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1、经济数学,第四章 不定积分,4.1 不定积分的概念与性质,4.2不定积分的性质,4.3不定积分的换元积分法,4.4不定积分的分部积分法,4.1 不定积分的概念 4.1.1原函数 已知某商品总收入的变化率为 ，求总收入函数 这是与求导数相反的问题,定义4.1 设 是定义在某区间的已知函数，若存在 ，使得 则称 为 的一个原函数,因为 ，所以 是 的一个原函数，但 ，所以 的原函数不是唯一的,说明： 1原函数的存在问题：如果 在某区间连续，那么它的原函数一定存在（将在下一章证明）. 2若 存在原函数，则原函数不是唯一。,定理4.1 若 是 的一个原函数，则 是 的所有原函数，其中 为任意常数,证

2、:由于 又 所以 函数族 中的每一个都是 的原函数,二、不定积分 定义4.2 函数 的全体原函数叫做 的不定积分,记为 其中 “ ”叫做积分号， 叫做被积函数， 叫做积分变量， 叫做被积表达式 由定理4.1知，若 是 的一个原函数,则 其中任意常数 称为积分常数,例1 求不定积分 解 例2 求不定积分 解 时， ，又 时， ,函数f (x)的原函数图形称为f (x)的积分曲线,不定积分表示的不是一个原函数,而是无穷多个(全部)原函数,通常说成一族函数,反映在几何上则是一族曲线,这族曲线称为f (x)的积分曲线族.,4.1.4.不定积分的几何意义,在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为k,因此

3、,在每一条积分曲线上,以x为横坐标的点处的切线彼此平行（如图）.f (x)为积分曲线在(x, f (x)处的切线斜率.,因此所求曲线的方程为,解 设所求的曲线方程为 ,依题意可知,把（2，3）代入上述方程，得 C=1,4.2.1 不定积分的性质,性质1 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分 号的前面.,性质2可以推广到有限多个函数的情形，即,性质2 两个函数的和(或差)的不定积分等于各函数 不定积分的和(或差)，即,4.2.2不定积分的基本积分公式,例1 计算下列积分,解,例2 计算下列积分,解 (1),(2),4.3.1 第一类换元法,例,原因在于被积函数cos 2x与公式 中的被积函数不

4、一样.如果令u=2x，则cos2x=cos u，d u=2dx，从而,所以有,4.3 换元积分法,综合上述分析，此题的正确解法如下：,解,于是类似于例1，可作如下变换与计算：,例2 求不定积分 ,分析 注意到被积式中含有 项，而余下的部分恰有微分关系：,同样可验证计算结果是正确的,一般，我们有如下的换元积分法:,定理4.1 若 是 的一个原函数，则,证明: 令 ，根据复合函数的微分法，得 因此，由不定积分的定义就得到了定理中的公式,利用第一换元积分法（也叫凑微分法）计算积分的一般程序为：,解 被积函数中的一个因子为 余下的因子 恰好是中间变量 的导数，于是有,例3 求不定积分 ,例4 求,解,

5、例5 求,类似地，有,解,例6 求不定积分,解 设 ，则 于是,说明：在对变量代换发方法熟悉后，可略去中间的换元步骤，直接凑微分后积分即可,例7 求不定积分,解,解,例9 求不定积分,解,一些常用的微分式：,第一换元积分法是选择新的积分变量 ，但对有些被积函数则需要作相反方式的换元，即令 ，把作为新的积分变量，才能积出来即,这种方法叫做第二换元积分法,4.3.2第二换元积分法,使用第二换元积分法的关键是恰当地选择变换 对于 ，要求其单调、可导，且其反函数 存在,例1 求不定积分,则 代入后，得,可以看出：若被积函数中含有一个被开方式为一次式的根式 时，令 ，可以消去根式，从而求得积分 若被积函

6、数含有被开方式为二次式的根式时，可使用三角代换消去根式,一般地，当被积函数含有 （1） ，可作代换 ； （2） ，可作代换 ； （3） ，可作代换 ,例2 求不定积分,令 于是,解,由 得 及,所以,例3 求不定积分,解 令 则 ,由 得 ，,于是,故,补充的积分公式：,证明: 由公式,4.4 分部积分法,分部积分公式也可写成:,得,对上式两边积分,并应用不定积分的性质3及性质2,即得分部积分公式,(1)要从 中容易求得 ； (2) 要比 容易积出,例 求不定积分,例2 求不定积分,解:,例3 求不定积分,解 :,解:,例4 求不定积分,解 :,注意: 该例表明，有时要多次使用分部积分法，才能

7、求出积分结果,将再次出现的 移到左端，并合并后除,例5 求不定积分,解 :,以2,得所求积分为,例5的求解，用两次分部积分后出现了“循环现象”，这时所求积分可用解方程的方法求得,总结：下述几种类型的积分，均可用分部积分法求解，且 、 的设法有规律可循 （1） （其中 、 为常数，且 为自然数),可设 （2）,( 为自然数)可设 ；,解：令 ，则 因此,例6 求不定积分,4.5微分方程初步,常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程,定义二 在微分方程中，所出现的未知函数的最高阶,一阶微分方程的一般形式是,二阶微分方程的一般形式是,注：在微分方程中，未知函数及自变量可以不出现,例：,我们在学习不定积分时就已经知道，一个导数的原函数有无穷多个，因此一个微分方程也有无穷多个解,4.5.2 可分离变量的微分方程,即上述方程可以表为,（4.5.3）,可验证，此结果即用隐式给出的方程（4.5.3）的通解,例1 求微分方程,解 移项、积分,得,解 分离变量，得,两边积分，得通解,两端积分，得,即,故所求特解为,4.5.3 一阶线性微分方程,特征,（4.5.3）式称为一阶线性非齐次方程,下面介绍利用参数变易法求方程（4.5.4）的通解,（4.5.4）是变量可分离的方