第4章4-03,04埃特金,牛顿插值.ppt_第1页
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文档简介

1、4.3 逐次线性插值,逐次线性插值解决拉格朗日插值为提高精度增加插值节点时，要重新计算全部基函数，整个插值多项式的结构都会改变的问题。,4 .3.1 三个节点的情形,已知 f(x) 在三个互异节点x0 ,x1 ,x2的函数值y0 ,y1 ,y2 用（x0 ,y0 ), (x1 ,y1 )做插值,用（x0 ,y0 ), (x2 ,y2 )做插值,用（x1,P01 ), (x2 ,P02 )做插值,上式即是拉格朗日二次插值多项式。 两个线性插值的结果再进行线性插值，得到抛物线性插值。,三个节点的情形写成表格的形式, 的近似值为1.5。,已知f(x)在三个互异点 0,1,2的函数值1,3,9 用（0

2、,1 ), (1,3 )作插值,用（0,1 ), (2,9 )作插值,用（1,P01), (2 ,P02 )作插值,4.3.2 埃特金插值,埃特金插值：利用二个k-1次插值进行线性插值可得k次插值,4.3.3 内维尔插值,内维尔插值,4.4 牛顿插值,牛顿插值解决拉格朗日插值为提高精度增加插值节点时，要重新计算全部基函数，整个插值多项式的结构都会改变的问题。 差商及其性质,牛顿插值多项式。,零阶差商定义为函数值本身，即,4.4.1 差商（均差）及其性质 1 差商的定义 差商是函数增量与其自变量的增量的比(商)。,函数f关于点xi ,xj的一阶差商 一阶差商是函数f在区间xi ,xj 的平均变化

3、率。 二阶差商 是一阶差商在区间的平均变化率,例如 设 则,函数f的n阶差商,高阶差商是由比它低一阶的两个差商的差商组成。 例如,差商表,（1） n 阶差商 是函数值 的线性组合，即 （2） 差商具有对称性：任意改变节点的次序差商值不变。例如 f0,2,4 = f2,0,4 = f4,2,0等。,2 差商的性质,按差商的定义,4.3.2牛顿插值公式 1。牛顿插值公式的建立,牛顿插值多项式 (f(x)的前n+1项）,牛顿插值余项 (f(x)的最后一项）,牛顿插值多项式的构成,2。牛顿插值的特点 (1) P(x)次数不超过n次，项数不超过n+1项。各项系数是差商表上对角线的各阶差商值。 (2) P

4、(x)满足插值条件，在节点上f(xi )=P(xi ) . (3) 增加一个节点，只需增加一项。,n次牛顿插值多项式,计算牛顿插值多项式的步骤 (1) 作差商表. (2) 写出牛顿插值多项式（表中对角线上各差商值就是P(x)的各项系数）。 (3) 计算插值点的近似值。,余项公式,解 先作差商表,xi,f(xi ),1阶,2阶,3阶,4阶,0.40 0.55 0.65 0.80 0.90,1.1160 1.1860 1.2757 1.3841,0.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.02652,0.2800 0.3588 0.4336,0.191 0.214,0.034,由Newton公式得四

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