2_误差基础知识.ppt

1、二、误差基础知识,内容提要： 误差的来源及其分类 误差的度量 误差的传播,September 5, 2020,2,误差来源及其分类,模型误差（描述误差）,观测误差,在数值分析中不研究这两类误差，总是假定数学模型是合理正确的反映了客观实际问题。,September 5, 2020,3,误差来源及其分类(续1),截断误差（方法误差） 数值方法准确解与模型的分析解之间的差异。 它是由于算法必须在有限步内执行结束而导致的，它需要将无穷过程截断为有限过程。（时间的有限性）,September 5, 2020,4,误差来源及其分类(续2),舍入误差 算法实现过程中，计算机对数采用有限字长表示，因而仅能区分

2、有限信息，准确表示某些数，不能准确表示所有 实数，这样在计算机中表示的原始输入数据、中间过程数据、以及最终计算结果必然产生误差，称此类误差为舍入误差。（空间的有限性） 如用计算机计算e的近似值en时，实际上得不到en的精确值，只能得到en的近似e*,舍入误差 截断误差,September 5, 2020,5,2. 误差的度量,1）绝对误差 Next 绝对误差限能刻划对同一真值不同近似的好坏，但不能刻划对不同真值近似程度的好坏 。 2）相对误差 Next 3）有效数字 Next 4）度量间的关系 Next,September 5, 2020,6,1）绝对误差,绝对误差定义： 近似值-真值,强、弱

3、近似：,September 5, 2020,7,绝对误差限,Return,September 5, 2020,8,2）相对误差,September 5, 2020,9,相对误差的另一计算公式,September 5, 2020,10,相对误差限,Return,September 5, 2020,11,3）有效数字,September 5, 2020,12,有效数、举例,有效数：当x* 准确到末位，即n=p，则称x*为有效数 举例：x=, x1*=3.141, x2*=3.142,3位有效数字，非有效数,4位有效数字，有效数,September 5, 2020,13,一些说明,注1: 有效数的误

4、差限是末位数单位的一半，可见有效数本身就体现了误差界。 注2: 对真值进行四舍五入得到有效数。 注3: 从实验仪器所读的近似数（最后一位是估计位）不是有效数，估计最后一位是为了确保对最后一位进行四舍五入得到有效数。 例 从最小刻度为厘米的标尺读得的数据123.4cm是为了得到有效数123.cm,读得数据156.7cm是为了得到有效数157.cm。,Return,September 5, 2020,14,4）误差度量间的联系,绝对误差与相对误差：e(x*)/x*=er(x*) 绝对误差与有效数字：|e(x*)|= 相对误差与有效数字,定理证明,例1,解：,Return,September 5,

5、2020,17,3. 初值误差传播,概念：近似数参加运算后所得值一般也是近似值，含有误差，将这一现象称为误差传播 。 误差传播的表现： 算法本身可能有截断误差； 初始数据在计算机内的浮点表示一般有舍入误差； 每次运算一般又会产生新的舍入误差，并传播以前各步已经引入的误差； 误差有正有负，误差积累的过程一般包含有误差增长和误差相消的过程，并非简单的单调增长； 运算次数非常之，不可能人为地跟踪每一步运算。,September 5, 2020,18,初值误差传播（续）,初值误差传播：假设每一步都是准确计算，即不考虑截断误差和数据表示引入的舍入误差，仅研究初始数据的误差传播规律。 研究方法： 泰勒（T

6、aylor）方法 复习公式 n元函数 二元函数（算术运算） 一元函数（计算函数值的条件数） 区间分析法,September 5, 2020,19,1）泰勒公式分析初值误差传播,Taylor formula,September 5, 2020,20,泰勒方法（n元函数）,相对误差,绝对误差限和相对误差限传播关系：,September 5, 2020,21,二元函数算术运算误差传播规律,绝对误差限,相对误差限,注: 对于具体的一组数据，上面给出的误差限传播公式是实际误差的一个粗糙偏大的估计. 如对于加法运算的估计，它包括了误差源同号且同时均达到了误差限这一最坏的情况，实际情况往往并非这么坏.,September 5, 2020,22,一元函数误差传播规律,绝对误差传播分析 关系式推导,讨论：当|f(x)|1时，函数值扰动比自变量微小变化还要小；而当|f(x)|很大时，自变量的微小变化，将引起函数值较大扰动，此时称点x是函数在绝对误差意义下的坏函数值点。 定义绝对误差意义下的条件数：,条件数与误差传播的关系：,September 5, 2020,23,一元函数相对误差,相对误差传播分析 关系式推导,相对误差意义下的条件数：,条件数与误差传播的关系：,结论：条件数是函数自身在一点处固有的