积分变换复习课-2.ppt

1、第二章 Laplace变换复习课,2011-12-26,2,1.问题的提出,Fourier变换存在的两个条件:,1. f(t)在任一有限区间上满足Dirichlet条件;,2. f(t)在无限区间(-, +)上绝对可积.,不满足Fourier变换的条件, 将不存在Fourier变换.,第二个条件太高,许多函数不满足,怎么办?,问题1.,问题2.,Fourier变换要求函数在整个数轴有定义, 但在实际问题中,时间t只在0时有意义, 定义区间不满足,怎么办?,如何克服这两个缺点,使这些函数的Fourier变换得以存在?,3,t,j(t),O,t,j(t)u(t)e-bt,O,4,设函数f(t)当t

2、 0时有定义, 而且积分,在s的某一域内收敛, 则由此积分所确定的函数可写为,记为 F(s)=L f(t) F(s)称为f(t)的Laplace变换(或称为象函数). f(t)称为F(s)的Laplace逆变换(或象原函数). 记为 f(t)=L- -1F(s) 也可记为f(t)F(s).,称此式为函数f(t)的Laplace变换式,定义,5,例1 求单位阶跃函数,根据Laplace变换的定义, 有,这个积分在Re(s)0时收敛,解:,为什么?,6,例2 求指数函数f(t)=ekt的Laplace变换(k为实数).,这个积分在Re(s)k时收敛, 而且有,注意：k为复数时上式也成立, 只是收敛

3、区间变为 Re(s)Re(k).,解:根据Laplace变换的定义,有,7,2. 当t时, f(t)的增长速度不超过某一指数函数, 即存在常数M0及c0, 使得 |f(t)|Mect, 0t(增大不超过指数级,c为增长指数),在半平面Re(s)c上一定存在, 右端的积分在Re(s)c1c 上绝对收敛而且一致收敛, 并且在Re(s)c的半平面内, F(s)为解析函数.,2.Laplace变换的存在定理,若函数f(t)满足:,1. 在t 0的任一有限区间上分段连续；,则f(t)的Laplace变换,M,Mect,f(t),t,O,9,1. 此定理的条件是充分的.,2. 定理中的条件2,即函数的增大

4、不超过指数级比 Fourier积分定理中的绝对可积要弱得多.,例如,不满足Fourier积分定理,但它们可以满足Laplace变换存在定理中的条件2.,因为,即M=1,c=0;,即M=1,c=0;,即M=1,c=1.,(t充分大时),注:,10,例3 求 f(t)=sinkt (k为实数) 的Laplace变换.,11,1. 线性性质,若a,b是常数 L f1(t)=F1(s), L f2(t)=F2(s), 则有 L af1(t)+bf2(t)=aF1(s)+bF2(s) L -1aF1(s)+bF2(s)=af1(t)+bf2(t),此线性性质根据Laplace变换的定义就可得出.,Lap

5、lace变换的性质,12,若L f(t)=F(s), 则有L f (t)=sF(s)-f(0),2.微分性质,证 根据分部积分公式和Laplace变换公式,一个函数的导数的Laplace变换等于 这个函数的Laplace变换乘以s再减去 函数的初值.,13,. L f(n)(t)=sL f(n-1)(t)-f (n-1)(0) =snF(s)-sn-1f (0)-sn-2f (0)-.-f (n-1)(0) 特别, 当初值f(0)=f (0)=.=f(n-1)(0)=0时, 有 L f (t)=sF(s), L f (t)=s2F(s), ., L f(n)(t)=snF(s),推论,若L f

6、(t)=F(s), 则 L f (t)=sL f (t)- f (0),=ssL f(t)-f(0)-f (0),此性质可以使我们有可能将f(t)的微分方程转化为F(s)的代数方程.,14,-k2L cos kt=s2L cos kt-s,例1 利用微分性质求函数f(t)=cos kt的Laplace变换.,分析:考虑函数二阶导数的特殊性.,解:,又 f(0)=1, f (0)=0,因此,移项化简得,15,若L f(t)=F(s),3. 积分性质,16,若L f(t)=F(s), 则有 L eatf(t)=F(s-a) (Re(s-a)c).,因此 L eatf(t)=F(s-a)(Re(s-

7、a)c),4.位移性质,证 根据Laplace变换式, 有,上式右方只是在F(s)中将s换为s-a,17,函数f(t)的Laplace变换, 实际上就是f(t)u(t)e-bt的Fourier变换.,已知函数f(t),它的象函数F(s)为,如何求它的象原函数 f(t)?,由Laplace变换的概念可知,即:,Laplace逆变换,18,因此, 按Fourier积分公式, 在f(t)的连续点就有,等式两边同乘以ebt, 则,19,2.而积分路线中的实部b则有一些随意, 但必须满足 的条件就是e-btf(t)u(t)的0到正无穷的积分必须收敛.,Laplace反演积分,1.右端的积分路线是沿着平行

8、于虚轴的方向从虚部的负无穷积分到虚部的正无穷.,注:,20,定理 若s1, s2, ., sn是函数F(s)的所有奇点(适当选取b使这些奇点全在Re(s)b的范围内), 且当s时, F(s)0, 则有,2.反演积分的计算,21,解:,22,解:,23,解:,24,在第一章讨论过Fourier变换的卷积的性质. 两个函数的卷积是指,如果f1(t)与f2(t)都满足条件: 当t0时, f1(t)=f2(t)=0, 则上 式可以写成,1. 卷积的概念,25,1. | f1(t) * f2(t)| f1(t)| * | f2(t)|,2.交换律: f1 (t) * f2(t) = f2(t) * f1

9、(t),卷积的性质,3. 结合律与分配律: f1(t) * f2(t) * f3(t) = f1(t) * f2(t) * f3(t) f1(t) * f2(t) + f3(t)= f1(t) * f2(t) + f1(t) * f3(t),26,假定f1(t), f2(t)满足Laplace变换存在定理中的条件, 且L f1(t)=F1(s), L f2(t)=F2(s), 则 f1(t) * f2(t)的Laplace变换一定存在, 且,2.卷积定理,两个函数卷积的Laplace变换等于这两个函数 Laplace变换的乘积.,两个函数Laplace变换乘积的逆变换等于这两个 函数的卷积.,27,例1 求方程 y+2y-3y=e-t 满足初始条件,解: 设L y(t)=Y(s).,的解.,对方程的两边取Laplace变换,并考虑到初始条件, 则得,解得,28,对每一项分别取Laplace逆变换,29,例2 求解方程组,满足初始条件,的解.,对两个方程取Laplace变换, 设L y(t)=Y(s), L x(t)