随机变量的函数及其分布-2011022422181722.ppt

1、第六章随机变量的函数及其分布,离散随机变量的函数的分布,连续型随机变量的函数的分布,问题： 已知随机变量X的分布函数，分布律或是密度 函数，求随机变量Yg(X)的分布律或是密度函数。 方法： 将与Y有关的事件转化成X的事件,若X为离散型 随机变量, 其分布律为,则随机变量X的函数 Y= g (X) 的分布律为,Y,g( x1) g( x2) g( x3) g (xn),pk,p1 p2 p3 pn,如果g( x i )与g( x j )相同，此时将两项合并，对应概率相加,一、离散随机变量的函数的分布,设随机变量X的概率分布为,例1,求以下随机变量的分布律(1) Y1=X1 (2) Y2=-2X

2、 (3) Y3=X2。,解：,由X的分布律可得下表：,X1,3,2,1,0,1,2,2X,4,2,0,2,4,6,X2,4,1,0,1,4,9,故由上表可得 (1)Y1=X1 的分布律为,(2) Y2=-2X的分布律为,(3) Y3=X2的分布律为,设 X 为一个连续型随机变量，其概率密度函数为 f (x)。 y = g(x)为一个连续函数，求随机变量Y=g(X)的概率密度函数,(1) 求Y的分布函数 FY(y),(2) 对FY(y) 求导，得到 fY(y),二、连续型随机变量的函数的分布,方法1一般方法,解：,因为，故X的密度函数为,而Y的分布函数,故当y0时，有,即,当y0时，有,所以，Y

3、的概率密度为,即Y的分布函数为,而,1，,0，其他.,故,设连续随机变量X的概率密度为,求随机变量函数Y=a+bX的概率密度，其中a及b0都是常数,例3,解,Y的分布函数为,具体实例见P75 习题3,方法2 公式法,定理,设随机变量X具有概率密度,则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为,其中h(y)是g(x)的反函数。,y=g(x)是一单调函数，且具有一阶连续导数，,证明略,证：,只对 的情形进行证明。,此时，g(x)的反函数h(y)是可导的，且,于是，,当 时，,当 时，,当 时，,故Y的密度函数为,解：,因为 ，故X的密度函数为,函数y=ex 在实数集R上单调递增，且一阶连续可导，

4、故满足定理要求，且其反函数x=h(y)=l n y，,所以，Y的密度函数为,0， 其他.,例5,解,设随机变量 ， 试证明X的线性函数Y=aX+b(a0)也服从正态分布。,由于,所以X的密度函数为,函数 y=ax+b在实数集R上可导，,下面只对a0证明结论成立。,其反函数为x=h(y)=(yb)/a,y(，+)，,则Y的密度函数为,且恒有,即,同理可证，a0时，,若X的密度函数为,则条件可减弱为“g(x)在区间（a,b）上单调且一阶连续可导”，,而,其中是h(y)的定义域,解：,因为，故X的密度函数为,函数y=x2 在区间（0,1）上单调递增，且一阶连续可导， 故满足定理要求，且其反函数,所以

5、，Y的概率密度为,0， 其他.,设某零件的内径XN(11，1)，并规定当X12零件 为不合格。又知销售利润Y与X的关系为,例7,求Y的分布律。,解,Y为离散型随机变量，所有可能取值为5,1,20，且,P(Y=5)=,=1P(X12),=1(1),=10.84=0.16,P(Y=1),=P(X10),=1(1)=0.16,P(Y=20),=P(10X12),=(1)(1),=2(1)1,=0.68,即Y的分布律为,P(X12),例8,设随机变量X在区间0，上服从均匀分布，即,概率密度,求随机变量函数YsinX的概率密度.,解,方法一：,Y的分布函数为,在定理中，条件,很强，在 许多场合往往不能满足。这个条件可以减弱为,g(x)逐段可导且严格单调，,分别在x的每个单调区间内，分别应用公式,其中、分别为y=g(x)在单调区间内的最小值和最大值。,然后再相加。,y=sinx在(0,/2)上可