线性系统的稳定性分析ppt.ppt

1、3-5 线性系统的稳定性分析,1、稳定性的基本概念 2、线性系统稳定性的充分必要条件 3、劳斯稳定判据 4、劳斯稳定判据的特殊情况 5、劳斯稳定判据的应用,1、稳定性的基本概念,（1）定义：,平衡状态稳定性：指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。,平衡状态稳定性,运动稳定性,运动稳定性: 若线性控制系统在初始扰动的作用下, 其输出随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零, 则该系统为渐近稳定, 简称稳定; 反之, 称该系统不稳定。,（2）性质：稳定性是去除扰动作用后系统本身的一种恢复能力，是系统的一种固有特性，系统的稳定与否, 仅与系统本身的结构和参数有关, 而与输入信号的形式和大

2、小无关。,运动模态小结(回顾),2、线性系统稳定的充分必要条件,n阶线性系统单位阶跃响应为,则稳定的数学条件为：,系统稳定的充分必要条件为：,所以系统稳定的充要条件是：系统所有特征根的实部小于零，即其特征方程的根都在S左半平面。,设系统特征方程为：,s6+2s5+3s4+4s3+5s2+6s+7=0,劳 斯 表,(64)/2=1,1,(10-6)/2=2,2,7,1,0,(6-14)/1= -8,-8,（1）劳斯表介绍,劳斯表特点,4 每两行个数相等,3 次对角线减主对角线,5 分母总是上一行第一个元素,7 一行可同乘以或同除以某正数,1 右移一位降两阶,2 行列式第一列不动第二列右移,3、劳

3、斯判据,（2）劳斯判据,系统稳定的必要条件:,有正有负一定不稳定!,缺项一定不稳定!,系统稳定的充分条件:,劳斯表第一列元素不变号!,若变号系统不稳定!,变号的次数为特征根在s右半平面的个数!,全0或全0,4、劳斯表出现零行,设系统特征方程为：,s4+5s3+7s2+5s+6=0,劳 斯 表,5,1,7,5,6,6,6,0,1 劳斯表何时会出现零行?,2 出现零行怎么办?,3 如何求对称的根?,s2+1=0,对左边求导得零行系数: 2s1,继续计算劳斯表,1,第一列全大于零,所以系统稳定,错啦!,这是零行,由综合除法或比较系数法可得另两个根s3,4= -2,-3,解辅助方程得对称的根:,s1,

4、2=j,5、劳斯判据的应用,（1）判别系统的稳定性及其根的分布情况。,（2）确定使系统稳定的参数取值范围（如开环增益K）。,（3）上述劳斯表第一列中数值符号改变的次数等于系统特征方程正实部根的数目。,（4）判别系统的稳定度。(相对稳定性),稳定度：为了保证系统稳定具有良好的动态特性，希望特征根在S左半平面且与虚轴有一定的距离，常称之为稳定度。,求取方法：用新变量S1=S+a代入系统特征方程，判别以S1为变量的系统的稳定性，相当于判别原系统的稳定度。,例 已知系统的特征方程，试判断该系统 的稳定性。,解：,S4+2S3+3S2+4S+5=0,劳斯表如下：,1 3 5,s1,s0,s4,s3,s2

5、,b31,b32,b41,b51,2 4,b31=,2*3,-1*4,2,=1,1,b32=,2*5,-1*0,2,= 5,5,b41=,1*4,-2*5,1,=-6,-6,b51=,-6*5,-1*0,-6,= 5,5,有两个正实部根，系统为不稳定。,例 系统如图所示，试确定系统稳定放 大倍数K的取值范围。,解：,首先求出系统的闭环传递函数,特征方程:,S3+14S2+40S+40K=0,劳斯表:,1 40,s3,s2,14 40K,s1,b31,b31=,14*40,-1*40K,14,0,s0,b41,40K,系统稳定的条件:,560-40K0,40K0,14K0,例 已知系统的特征方程

6、，试判断系 统的稳定性。,劳斯表为:,系统有一对纯虚根 系统不稳定,S3+2S2+S+2=0,解：,1 1,s3,s2,2 2,s1,b31,b31=0,(),s0,b41,2,通过因式分解验证:,S3+2S2+S+2=,(S+2)(S2+1)=0,S1=-2,S2.3=j,例 已知系统的特征方程,试用劳斯判据 确定方程的根在S平面上的分布。,解：,S3-3S+2=0,方程中的系数有负值，系统不稳定。,劳斯表为:,1 -3,s3,s2,0 2,s1,b31,b31=,-,s0,b41,2,0,b31-,通过因式分解验证:,S3-3S+2=,(S-1)2(S+2)=0,S1.2=1,S3=-2,

7、例 已知控制系统的特征方程,试判断 系统的稳定性,由为零上一行的元素组成辅 助多项式：,S6 +2S5 +8S4+12S3+20S2+16S+16=0,解：,劳斯表为:,1 8 20 16,s6,s5,2 12 16,s4,2,s3,0,16,12,P(s)=2S4+12S2+16,=8S3+24S,代入,0,8,24,s2,16,6,8/3,s1,s0,16,劳斯表中某行同乘以某正数，不影响系统稳定性的判断。,系统有虚根,不稳定,劳斯判据的应用例1(补充),已知特征方程为：s4+30s3+200s2+ks+kz=0,求产生纯虚根为j1的z值和k值。,解：,30,1,200,k,kz,6000

8、-k,30kz,（6000-k)s2+30kz=0,有纯虚根，劳斯表一定有零行,6000k-k2-900kz,6000k-k2-900kz=0,辅助方程:,零行的上两行一定成比例,30s2+k,=0,k = 30,代入左式得:,= 6.63,z =,30s2 + k =0,辅助方程可变为:,劳斯判据的应用例2 (补充),有零行不稳定！,这是不行啲！,让所有极点在s=-1之左：,这样简单吧！,特征方程为：,劳斯判据的应用例3 (补充),借助于劳斯表解高阶方程(补充),辅助方程,这是不可以的！,这也是不行的！,你说第一列 变号几次？,6、结构不稳定系统及其改进措施,（1）结构不稳定系统,定义：仅仅调整系统本身的结构参数而无法稳定的系统，称为结构不稳定系统。,造成系统结构不稳定的原因：前向通路中有两个及以上的积分环节，且前向通路传递函数中无零点。,调整系统的参数无法使其稳定，则称这类系统为结构不稳定系统。,如：,闭环传递函数：,TS3+S2+K,特征方程是式：,由于特征方程中少了S项,无论K取何值系统总是不稳定.,（2）消除结构不稳定的措施,1）改变环节的积分性质,环节的传递函数变为:,积分环节外加单位负反馈,系统结构图为:,开环传递函数变成：,系统的闭环传递函数为,特征方程式:,TS3+(1+