第四章 弯曲应力 材料力学 教学课件.ppt

1、材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,材料力学,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,第四章 弯曲应力,42 梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图,41 对称弯曲的概念及梁的计算简图,43 平面刚架和曲杆的内力图,44 梁横截面上的正应力和切应力,45 梁正应力、切应力的强度条件,46 梁的合理设计,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,41 对称弯曲的概念及梁的计算简图,一、弯曲的概念,1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。,2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,3. 工程实例,材料力学电子教案,第四章 弯

2、曲应力,工程实际中的梁，其横截面大都有一条纵向对称轴。,梁横截面的形状,梁横截面的对称轴与梁轴线垂直，并确定一个平面，这个平面就是梁的纵向对称面。,纵向对称面,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,变形后的轴线仍位于梁的纵向对称面内（变形特征），这种弯曲被称作平面弯曲。,纵向对称面,M,P1,P2,q,4.平面弯曲,作用于梁上的所有外力垂直于梁的轴线并位于梁的纵向对称面内(外力特征),材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,对称弯曲（如下图） 平面弯曲的特例。,非对称弯曲 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在对称面内，这种 弯曲则统称为非对称弯曲。 下面几章中，将以对称弯曲为

3、主，讨论梁的应力和变形计算。,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,二、梁的计算简图,梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。,1. 构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。,2. 载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型： 集中力、集中力偶和分布载荷。,3. 支座简化,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,固定铰支座 2个约束，1个自由度。 如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。,可动铰支座 1个约束，2个自由度。 如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,固定端 3个约束，0个自由度。 如：游泳池

4、的跳水板支座，木桩下端的支座等。,4. 梁的三种基本形式,简支梁,悬臂梁,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,外伸梁,5. 静定梁与超静定梁,静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。 超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,42 梁的剪力和弯矩,一、弯曲内力：,例已知：如图，P，a，l。 求：距A端x处截面上内力。,l,A,A,B,B,解：求外力,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,求内力截面法,A,Q,M,M,Q, 弯曲构件内力,1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。,C,C,材料力

5、学电子教案,第四章 弯曲应力,2. 剪力：Q 构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。,3.内力的正负规定:,剪力Q: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。,弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。,Q(+),Q(),Q(),Q(+),M(+),M(+),M(),M(),材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,例：求图示梁中间截面上的内力。,解：先求支座反力。,取外伸梁的左半部分为研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程求内力。,FA,FA,FB,FS,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,例：求图（a）所示梁1-1、2-2截面处的内力。,解：截面法求内力。 1-1截面处截取的

6、分离体 如图（b）示。,图（a）,Q1,A,M1,图（b）,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,2-2截面处截取的分离体如图（c）,图（a）,Q2,B,M2,图（c）,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,三、剪力方程、弯矩方程及剪力图、弯矩图,1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。,2. 剪力图和弯矩图：,工程力学电子教案,第十章 弯曲内力,例 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。,解：求支反力,写出内力方程,P,YO,L,Q(x),M(x),x,x,P,PL,工程力学电子教案,第十章 弯曲内力,解：写出内力方程,根据方程画内力图,L,Q(x),x, qL,q,工程力学电子

7、教案,第十章 弯曲内力,解：求支反力,内力方程,q0,RA,根据方程画内力图,RB,x,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,四、剪力、弯矩与分布荷载集度间的微分关系及其应用,1、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系,对dx 段进行平衡分析，有：,q(x),q(x),M(x)+d M(x),Q(x)+d Q(x),Q(x),M(x),dx,A,y,剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,q(x),M(x)+d M(x),Q(x)+d Q(x),Q(x),M(x),dx,A,y,弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。,弯矩与荷载集度的关系是：,材料

8、力学电子教案,第四章 弯曲应力,2、剪力、弯矩与外力间的关系,外力,无外力段,均布载荷段,集中力,集中力偶,Q图特征,M图特征,水平直线,斜直线,自左向右突变,无变化,斜直线,曲线,自左向右折角,自左向右突变,与m反,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,简易作图法: 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作 图的方法。,例 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。,解: 利用内力和外力的关系及 特殊点的内力值来作图。,特殊点: 端点、分区点（外力变化点）和 驻点等。,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,左端点：,分区点A：,M 的驻点：,右端点：,Q,x,x,M,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力

9、,例 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。,解：求支反力,左端点A：,B点左：,B点右：,C点左：,M 的驻点：,C点右：,右端点D：,q,qa2,qa,RA,RD,Q,x,qa/2,qa/2,qa/2,A,B,C,D,qa2/2,x,M,qa2/2,qa2/2,3qa2/8,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,五、叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。,适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满 足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。,材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理 叠加方法,步骤： 分别作出各项荷载单独作用下梁的弯

10、矩图； 将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,例6按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力P作用在梁AB的中点处）。,q,P,P,=,+,A,A,A,B,B,B,=,+,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,例 改内力图之错。,a,2a,a,q,qa2,A,B,Q,x,x,M,qa/4,qa/4,3qa/4,7qa/4,qa2/4,49qa2/32,3qa2/2,5qa2/4,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,3、对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷作用下，Q 图反对称，M 图对称；对称结构在反对称载荷作用下，Q 图对称，M 图反对称。,

11、材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,例 作下列图示梁的内力图。,P,PL,PL,0.5P,0.5P,0.5P,0.5P,P,0,0.5P,0.5P,0.5P,P,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,P,PL,PL,0.5P,0.5P,0.5P,0.5P,P,0,M,x,M1,x,M2,x,0.5PL,PL,0.5PL,0.5PL,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,例 已知Q图，求外载及M图（梁上无集中力偶）。,Q(kN),x,1m,1m,2m,2,3,1,5kN,1kN,q=2kN/m,x,1,1,1.25,M(kNm),材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,43 平面刚架和曲杆的内力图,一、

12、平面刚架,1. 平面刚架：同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相 互刚性连接而组成的结构。 特点：刚架各杆的内力有：Q、M、N。,2. 内力图规定： 弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。 剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,例 试作图示刚架的内力图。,P1,P2,a,l,A,B,C,N 图,Q 图,M 图,P1a+ P2 l,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,曲杆：轴线为曲线的杆件。 内力情况及绘制方法与平面刚架相同。,例 已知：如图所示，P及R 。试绘制Q、M、N 图。,P,A,B,材料力学电子教

13、案,第四章 弯曲应力,P,A,B,M图,Q图,N图,2PR,P,P,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,44 梁横截面上的正应力和切应力,一、弯曲构件横截面上的（内力）应力,二、研究方法,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。,P,P,a,a,A,B,x,纯弯曲(Pure Bending):,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,1）梁的纯弯曲实验,横向线(ab、cd）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。,（一）变形几何规律：,1、 纯弯曲时梁横截面上的正应力,三、纯弯曲时梁横截面上的正

14、应力,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,横截面上只有正应力。,平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。,（可由对称性及无限分割法证明）,3）推论,2）两个概念,中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,4） 几何方程：,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,（二）物理关系：,假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应 力状态。,（三）静力学关系：,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,对称面, (3),Iz ：为横截面对中心轴 的惯性矩,

15、材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,（四）最大正应力：, (5),材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,几种常见简单截面图形的惯性矩及抗弯截面系数,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,例 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求： （1）11截面上1、2两点的正应力； （2）此截面上的最大正应力； （3）全梁的最大正应力； （4）已知E=200GPa，求11截面的曲率半径。,解：画M图求截面弯矩,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,求应力,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,求曲率半径,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,一、 矩形截面梁横截面上的剪应力,1、两点假设： 剪应力与剪力平行；矩中性轴等

16、距离处，剪应力 相等。,2、研究方法：分离体平衡。 在梁上取微段如图b； 在微段上取一块如图c，平衡,Q(x)+d Q(x),M(x),y,M(x)+d M(x),Q(x),dx,图a,图b,图c,四、梁横截面上的切应力,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,Q(x)+d Q(x),M(x),y,M(x)+d M(x),Q(x),dx,图a,图b,图c,由剪应力互等,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,t方向：与横截面上剪力方向相同； t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。 最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。,二、其它截面梁横截面上的剪应力,1、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式

17、亦为：,其中Q为截面剪力；Sz 为y点以下的面积对中性轴之静矩；,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,2、几种常见截面的最大弯曲剪应力,Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b 为y点处截面宽度。,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,槽钢：,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,4-5 梁的正应力和切应力强度条件,1、危险面与危险点分析：,一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。,一、梁的正应力和切应力强度条件,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,2、正应力和剪应力强度条件：,带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上述相同；还

18、有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交处。（以后讲）,3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,4、需要校核剪应力的几种特殊情况：,铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力。,梁的跨度较短，M 较小，而Q较大时，要校核剪应力。,各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。,、校核强度：,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,解：画内力图求危面内力,例 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，=7MPa，=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。,A,B,L=

19、3m,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,求最大应力并校核强度,应力之比,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,解：画弯矩图并求危面内力,例 T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的L=30MPa，y=60 MPa，其截面形心位于C点，y1=52mm， y2=88mm，Iz=763cm4，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？,画危面应力分布图，找危险点,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,校核强度,T字头在上面合理。,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,46 梁的合理截面,（一）矩形木梁的合理高宽比,北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1

20、.5,英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 为,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,强度：正应力：,剪应力：,1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面,其它材料与其它截面形状梁的合理截面,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,工字形截面与框形截面类似。,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：,2、根据材料特性选择截面形状,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,（二）采用变截面梁 ，如下图：,最好是等强度梁，即,若为等强度矩形截面，则高为,同时,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,一、内力的直接求法： 求任意截面 A上的内力时，以 A 点左侧部分为研究对象，内力计算式如下，其中Pi 、 Pj 均为 A 点左侧的所有向上和向下的外力。,剪力图和弯矩图,弯曲内力习题课,材料力学电子教案,第四章 弯曲应力,剪力、弯矩与分布荷载间的