流体静力学.ppt

1、2020/9/12,1,第二章 流体静力学 2.1 流体静压强及其特性 2.2 流体平衡微分方程 2.3 流体静力学基本方程 2.4 静止液体作用于壁面的总压力 2.5 液体的相对平衡,2020/9/12,2,2.1 流体静压强及其特性 流体静力学的主要任务： 根据诸作用力的平衡关系研究流体处于静止或相对静止时的力学规律及其在工程技术上的应用。 一.流体静压强的概念 静止流体作用在与之接触的表面上的压强。 二.流体静压强的两个重要特性 1、流体静压强的方向沿作用面的内法线方向。 2、静止流体中任一点处的静压强大小与其作用面的方位无关。,2020/9/12,3,2.2 流体平衡微分方程 在静止流

2、体中任取一微元六面体，其边长分别为dx，dy，dz，坐标的选取如下图。 分析x方向的受力平衡情况：作用于微元体上的质量力在x方向的投影为 ，设六面体形心处的静压强为p，则作用在左面ABCD上的总压力为 作用在右面EFGH上的总压力为,2020/9/12,4,因此作用在该微元体x方向的表面力为： 建立x方向受力平衡关系式 上式除以微元体质量 ，得： 同理从y、z方向建立受力平衡关系式有： （1）,2020/9/12,5,上式即为静止流体平衡微分方程，也称欧拉平衡微分方程。 将（1）中三个方程交叉求导得：（不可压缩均质流体 ） （2） （2）式表明存在势函数W（x、y、z）满足：,2020/9/1

3、2,6,将（1）式中三个方程分别乘以dx、dy、dz再相加得： 所以： （3） 这就是流体平衡压强分布规律的基本微分关系式。由（3）式可以看出静止流体的一些特性： 等压面也是等势面。 等压面与质量力正交。,2020/9/12,7,2.3 流体静力学基本方程 一、质量力只有重力时静力学基本方程 在实际应用中，作用在平衡流体上的质量力常常只有重力，以下就讨论重力场中静止流体的压强分布规律。 对静止流体，因： 由（3）式有 时，将上式积分得： （4） 对于静止流体中任意两点，有 （5） （4）（5）两式均为不可压缩流体静力学基本方程。,2020/9/12,8,其中 和 均具有长度量纲， 表示某点所在

4、的位置距基准面的垂直高度称为位置水头， 称为压力水头， 称为测压管水头。由静力学基本方程 可以看出静止流体中各点位置水头和压力水头可以相互转换，但各点测压管水头相等并为一水平线，如图1、2两点的测压管液位在同一位置高度。,2020/9/12,9,二、绝对压强、相对压强、真空值 绝对压强 ：以绝对真空状态的压强为零点计量的压强值。 相对压强 ：以当地大气压作为零点计量的压强值。 真空值 ：以当地大气压作为零点计量的小于大气压的数值。 从上面定义可知：绝对压强的数值只可能为正，而相对压强的数值则可正可负。如右 图，三者的关系可表达为：,2020/9/12,10,2.4 静止流体作用于壁面的总压力

5、在设计各种阀、挡水闸、堤坝、容器和校核管道强度时，会遇到静止流体对固体壁面的总压力计算问题，包括平面壁和曲面壁的总压力计算。 一、作用于平面壁上的总压力 1、确定总压力的方向： 由流体静压强特性知：总压力方向垂直指向受压面。 2、确定平面壁上所受的总压力大小： 如图，一块任意形状的平板ab斜放在液体中某一位置，首先选取直角坐标系oxy，沿ab取为oy轴，oxy平面与水面的交线取为ox轴。为方便起见，将oxy坐标平面连,2020/9/12,11,同平板绕坐标原点o旋转90如下图所示。平板面积为A，形心为C，作用点为D（常称压力中心），平板斜置的倾角为，左侧受水压力，C点液下深度为hc， D点液下

6、深度为hD。在平板上任取一微元面积dA，dA中心在水下的深度为h，,2020/9/12,12,上述水深与坐标平面的坐标值间有如下关系： 设dA上承受的压力为p，则此微元面积上的总压力为 因平板上各点的水压力属平行力系，可以直接积分。 其中 是面积A对x轴的静面矩，应等于 所以上式为： （6）,2020/9/12,13,（6）式即为作用于平面壁上总压力大小计算公式。总压力大小等于平板形心处压强PC与平面壁受压面积A的乘积。 3、确定总压力的作用点： 假设受压面是轴对称面（此轴与oy轴平行），则总压力的作用点必位于此对称轴上。所以，这里只需确定yD的值即可确定总压力的作用点。 由理论力学中的合力矩

7、定理，有： 其中 为受压面积对ox轴的惯性矩，用 表示。 根据惯性矩平行移轴定理有：,2020/9/12,14,其中 为该受压面对通过它的形心并与x轴平行的轴的惯性矩。于是有 即： （7） 因 ，故 ，即压力中心D点一般在形心C点的下面。 在工程实际中，受压面多为以y轴为对称轴的轴对称面，yD算出后，压力中心D的位置就完全确定。若受压面不是轴对称面，则确定yD后尙需确定xD，可类似上述yD的推导来推出xD。,2020/9/12,15,例题：如图，涵洞进口装有一圆形平板闸门，闸门平面与水平面成60，铰接于B点并可绕B点转动，门的直径d=1m，门的中心位于上游水面下4m，门重G=980N。当门后无

8、水时，求从A处将门吊起所需的力T。 解：闸门所受水的总压力 P=hcAx=9.840.50.5sin60=26.66kN,2020/9/12,16,压力中心D到B的距离 B到T的垂直距离 B到G的垂直距离 根据理论力学平衡理论,2020/9/12,17,二.作用在曲面壁上的力 工程中承受流体压力作用的曲面常为二向曲面。因此，现以二向曲面为例求其总压力。如图，ab为承受液体压力的圆柱曲面即二向曲面，其面积为A。自由液面通大气，即自由液面相对压强为零。在曲面ab上任取一微元面积dA，它的液下水深为h，液体作用在微元面积,2020/9/12,18,dA上的总压力为dP。 由于曲面壁上不同微元面积上的

9、作用力的方向不同，因此求总压力时不能直接在曲面壁上积分。常将dP进行分解，再积分。将dP分解为水平和垂直的两个分量dPx、dPz，然后分别在整个面积A上求积分，得Px、Pz。 一、总压力的水平分力Px 式中：Ax为面积A在yoz平面的投影， 为面积Ax对oy轴的静面矩，所以 则 （8）,2020/9/12,19,（8）式即为流体作用在曲面壁上的总压力水平分力公式。此式说明水平分力等于液体作用在曲面投影面积Ax上的总压力。 二、总压力的垂直分力Pz 式中Az为面积A在自由液面xoy平面或其延伸面上的投影面积。 为以曲面ab为底，投影面积Az为顶以及曲面周边各点向上投影的所有垂直母线所包围的一个空

10、间体积称为压力体积，以V表示。 则 （9）,2020/9/12,20,上式说明作用在曲面上总压力的垂直分力等于压力体的液重，它的作用线通过压力体的重心。如果压力体与受压面同侧称为实压力体，垂直分力向下，如下图a所示。如果压力体与受压面异侧称为虚压力体，垂直分力向上，如下图b所示。 流体作用在曲面上的总压力 是水平分力与垂直分力的合力。 大小为： 总压力与x轴之间夹角的正切为：,2020/9/12,21,例题：如图为一溢流坝上的弧形闸门。已知：R=8m，门宽b=4m，=30，试求：作用在该弧形闸门上的静水总压力。,解：闸门所受的水平分力为Px，方向向右 即：,2020/9/12,22,闸门所受的

11、垂直分力为Pz，方向向上 闸门所受水的总压力 总压力的方向,2020/9/12,23,2.5 液体的相对平衡 下面以流体平衡微分方程式为基础，讨论质量力除重力外，还有牵连惯性力同时作用的液体平衡规律。在这种情况下，液体相对于地球虽然是运动的，但液体质点之间、质点与器壁之间都没有相对运动，所以这种运动称为相对平衡。现讨论以下两种相对平衡。 一、直线等加速器皿中液体的相对平衡 如后图，盛有液体的容器在与水平面成角的斜面由上向下作匀加速直线运动，加速度为a。当为零时，显然液面为水平面。设加速度为a时液面与水平面成角倾斜。设定xoz坐标，坐标原点取在自由液面的,2020/9/12,24,中点。相对于此

12、运动坐标系来说，单位质量液体所受的质量力有两个：一是垂直向下的单位质量重力 ，另一是与加速度反向的单位质量惯性力 。单位质量力的三个坐标方向上的分量 由等压面方程,2020/9/12,25,有 将上式积分可得匀加速直线运动时的等压面方程 这是一族平行平面，它们对水平面的倾角 显然，自由表面还是等压面，自由表面上的z坐标用zs表示，按自由表面的边界条件x=0，z=0，定出积分常数c=0，故自由表面方程应是,2020/9/12,26,或 直线匀加速的相对平衡液体的压强分布规律依然可由等压面微分方程 积分得出 积分常数可由边界条件x=0，z=0处p=p0得出 于是 为计压点在倾斜自由液面下的淹没深度

13、。,2020/9/12,27,例题：容器内盛有液体垂直向下作a4.9035m/s2的加速运动，试求此时的自由表面方程和液体的压强分布规律。 解：自由表面方程由 得出 现 ，说明自由表面依然是水平面。压强分布规律则由 可得出，现由于 ，并在本情况中 ，故,2020/9/12,28,二、等角速旋转器皿中液体的相对平衡 如图，盛有液体的直立圆柱筒绕其中心轴以等角速度旋转，由于液体的粘性，使筒内液体都以等角速度旋转，此时液体的自由表面已由平面变为旋转抛物面。下面推导这种以等角速度旋转的相对平衡情况的等压面方程和压强分布规律。 取与筒一起等角速旋转的运动 坐标系，z轴垂直向上，坐标原点 取在新自由表面旋转抛物面的顶点 上。此时流体所受的质量力亦是两 个：一是重力，铅垂向下；另一是 离心惯性力，与r轴方向一致。,2020/9/12,29,单位质量力在直角坐标轴上的三