数学分析课件PPT之十一章反常积分.ppt

1、第十一章反常积分,11.1 反常积分概念,11.2 无穷积分的收敛性质与判别,11.3 瑕积分的性质与收敛判别,11.1 反常积分概念,一、 引例,二、两类反常积分的定义,一. 引入,例：,0,x,y,1,b,解：由于这个图形不是封闭的 曲边梯形,而在x轴的正方 向是开口的，即这时的积 分区间为1，+），,显然当b改变时，曲边梯形的面积也随之改变，,则所求曲边梯形的面积为1,二、两类反常积分的定义.,定义1:,设函数 f (x)在区间a, +)上连续, 取b a,如果极限,存在,则称此极限为函数 f (x)在无穷区间a, +)上的无穷限反常积分, 记作,(1),这时也称无穷积分 收敛; 若上述

2、极限不存在, 就称无穷积分 发散, 这时记号 不再表示数值了。,例如：,类似地, 设函数 f (x)在区间(, b上连续, 取a b,如果极限,存在,则称此极限为函数 f (x)在无穷区间(, b上无穷积分, 记作 ,(2),这时也称无穷积分 收敛; 若上述极限不存在, 就称无穷积分 发散.,即,设函数 f (x)在区间(, +)上连续,都收敛, 则称上述两无穷积分之和为函数 f (x)在区间(, +)上无穷积分.记作 ,即,(3),这时, 也称无穷积分 收敛; 否则就称无穷积分 发散.,如果无穷积分,解：,注: 为方便起见, 把,解:,证: 当 p = 1时,当 p 1时,练习1.确定下列无

3、穷积分是否收敛，若收敛算出它的值.,解：,练习2：计算无穷积分,解(1):,练习4：求下列无穷积分：,定义2: 设函数 f (x)在区间(a, b上连续, 而在点 a 的右邻域内无界, 取 0.如果极限,存在,则称此极限为无界函数 f (x)在(a, b上的反常积分.,(4),这时也称反常积分 收敛. 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散.,类似地, 设函数 f (x)在区间a, b)上连续, 而在点 b 的左邻域内无界, 取 0.,存在,则定义,如果极限,(5),否则, 就称反常积分 发散.,设函数 f (x)在区间a, b上除点c (a c b)外连续, 而在点 c 的邻域内无界, 如

4、果两个广义积分,都收敛, 则定义,(6),否则, 就称反常积分 发散.,所以, x=a为被积函数的无穷间断点.,于是:,且,由于,当q 1时, 收敛; 当q 1时, 发散.,证: 当q = 1时,当q 1时,因此, 当q 1时,反常积分 收敛,其值为,当q 1时,广义积分 发散.,例7 计算反常积分,解,故原反常积分发散.,例8.,解:,被积函数 f在(0,1 上连续,x = 0 是瑕点.由于.,瑕点,解,例9 计算反常积分,注意,反常积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。,反常积分中，N-L公式，换元积分公

5、式、分部积分公式仍然成立，不过代入上、下限时代入的是极限值。,如 无穷限积分,再如 瑕积分,例10 证明,证,四. 小结,(1) 无穷积分和瑕积分的定义;,(2) 无穷积分和瑕积分收敛与发散的定义;,(3) 无穷积分的计算：,(i).求出函数f(x)的原函数F(x).,(ii).,11. 2 无穷积分的收敛性质与判别,一. 无穷积分的性质,二. 无穷积分收敛的判别法,一. 无穷积分的性质,性质,性质,性质,注,性质说明绝对收敛的级数自身一定收敛但自身收敛的级数,不一定绝对收敛,我们称收敛而不绝对收敛的级数为条件收敛,二. 无穷积分收敛的判别法,，比较原则,，柯西准则,，比较原则,推论,，柯西判

6、别法,推论,，狄利克雷判别法,，阿贝尔判别法,解：,例1.讨论收敛性，,根据比较原则,例2.讨论下列无穷积分的收敛性，,解(1)：,根据柯西判别法,解()：,根据柯西判别法,例3,解,根据比较原则，,例4,解,根据极限判别法，所给广义积分发散,例5,解,根据极限判别法，所给无穷积分发散,证,即,收敛.,例,解,所以所给无穷积分收敛.,小结,一. 无穷积分的性质,二. 无穷积分收敛的判别法,.柯西准则,.比较原则,.柯西判别法,.狄利克雷判别法,.阿贝尔判别法,11.3瑕积分的性质与收敛判别,瑕积分与无穷积分有平行的理论和结果 .,一. 瑕积分的性质,性质,性质,性质,注,性质说明绝对收敛的级数自身一定收敛但自身收敛的级数,不一定绝对收敛,我们称收敛而不绝对收敛的级数为条件收敛,二. 无穷积分收敛的判别法,.柯西准则,，比较原则,推论,.柯西判别法,推论,例1,例2,例3,解,由洛必达法则知,根据柯西判别法极限形式,所给广义积分发散.,