7.4 一阶线性微分方程

1、7.4 一阶线性微分方程,一、一阶线性微分方程 二、伯努利 ( Bernoulli )方程,7.4 一阶线性微分方程,一、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为一阶线性齐次微分方程.,上方程称为一阶线性非齐次微分方程.,例如,线性的;,非线性的.,7.4 一阶线性微分方程,形如,的方程称为n阶线性微分方程, 其中,均为自变量,的已知函数.,齐次方程的通解为,1. 线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),7.4 一阶线性微分方程,7.4 一阶线性微分方程,2. 线性非齐次方程,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质: 未知函数的变量代

2、换.,作变换,7.4 一阶线性微分方程,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,7.4 一阶线性微分方程,例1 解方程,先求对应齐次线性方程,它是可分离变量方程, 分离变量,得,解,的通解., 积分得,即齐次线性方程通解,7.4 一阶线性微分方程,用常数变易法求非齐次线性方程的特解., 则,代入非齐次方程得,解得,(C为任意常数).,令,故原方程通解为,7.4 一阶线性微分方程,例2 求方程,的通解 .,注意 x, y 同号,由一阶线性方程通解公式 , 得,故方程可变形为,解,7.4 一阶线性微分方程,所求通解为,7.4 一阶线性微分方程,由题意知,这是一阶

3、线性非齐次方程,且满足,即得初值问题,解,7.4 一阶线性微分方程,由一阶线性方程的通解公式可得,由初始条件,得,因此,7.4 一阶线性微分方程,解,这是一阶线性齐次微分方程，分离变量并两端积分,7.4 一阶线性微分方程,解之得,故半年后,7.4 一阶线性微分方程,二、伯努利 ( Bernoulli )方程,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.,7.4 一阶线性微分方程,求出通解后，将 代入即得,代入上式,7.4 一阶线性微分方程,例4 求方程,的通解.,解 令,则方程变形为,其通解为,将,代入, 得

4、原方程通解:,熟悉求解方法后,也可以不引入新变量,例5,解方程,解,这不是线性方程,但若把,y视为自变量,两边除以,n=2的伯努利方程.,也不是伯努利方程.,方程写为:,而直接按上述方法求解.,7.4 一阶线性微分方程,即,7.4 一阶线性微分方程,内容小结,7.4 一阶线性微分方程,1. 一阶线性方程,方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.,方法2 用通解公式,化为线性方程求解.,2. 伯努利方程,思考练习,7.4 一阶线性微分方程,静脉输液问题.,静脉输入葡萄糖是一种重要的医疗技术.,研究这一过程,设G(t)为时刻 t 血液中葡萄糖含量,与此,血液中的葡萄糖还会转化为其他物质或转移,其速率与血液中的葡萄糖含量成正比.,试列出描述这一现象的微分方程,为了,到其他地方,含量.,糖以常数,同时,需要知道t 时刻中血液中的葡萄糖,且设葡萄,的固定速率输入到血液中,并解之.,解答,因为血液中的葡萄糖含量的变化率,加速率与减少速率之差,等于增,而增加速率为,减少,速率为,其中,为正的比例常数,所以,常数k,思考练习,7.4 一阶线性微分方