4.1.1 圆的标准方程8.23.ppt

1、4.1.1 圆的标准方程,4.1 圆的方程,第四章 圆与方程,赵州桥，建于隋炀帝大业年间（595-605年），至今已有1400年的历史，出自著名匠师李春之手，是今天世界上最古老的单肩石拱桥,是世界造桥史上的一个创造。,我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？,复习引入,问题,当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了 因此一个圆最基本要素是圆心和半径,引入新课,如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用坐标 (a,b) 表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b) 的距离,符合上述条件的圆的集

2、合是什么？你能用描述法来表示这个集合吗？,符合上述条件的圆的集合：,圆的方程,问题,圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距离能用什么公式表示？,根据两点间距离公式：,则点M、A间的距离为：,即：,是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？,圆的标准方程,点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这就说明点 M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上,问题,把这个方程称为圆心为A(a, b)，半径长为r 的圆的方程，把它叫做圆的标准方程.,即 (x-a) 2 + (y-b)

3、 2 = r2,称为圆心为A(a,b),半径长为r的圆的标准方程,问题:圆的标准方程有什么特征?,（1）有两个变量x,y，形式都是与某个实数差的平方；,（2）两个变量的系数都是1,（3）方程的右边是某个实数的平方，也就是一定为正数。,特殊位置的圆方程,因为圆心是原点O(0, 0)，将x0，y0和半径 r 带入圆的标准方程：,问题,圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？,得：,整理得：,例1 写出圆心为 ，半径长等于5的圆的方程，并判断点 ， 是否在这个圆上,解：圆心是 ，半径长等于5的圆的标准方程是：,把 的坐标代入方程 左右两边相等，点 的坐标适合圆的方程，所以点 在这个圆上；,典型

4、例题,把点 的坐标代入此方程，左右两边不相等，点 的坐标不适合圆的方程，所以点 不在这个圆上,怎样判断点 在圆 内呢？还是在圆外呢？,点与圆的位置关系,探究,从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标带入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上,怎样判断点 在圆 内呢？还是在圆外呢？,探究,可以看到：点在圆外点到圆心的距离大于半径 r ；,点在圆内点到圆心的距离小于半径 r ,例2 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,3)，C(2, 8)，求它的外接圆的方程,分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆,解法一：

5、设所求圆的方程是 （1）,因为A(5,1), B(7,3)，C(2, 8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）于是,所以， 的外接圆的方程 ,解此方程组，得：,分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆,解：,例2 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,3)，C(2, 8)，求它的外接圆的方程,待定系数法,解法二：,因为A(5,1)和B(7,-3)，所以线段AB的中点的坐标为(6,-1)，直线 AB的斜率,因此线段AB的垂直平分线 l1 的方程是：,即：,所以，圆心为C的圆的标准方程是：,因为B(7,-3)和C(2,-8) ，所以线段BC的中点的坐标为(4.

6、5,-5.5)，直线BC的斜率,因此线段BC的垂直平分线 l2 的方程是：,即：,ABC的外接圆的圆心O的坐 标是方程组 的解,解得：,即 O(2,-3),圆O的半径长：,练习:,解:,解方程组:,例3 .已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, 2)，且圆心C在直线上l：x y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程,解：因为A(1, 1)和B(2, 2)，所以线段AB的中点D的坐标,直线AB的斜率:,典型例题,因此线段AB的垂直平分线 的方程是,即,例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, 2)，且圆心C在直线上l：x y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程,解：,所以圆心C的坐

7、标是,圆心为C的圆的半径长,所以，圆心为C的圆的标准方程是,解此方程组，得,练习:求圆心在（-1, 2），与y轴相切的圆的方程,所求圆的方程为:(x+1)2+(y-2)2=1,解:,练习:求圆心在直线y=x上,同时和两坐标轴相切,半径为2的圆的方程.,解:,(x-2)2+(y-2)2=4 (x+2)2+(y+2)2=4,依题意得所求圆的方程为,(1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 圆心在原点时 ，圆的标准方程为 x2 + y2 = r2 (2) 如何求圆的标准方程? 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数，因此必须具备三个独立的条件才