高等数学讲义 第二章 极限与连续.ppt

1、第二章 极限与连续,1. 数列的极限,1. 数列,单调数列：,有界数列：,2. 数列的极限,如果当n 无限增大时, xn 无限地接近于常数 a , 那末称 a 为数列xn的极限。,定义：设一数列xn和一个常数 a ,如果对于任意给定的正数 （不任多么小）, 总存在正整数 N，使得对于满足 n N 的一切 xn 都有| xn a| 成立，那末称数 a 为数列xn当 n + 时的极限。,这即为数列极限的“ N ”定义，可简写为,例1. 用极限“ N”定义验证,例2.用“N”语言验证,表示 n 很大时， xn 几乎都凝聚在点 a 的近旁。,数列极限的几何解释,有极限的数列称为收敛数列，反之称为发散数

2、列。,3. 收敛数列的性质,定理1（唯一性）若数列xn收敛，则其极限值唯一。,定理2（有界性）收敛数列必有界,4. 极限存在准则,准则1.单调有界数列必有极限。,有界是数列收敛的必要条件， 单调有界是数列收敛的充分条件。,例9. 判别数列xn的敛散性,2. 函数的极限,“X”定义可简记为：,1. 当x时函数的极限,定义1. 设有一函数 f (x)，对于绝对值无任怎样大的 x 值是有定义的，A为一常数，如果对于任意给定的正数 ，总存在一个正数 x，使得当| x | X时，恒有 | f (x) A| 成立，则称A为函数 f (x)当 x 时的极限,例1. 用“X”定义验证,几何解释,作直线 y =

3、A，y =A+ 总存在一个X 0,当 | x |X时，函数位于这两条直线之间。,在定义1中，把| x|改为 x，即得 x+时的极限,把| x|改为 - x，即得 x-时的极限,无极限举例：,2. 当 x x0 时函数的极限。,“ -”定义可简记为：,定义2. 设 f (x)在点 x0 的某个邻域内有定义（ x0 本身可除外）且A为一常数，如果对于任意给定的正数 ，总存在一个正数 ，使得当 0| x- x0| 时,|f (x)-A| , 则称A为函数 f (x)当 x x0时函数的极限.,几何解释,作直线 y =A - , y = A + 总存在一个 0, 当 0 | x x0 | 时，函数位于

4、两直线之间。,定理2 （函数极限的保号性）,左、右极限,=1?,无极限举例,在讨论分段函数的分割点的极限时，一定要考虑左、右极限。,“0”是作为无穷小的唯一的常数。,3. 无穷小和无穷大,1. 无穷小,定义：极限为零的数列和函数称为无穷小。,定理2. 设 为无穷小，u 有界，则 u 也是无穷小。,推论1. 常数乘以无穷小仍是无穷小。,推论2. 无穷小乘以无穷小仍是无穷小。,推论：有限个无穷小的和仍为无穷小。,有限个无穷小的乘积仍是无穷小。,定理1. 设 和 为无穷小，则 也是无穷小,定理3 (极限与无穷小的关系),定义：绝对值无限增大的数列或函数称为无穷大。,2. 无穷大,注意：无穷大与无界的

5、区别。,4. 极限运算法则,1. 两个重要极限,5. 两个重要极限,定理1（函数的夹逼定理）,两个无穷小的商实际反映了在变化过程中趋于零的速度快慢程度。为此引入定义,两个无穷小的代数和、积仍为无穷小，那么两个无穷小的商会是什么样呢？,2. 无穷小的比较,3. 无穷小的主部,. 等阶无穷小的代换定理,当 x 0 时，常见的等价无穷小, 6. 函数的连续性,连续的三个要素：,1. 函数的连续性,定义1设函数 f (x) 在点 x0 的某个邻域内有定义, 如果当自变量增量 x 趋于零时，对应的函数增量 y = f ( x0+ x)f ( x0 )也趋于零，那末称函数 f (x) 在 x0 处连续。,

6、f (x) 在 x0 点处有定义、有极限、极限值等于函数值。,定理1.函数 f (x) 在点 x0 处连续的充要条件是： 函数 f (x) 在点 x0 处既左连续又右连续。,左、右连续,如果 f (x) 在 (a,b) 内任意一点连续，则称 f (x) 在 (a,b) 上连续，或称 f (x) 为 (a,b) 上的连续函数。如果 f (x) 在 (a,b) 上连续，且在 x=a 右连续，在 x=b 处左连续， 则称 f (x) 在 a,b 上连续。,. 函数的间断点,间断点的常见类型,如果函数连续的三个要素中有一个不满足，那末称 f (x) 在 x0 处间断。,无穷间断点,震荡间断点,左、右极

7、限均存在的间断点,称为第一类间断点，其余的间断点,称为第二类间断点。,跳跃间断点,可去间断点,2. 连续函数的运算及初等函数的连续性,定理4. 如果函数 y = f (x) 在某个区间上严格单调增(或降) 且连续，那末它的反函数 x = (y) 在对应的区间上也严格单调增(或降) 且连续。,推论：闭区间上的连续函数是有界函数。,定理5. (最大值、最小值定理),. 闭区间连续函数的性质,结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。,闭区间上连续的函数至少取得最大值，最小值各一次。,定理 6. (介值定理),推论 2闭区间上连续函数必可取得介于最大值 最小值之间的任何值,推论 1(零值定理) 如果 f (x) 在 a,b 上连续，且 f (a)f (b)0, 那末在开区间 (a,b)