , 然后在 每个小区间上使用同一低阶（例如两点的、三点的） Gauss型求 积公式算出积分的近似值，将它们相加，即得整个区间上积分的,2,2,mn,b,m,kk,i1 k 0,f (x)dx G,h,Af a (i 1 )h ht,a,h b a,其中m，Ak 与k 由表查得。,t,在实际计算时，还常用相邻两次计算结果 Gm与 Gm1 的关系式：,Gm1,GG m1m,1,来控制运算（当 Gm11 时, 相当于绝对误差，当 Gm11 时, 相 当于相对误差）即在算出 Gm和Gm1 后，观察不等式 ( 为指 定的精确度)是否满足。 若满足此不等式，则停止计算，把 Gm1 取作待求的积分近似值。否,Gm2,GG,则计算 Gm2，并观察不等式： m2m1 ,1,是否满足直到得到满足精度要求的近似值为止。,3.4 Gauss积分法与节点位置的优化,弹幕问题： 1.对于一般区间a,b上的积分，可以利用表