（浙江专用）2020届高考数学一轮复习第五章平面向量与解三角形5.2平面向量的数量积及其应用课件.pptx

1、 5.2平面向量的数量积及其应用,高考数学 (浙江专用),考点一平面向量的数量积,A组自主命题浙江卷题组,五年高考,1.(2017浙江,10,4分)如图,已知平面四边形ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=,I2=,I3=,则() A.I1I2I3B.I1I3I2C.I3I1I2D.I2I1I3,答案C本题考查向量的数量积,共线向量定理,解三角形,考查运算能力和逻辑推理能力.,如图,建立直角坐标系,则B(0,0),A(0,2),C(2,0). 设D(m,n), 由AD=2和CD=3,得 从而有n-m=0,nm. 从而DBC45,又BCO=45,BOC为

2、锐角. 从而AOB为钝角.故I10. 又OA1),=-2(21), 从而I3=12=12I1, 又121,I10,I30,I3I1,I3I1I2.故选C.,2.(2016浙江文,15,4分)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,ab=1.若e为平面单位向量,则|ae|+|be|的最大值是.,答案,解析由已知易得a,b所成角为60,如图. 设向量e与a所成角为,e与b所成角为, 则与的关系为=60-(e在区域)或=60+(e在区域)或=300-(e在区域)或=-60(e在区域).,|ae|+|be|=cos +2cos =2cos +sin =sin(+),其中tan =,则30, +60

3、+, |ae|+|be|的最大值为. 同理可得另三种情况下所求的最大值均为.,故|ae|+|be|的最大值为.,1.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足 b2-4eb+3=0,则|a-b|的最小值是() A.-1B.+1C.2D.2-,考点二向量的综合应用,答案A设=a,=b,=e,以O为原点,方向为x轴的正方向,建立平面直角坐标系,则E (1,0).不妨设A点在第一象限,a与e的夹角为,点A在从原点出发,倾斜角为,且在第一象 限内的射线上.设B(x,y),由b2-4eb+3=0,得x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2

4、=1,即点B在圆(x-2)2+y2=1上运动.而=a-b,|a-b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值,即为圆心(2,0)到射线y=x (x0)的距离减去圆的半径,所以|a-b|min=-1.选A.,一题多解将b2-4eb+3=0转化为b2-4eb+3e2=0, 即(b-e)(b-3e)=0,(b-e)(b-3e). 设=e,=a,=b,=3e,=2e,则, 点B在以M为圆心,1为半径的圆上运动,如图. |a-b|=|,|a-b|的最小值即为点B到射线OA的距离的最小值,即为圆心M到射线OA的距离 减去圆的半径. |=2,AOM=,|a-b|min=2sin-1=-1.,2.(2017浙

5、江,15,6分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.,答案4;2,解析本题考查向量的线性运算、坐标运算,向量的几何意义,向量绝对值不等式,利用基本不等式求最值,利用三角代换求最值,考查逻辑推理能力和运算求解能力. 解法一:|a+b|+|a-b|(a+b)+(a-b)|=2|a|=2, 且|a+b|+|a-b|(a+b)-(a-b)|=2|b|=4, |a+b|+|a-b|4,当且仅当a+b与a-b反向时取等号,此时|a+b|+|a-b|取最小值4. =, |a+b|+|a-b|2. 当且仅当|a+b|=|a-b|时取等号,此时ab=0. 故当

6、ab时,|a+b|+|a-b|有最大值2.,解法二:设x=|a+b|,由|a|-|b|a+b|a|+|b|, 得1x3. 设y=|a-b|,同理,1y3. 而x2+y2=2a2+2b2=10, 故可设x=cos ,cos ,y=sin ,sin . 设1,2为锐角,且sin 1=,sin 2=, 则有12,又012, 则x+y=(cos +sin )=2sin, 1+2+,而1+2+, 故当+=,即=时,x=y,此时|a+b|=|a-b|, 所以当ab时,x+y=|a+b|+|a-b|有最大值2.,. 又sin=sin=, 故当=1或=2时,x=3,y=1或x=1,y=3,此时ab, x+y=

7、|a+b|+|a-b|有最小值4. 解法三:设b=(2,0),a=(x,y),则x2+y2=1. 故|a+b|+|a-b|=+,=+=+ =, 0 x21, 当x=0,即ab时, |a+b|+|a-b|有最大值2; 当x2=1,即ab时,|a+b|+|a-b|有最小值4.,解法四:设x=|a+b|,由|a|-|b|a+b|a|+|b|, 得1x3.设y=|a-b|,同理可得1y3. 又x2+y2=2a2+2b2=10. 故可转化为线性规划问题“已知求x+y的最大值和最小值.” 其可行域为图中弧AB,平移直线x+y=0,显然过A、B点时,x+y有最小值4. 与圆弧相切时,切点为C(,),x+y有

8、最大值2,则|a+b|+|a-b|的最小值为4,最大值为2.,3.(2016浙江,15,4分)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若对任意单位向量e,均有|ae|+|be|,则ab的最 大值是.,答案,解析对任意单位向量e,均有|ae|+|be|ae+be|=|(a+b)e|,|a+b|,当且仅当a+b与e 共线时,等号成立.a2+2ab+b26,又|a|=1,|b|=2,ab,即ab的最大值为.,考点一平面向量的数量积,B组统一命题、省（区、市）卷题组,1.(2019课标全国文,3,5分)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=() A.B.2C.5D.50,答案A本题主要

9、考查平面向量的坐标运算以及向量模的计算;考查数学运算的核心素养. a=(2,3),b=(3,2),a-b=(-1,1),|a-b|=,故选A.,一题多解a=(2,3),b=(3,2),|a|2=13,|b|2=13,ab=12,则|a-b|= .故选A.,2.(2019课标全国理,3,5分)已知=(2,3),=(3,t),|=1,则=() A.-3B.-2C.2D.3,答案C本题考查了平面向量的坐标表示以及数量积和模的求解;通过模的运算,考查了方程的思想方法.考查的核心素养为数学运算. =-=(1,t-3), |=1,t=3, =(2,3)(1,0)=2.,思路分析先利用|=1求出t的值,再利

10、用数量积的坐标运算求出数量积.,3.(2019课标全国理,7,5分)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)b,则a与b的夹角为() A.B.C.D.,答案B本题考查向量的运算及向量的夹角;考查学生的运算求解能力;考查了数形结合思想;考查的核心素养是数学建模和数学运算. 解法一:因为(a-b)b,所以(a-b)b=ab-|b|2=0,又因为|a|=2|b|,所以2|b|2cos-|b|2=0,即cos=,又知0,所以=,故选B. 解法二:如图,令=a,=b,则=-=a-b,因为(a-b)b,所以OBA=90,又|a|=2|b|,所以 AOB=,即=.故选B.,思路分析本题可由两向量

11、垂直的充要条件建立方程求解;也可以将两向量放在直角三角形中,由题设直接得到两向量的夹角.,4.(2018课标全国理,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)=() A.4B.3C.2D.0,答案B本题考查平面向量的运算. 因为|a|=1,ab=-1,所以a(2a-b)=2|a|2-ab=212-(-1)=3.故选B.,5.(2017课标全国,12,5分)已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则 (+)的最小值是() A.-2B.-C.-D.-1,答案B本题考查向量的坐标运算,考查利用数形结合的方法求解最值问题. 以AB的中点为原点,AB所在直线为x

12、轴,建立平面直角坐标系,如图, 则A(-1,0),B(1,0),C(0,),设P(x,y),取BC的中点D,则D.(+)=2=2(-1-x,-y) =2=2. 因此,当x=-,y=时,(+)取得最小值,为2=-,故选B.,解后反思本题通过向量的坐标运算,将“数”与“形”的问题相互转化,充分体现了数形结合的思想方法.,6.(2016课标全国,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)b,则m=() A.-8B.-6C.6D.8,答案D由题意可得a+b=(4,m-2),(a+b)b,43-2(m-2)=0,m=8.故选D.,7.(2016北京,4,5分)设a,b是向量,则“|

13、a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,答案D当|a|=|b|0时,|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)2ab=0ab,推不出|a|=|b|.同样,由|a|=|b|也不能推出ab.故选D.,解后反思由向量加法、减法的几何意义知,当a、b不共线,且|a|=|b|时,a+b与a-b垂直;当ab时,|a+b|=|a-b|.,评析本题考查向量的模及运算性质,属容易题.,8.(2016天津,7,5分)已知ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2

14、EF,则的值为() A.-B.C.D.,答案B建立平面直角坐标系,如图. 则B,C,A,所以=(1,0). 易知DE=AC,则EF=AC=,因为FEC=60,所以点F的坐标为, 所以=, 所以=(1,0)=.故选B.,疑难突破若利用公式ab=|a|b|cos求解十分困难,则可以考虑建立平面直角坐标系,利用坐标运算求解.确定点F的坐标是解题的关键.,评析本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积.考查运算求解能力和数形结合思想.,9.(2016山东,8,5分)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos=.若n(tm+n),则实数t的值为 () A.4B.-4C.D.-,答案B因为n(tm+n)

15、,所以tmn+n2=0,所以mn=-,又4|m|=3|n|,所以cos= =-=,所以t=-4.故选B.,评析本题主要考查了非零向量垂直的充要条件和夹角公式,属中档题.,10.(2015福建,9,5分)已知,|=,|=t.若点P是ABC所在平面内的一点,且= +,则的最大值等于() A.13B.15C.19D.21,答案A以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B(t 0),C(0,t),P(1,4),=(-1,t-4)=17- 17-22=13,故的最大值为13,故选A.,11.(2019课标全国文,13,5分)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则co

16、s=.,答案-,解析本题考查平面向量夹角的计算,通过向量的坐标运算考查学生的运算求解能力,体现运算法则与运算方法的素养要素. 由题意知cos=-.,12.(2019北京文,9,5分)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且ab,则m=.,答案8,解析本题考查两向量垂直的充要条件和向量的坐标运算,考查了方程的思想方法. ab,ab=(-4,3)(6,m)=-24+3m=0, m=8.,易错警示容易把两向量平行与垂直的条件混淆.,13.(2019课标全国理,13,5分)已知a,b为单位向量,且ab=0,若c=2a-b,则cos= .,答案,解析本题主要考查平面向量的数量积、模长及平面向量夹角的

17、计算;通过向量的数量积、夹角的求解考查学生运算求解的能力,体现了数学运算的核心素养. |a|=|b|=1,ab=0, ac=a(2a-b)=2a2-ab=2, |c|=|2a-b|=3. cos=.,小题巧解不妨设a=(1,0),b=(0,1),则c=2(1,0)-(0,1)=(2,-),cos=.,方法总结利用数量积求解向量模的处理方法: a2=aa=|a|2或|a|=; |ab|=.,14.(2018北京文,9,5分)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a(ma-b),则m=.,答案-1,解析本题主要考查平面向量数量积的坐标运算. a=(1,0),b=(-1,m),a2=1,ab=-

18、1, 由a(ma-b)得a(ma-b)=0,即ma2-ab=0, 即m-(-1)=0,m=-1.,15.(2017北京文,12,5分)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则的最大 值为.,答案6,解析解法一:表示在方向上的投影与|的乘积,当P在B点时,有最大 值,此时=23=6. 解法二:设P(x,y),则=(2,0)(x+2,y)=2x+4,由题意知-1x1,x=1时,取最大值6, 的最大值为6.,16.(2017山东理,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若e1-e2与e1+e2的夹角为60,则实 数的值是.,答案,解析本题考查向量的坐标运算和向量

19、的夹角公式. 由题意不妨设e1=(1,0),e2=(0,1),则e1-e2=(,-1),e1+e2=(1,).根据向量的夹角公式得cos 60= =,所以-=,解得=.,疑难突破根据“e1,e2是互相垂直的单位向量”将原问题转化为向量的坐标运算是解决本题的突破口.,易错警示对向量的夹角公式掌握不牢而致错.,17.(2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60.动点E和F分别在线段BC和DC上,且=,=,则的最小值为.,答案,解析如图,以A为原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系,则B(2,0),C,D. 由=得E,由=得F. 从而=+2=当且仅

20、当=时,取等号.,1.(2018北京理,6,5分)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“ab”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,考点二向量的综合应用,答案C本题主要考查平面向量的数量积的应用以及充分、必要条件的判断. |a-3b|=|3a+b|a-3b|2=|3a+b|2a2-6ab+9b2=9a2+6ab+b22a2+3ab-2b2=0,又|a|=|b|=1,ab=0ab,故选C.,方法总结平面向量模的问题的处理方法: 通常是进行平方,转化成平面向量的数量积问题解决.,2.(2018天津理,8,5分)如图,在平面四

21、边形ABCD中,ABBC,ADCD,BAD=120,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则的最小值为() A.B.C.D.3,答案A本题主要考查数量积的综合应用. 解法一:如图,以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(1,0),B,C(0,),令E(0,t),t0,=(-1,t)=t2-t+,t0,当t =-=时,取得最小值,()min=-+=.故选A. 解法二:令=(01),由已知可得DC=, =+,=+=+, =(+)(+) =+|2+2|2 =32-+.,当=-=时,取得最小值.故选A.,方法总结向量的最值问题常用数形结合的方法和函数的思想方法求

22、解,建立函数关系时,可用平面向量基本定理,也可利用向量的坐标运算.,3.(2016课标全国,3,5分)已知向量=,=,则ABC=() A.30B.45 C.60D.120,答案AcosABC=,所以ABC=30,故选A.,4.(2016四川,10,5分)在平面内,定点A,B,C,D满足|=|=|,=-2, 动点P,M满足|=1,=,则|2的最大值是() A.B. C.D.,答案B由|=|=|及=DBCA,DCAB,DACB,且 ADC=ADB=BDC=120,ABC为正三角形,设|=a,则a2cos 120=-2a=2AC=2 OC=3,如图建立平面直角坐标系xOy,则A(-,0),B(,0)

23、,C(0,3).由=P,M,C三点共线且M为PC的中点,设P(x,y),由|=1 (x+)2+y2=1, 令则即P(sin -,cos ), M, |2=(sin -3)2+(3+cos )2=37-(6sin -6cos )=(37+1,2)=. |2的最大值为.,疑难突破本题的难点是如何找出|2与变量之间的关系,突破之处是抓住|=1(x+)2 +y2=1,然后将坐标参数化,从而将问题转化为求asin +bcos =sin(+)的最大值问题.,5.(2015湖南,8,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且ABBC.若点P的坐标为(2,0),则|+ +|的最大值为() A.6B.7

24、C.8D.9,答案B解法一:由圆周角定理及ABBC,知AC为圆的直径. 故+=2=(-4,0)(O为坐标原点). 设B(cos ,sin ),=(cos -2,sin ), +=(cos -6,sin ),|+|=7,当 且仅当cos =-1时取等号,此时B(-1,0),故|+|的最大值为7.故选B. 解法二:同解法一得+=2(O为坐标原点),又=+,|+|=|3+| 3|+|=32+1=7,当且仅当与同向时取等号,此时B点坐标为(-1,0),故|+| max=7.故选B.,评析本题考查向量的坐标运算,向量的模等基础知识,对能力要求较高.,6.(2019天津文,14,5分)在四边形ABCD中,

25、ADBC,AB=2,AD=5,A=30,点E在线段CB的延 长线上,且AE=BE,则=.,答案-1,解析本题主要考查平面几何知识的应用、解三角形、向量的坐标运算及数量积的求解;考查学生数形结合思想的应用以及运算求解能力;通过向量的不同表现形式更全面考查了学生逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养. 解法一:BAD=30,ADBC,ABE=30, 又EA=EB,EAB=30, 在EAB中,AB=2,EA=EB=2. 以A为坐标原点,直线AD为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.,则A(0,0),D(5,0),E(1,),B(3,), =(2,-),=(1,),=(2,-)(1,)=-1. 解法二:

26、同解法一,求出EB=EA=2, 以,为一组基底, 则=-,=+=-, =(-) =-+- =52-12-25=-1.,7.(2019江苏,12,5分)如图,在ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若=6,则的值是.,解析本题考查平面向量基本定理、向量的线性运算、平面向量的数量积等有关知识,考查学生的抽象概括能力和运算求解能力,考查的核心素养为数学运算. 过D作DFEC,交AB于F. D为BC的中点,F为BE的中点, 又BE=2EA,EF=EA, 又DFEO,AO=AD, =(+). =(+) =.,答案,=6, =-+, =3,|=|, =.,一题多解由于题

27、目中对BAC没有限制,所以不妨设BAC=90,AB=c,AC=b,建立如图所示的平面直角坐标系. 则E,D, 易得lAD:y=x,lEC:+=1,联立得解得则O. 由=6得6=0,c2=3b2,c=b,=.,考点一平面向量的数量积,C组教师专用题组,1.(2015安徽,8,5分)ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列 结论正确的是() A.|b|=1B.abC.ab=1D.(4a+b),答案Db=-=,|b|=|=2,故A错;=22cos 60=2,即-2ab=2,ab=- 1,故B、C都错;(4a+b)=(4a+b)b=4ab+b2=-4+4=0,(4a+

28、b),故选D.,2.(2015山东,4,5分)已知菱形ABCD的边长为a,ABC=60,则=() A.-a2B.-a2C.a2D.a2,答案D=(+)=+=a2+a2=a2.,3.(2015重庆,6,5分)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)(3a+2b),则a与b的夹角为() A.B.C.D.,答案A(a-b)(3a+2b),(a-b)(3a+2b)=03|a|2-ab-2|b|2=03|a|2-|a|b|cos-2|b|2=0. 又|a|=|b|,|b|2-|b|2cos-2|b|2=0. cos=.0,=.选A.,4.(2017课标全国文,13,5分)已知向量a=(-2,3)

29、,b=(3,m),且ab,则m=.,答案2,解析ab,ab=0,又a=(-2,3),b=(3,m),-6+3m=0,解得m=2.,5.(2017课标全国理,13,5分)已知向量a,b的夹角为60,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.,答案2,解析解法一(公式法):由题意知ab=|a|b|cos 60=21=1,则|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4ab= 4+4+4=12.所以|a+2b|=2. 解法二(坐标法):根据已知条件建立恰当的坐标系,由题意,不妨取a=(2,0),b=,则a+2b= (3,),所以|a+2b|=2.,6.(2016课标全国,13,5分)设向量

30、a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.,答案-2,解析由|a+b|2=|a|2+|b|2,知ab,ab=m+2=0,m=-2.,7.(2015湖北,11,5分)已知向量,|=3,则=.,答案9,解析,=0, 即(-)=0, =9.,8.(2016江苏,13,5分)如图,在ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,=4, =-1,则的值是.,答案,解析由已知可得=+=+=-=(-)-(+)=- , =+=+=-=(-)-(+)=-, =+=+=(-)-(+) =-, =+=+=(-)-(+)=-, 因为=4,所以=4, 则= =-+ =-(+)

31、=4-(+)=-1, 所以+=,从而= =-+ =-(+)+ =-+4 =.,思路分析合理选择“基底”,把相关向量用“基底”表示出来,进而求得向量的数量积.,9.(2015广东,16,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x . (1)若mn,求tan x的值; (2)若m与n的夹角为,求x的值.,解析(1)因为mn,所以mn=sin x-cos x=0. 即sin x=cos x,又x,所以tan x=1. (2)易求得|m|=1,|n|=1. 因为m与n的夹角为, 所以cos=. 则sin x-cos x=sin=. 又因为x,所以x-. 所以x-

32、=,解得x=.,1.(2018天津文,8,5分)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,MON=120,=2,=2 ,则的值为() A.-15B.-9 C.-6D.0,考点二向量的综合应用,答案C本题考查向量的运算. 解法一:连接OA.=-=3-3=3(-)-3(-)=3(-), =3(-)=3(-|2)=3(21cos 120-12)=3(-2)=-6.故选C. 解法二:在ABC中,不妨设A=90,取特殊情况ONAC,以A为坐标原点,AB,AC所在直线分别为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,因为MON=120,ON=2,OM=1,所以O,C ,M,B. 故=-=-6.故选C.,2.

33、(2017课标全国文,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=.,答案7,解析本题考查向量数量积的坐标运算. a=(-1,2),b=(m,1),a+b=(m-1,3),又(a+b)a, (a+b)a=-(m-1)+6=0,解得m=7.,3.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量,的模分别为1,1,与的夹角 为,且tan =7,与的夹角为45.若=m+n(m,nR),则m+n=.,答案3,解析本题考查平面向量基本定理及其应用,平面向量的夹角及其应用等知识. 解法一:tan =7,0, cos =,sin =, 与的夹角为, =, =m+n

34、,|=|=1,|=, =, 又与的夹角为45, =, 又cosAOB=cos(45+)=cos cos 45-sin sin 45 =-=-,=|cosAOB=-, 将其代入得m-n=, -m+n=1, 两式相加得m+n=, 所以m+n=3. 解法二:过C作CMOB,CNOA,分别交线段OA,OB的延长线于点M,N, 则=m,=n, 由正弦定理得=, |=,由解法一知,sin =,cos =, |=, |=,又=m+n=+,|=|=1, m=,n=, m+n=3.,4.(2015江苏,14,5分)设向量ak=cos,sin+cos(k=0,1,2,12),则(akak+1)的值为 .,答案9,

35、解析由ak=(k=0,1,2,12)得ak+1=(k =0,1,2,11), 故akak+1=cos,sin+coscos,sin+cos =coscos+sin+cos =coscos+sinsin+sincos+cossin+coscos =cos+sin+cos,=cos+sin+coscos-sin =cos+sin+-sin =+sin+cos-sin =+sin+cos+cos-sin,=+sin+cos =+sin, 其中cos =,sin =, 所以(ak ak+1) =+sin+ =12=9.,考点一平面向量的数量积,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1

36、.(2019浙江金丽衢第一次联考,2)已知向量a=(4,),b=(1,5),则向量a,b的夹角为() A.30B.45C.60D.90,答案Ccos=,从而=60,故选C.,2.(2019浙江宁波北仑中学高三模拟(一),4)设向量a, b满足: |a|=1,|b|=2, a(a+b)=0, 则a与b的夹角是() A.30 B.60C.90 D.120,答案D由题意得,a(a+b)=|a|2+ab=1+|a|b|cos=1+2cos=0,则cos=-,故a与 b的夹角是120,故选D.,3.(2019浙江嵊州高三上期末,7)如图,在ABC中,AB=2AC,BAC=,P1,P2,P3是边BC的四等

37、 分点,记I1=,I2=,I3=,则() A.I1I2I3B.I2I1I3 C.I2I3I1D.I3I2I1,答案C因为=(+),所以I1=(+),I3=(+),故只需判断 ,之间的大小关系.不妨令AC=1,AB=2,则由余弦定理可得BC=,作ADBC, 由勾股定理容易得到P3位于点D的右侧,故AP3B为锐角,显然有,故I2I3I1, 选C.,4.(2019浙江高考数学仿真卷,9)已知向量|a|=2且b2-2ab-3a2=0,则(b-a)b的最大值是() A.24B.34C.36D.40,答案Ab2-2ab-3a2=(b+a)(b-3a)=0. 令u=b+a,v=b-3a,则uv=0,u-v=

38、4a,3u+v=4b, (u-v)2=64,即u2+v2=64, (b-a)b=u2+824,故选A.,5.(2019浙江金丽衢第一次联考,15)若等边ABC的边长为2,平面内一点M满足:=+ ,则=.,答案-2,解析由题意可知,=(-)(-)=-+ -=-2.,6.(2019浙江杭州二模(4月),16)已知向量a=(1,2),平面向量b满足(2a+b)a=|b|,则(b-4a)b的最 小值等于.,答案20,解析由题意得2a2+ab=|b|, 因为|ab|b|,所以-|b|b|-2a2|b|,解得|b|, 所以(b-4a)b=b2-4ab=|b|2-4(|b|-2a2)=|b|2-4|b|+4

39、0=+2020.,7.(2019浙江诸暨高三上期末,15)已知|a|=3,|a-b|=|a-2b|,则|b|的最大值为.,答案2,解析设a与b的夹角为.将|a-b|=|a-2b|两边平方,化简,解得|b|=2cos ,|b|2,当且仅当cos =1时取等号.,8.(2019浙江宁波北仑中学高三模拟(二),17)如图,C,D在半径为1的O上,线段AB是O的直径,则的取值范围是.,答案,解析由题意得=(+)=-,显然当DC,DB均为O的直径时,取 得最大值4, 取BC的中点M,由极化恒等式可知=-=+-1-1-1 =-, 故.,1.(2019浙江高考信息优化卷(三),7)设为两个非零向量a,b的夹

40、角,且0,已知对任意实数t (-1,1),|b+ta|无最小值,则以下说法正确的是() A.若和|b|确定,则|a|唯一确定 B.若和|b|确定,则|a|无最大值 C.若确定,则|a|b| D.若不确定,则|a|b|,考点二向量的综合应用,答案D记y=|b+ta|2=|a|2t2+2tab+|b|2,则对称轴为t=-=-0. 由题意知y关于t的二次函数在t(-1,1)上无最小值, 则-1, 即|a|b|cos 恒成立,当和|b|确定时,|a|有最大值,|a|不唯一. 无论取何值,都有|a|b|,故A,B,C错误,D正确,故选D.,2.(2019浙江学军中学高三上期中,9)若单位向量a,b的夹角

41、为钝角,|b-ta|(tR)的最小值为, 且(c-a)(c-b)=0,则c(a+b)的最大值为() A.B.C.D.3,答案B不妨取a=(1,0),b=(cos ,sin ),则|b-ta|= , ,cos (-1,0), 当t=cos 时,|b-ta|取得最小值,sin =. ,=,b=. 设c=(x,y),(c-a)(c-b)=0,c2-c(a+b)+ab=0,c(a+b)=c2-.,由(c-a)(c-b)=0,可得(x-1,y)=x2-x-+y2-y=0, +=, |c|+=,c(a+b)=c2-=, c(a+b)的最大值为,故选B.,3.(2019浙江名校协作体联考(2月),9)若平面

42、向量a,b,e满足|a|=2,|b|=3,|e|=1,且ab-e(a+b)+1=0,则|a-b|的最小值是() A.1B.2-1 C.2D.,答案B解法一:由ab-e(a+b)+1=0知,ab+1=e(a+b),所以|ab+1|=|e(a+b)|a+b|, 上式两边平方得(ab+1)2a2+b2+2ab=13+2ab, 所以-2ab2, 从而|a-b|=2-1, 故选B. 解法二:设a=,b=,e=,记e=(1,0), 由题意可知A在以O为圆心,2为半径的圆上;B在以O为圆心,3为半径的圆上. 因为ab-e(a+b)+1=0,所以(e-a)(e-b)=0,即, 以,为边作矩形AEBC,由矩形的

43、性质可知,OE2+OC2=OA2+OB2, 所以OC=2,即C是在以O为圆心,2为半径的圆上. 因为|a-b|=AB=EC,而ECmin=2-1,ECmax=2+1, 所以|a-b|min=2-1,故选B.,4.(2019浙江高考信息优化卷(二),9)已知平面向量a,b满足|a|=3,|b|=5,|a-b|=7,对任意的实数k,不等式|ka+tb|2恒成立,则实数t的取值范围是() A. B.(,+) C. D.(-,-1)(1,+),答案C由|a|=3,|b|=5,|a-b|=7,得ab=-, 将|ka+tb|2两边平方,整理得9k2-15kt+25t2-40, 由题意得,故选C.,5.(2

44、019浙江金华十校联考(4月),17)已知平面向量 a,m,n,满足|a|=4,则当|m-n|= 时,m与n的夹角最大.,答案,解析m2-am+1=0可化为=-1=3,n2-an+1=0可化为=-1=3. 令a=,m=,n=,取OA的中点D,则M,N在以D为圆心,为半径的圆上,连接DM,DN,MN, 如图, 当OM,ON与圆D相切时,MON,即最大, 此时cosMDO=,MDO=,MDN=, |m-n|=MN=.,6.(2019浙南联盟高三上期末,16)若向量a,b,c满足ab,c0且(c-a)(c-b)=0,则的 最小值是.,答案2,解析不妨设|c|=1,则转化为求|a+b|+|a-b|的最

45、小值. 利用几何法处理,设a=,b=,c=,取AB的中点M,连接OM,CM,AB,AC,BC,则有|a+b|=2| |,|a-b|=|=2|,因为(c-a)(c-b)=0,所以,所以|=|,即|a-b|=2|, 从而|a+b|+|a-b|=2(|+|)2|-|=2|=2,当,反向平行或其中一个为零向 量时取等号.,7.(2019浙江高考信息优化卷(一),17)已知非零向量a,b满足|2a+b|=1,|a-2b|=2,则|ab|的最大值是.,答案,解析令u=2a+b,v=a-2b,则|u|=1,|v|=2,解得a=,b=, 所以ab=,从而|ab|的最大值为.,B组20172019年高考模拟专题

46、综合题组 时间:20分钟分值:32分 一、选择题(每小题4分,共12分),1.(2019浙江台州一中、天台一中高三上期中,7)已知a,b是两个不共线的单位向量,则+ 的最小值为() A.B.1 C.2D.4,答案B因为+=+=,所以当cos 2=0时,+取得最小值1.故选B.,2.(2019浙江温州普通高中高考适应性测试(2月),7)在平面上,e1,e2是方向相反的单位向量,|a|=2 ,(b-e1)(b-e2)=0,则|a-b|的最大值为() A.1 B.2 C.4 D.3,答案D(b-e1)(b-e2)=0,b2-e1b-e2b+e1e2=0,b2-(e1+e2)b-1=0,解得|b|=1,又|a|=2,|a-b|2=a2+b2-2ab=5-2ab=5-2|a|b|cos=5-4cos9, |a-b=9,|a-b|max=3.故选D.,3.(2019浙江宁波效实中学高三上期中,10)已知|a|=|b|=1,ab=,c=(m,1-m),d=(n,1-n)(m,nR).若 存在a,b,对