第七章 应力和应变分析 强度理论

1、Chapter7 Analysis of Stress and Strain Failure Criteria,第七章 应力和应变分析 强度理论,.,7-1 应力状态概述,一、应力状态的概念,请看下面几段动画,1.低碳钢和铸铁的拉伸实验,2.低碳钢和铸铁的扭转实验,.,低碳钢,?,塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？,铸铁,低碳钢和铸铁的拉伸,.,?,为什么脆性材料扭转时沿45螺旋面断开？,低碳钢和铸铁的扭转,低碳钢,铸铁,.,（1）拉中有剪,剪中有拉; （2）不仅横截面上存在应力,斜截面上也存在应力; （3）同一面上不同点的应力各不相同; （4） 同一点不同方向面上的应力也是各不相同.,3.重

2、要结论,哪一点？哪个方向面？,哪一个面上？哪一点？,4.一点的应力状态,过一点不同方向面上应力的情况,称之为这一点的应力状态, 亦指该点的应力全貌.,.,二、应力状态的研究方法,1. 单元体,（2）任意一对平行平面上的应力相等,2. 单元体特征,3.主单元体 各侧面上切应力均为零的单元体,（1）单元体的尺寸无限小,每个面上应力均匀分布,.,4.主平面 切应力为零的截面,5.主应力 主平面上的正应力,说明:一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为1 ,2 , 3 且规定按代数值大小的顺序来排列, 即,.,三、应力状态的分类,1.空间应力状态 三

3、个主应力1 ,2 ,3 均不等于零,2.平面应力状态 三个主应力1 ,2 ,3 中有两个不等于零,3.单向应力状态 三个主应力 1 ,2 ,3 中只有一个不等于零,.,例题 1 画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.,.,S平面,.,例题 2 画出如图所示梁危险截面危险点的应力状态单元体,.,y,x,z,.,例题3 分析薄壁圆筒受内压时的应力状态,薄壁圆筒的横截面面积,（1）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F,.,（2）假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象,.,平面应力状态的普遍形式如图所示 .单元体上有x ,xy 和 y , yx,7-2 平面应力状态分析-解析法,角标的意义；

4、应力正负号的规定。,切应力对单元体内任一点取矩,顺时针转为正,.,一、斜截面上的应力,1.截面法 假想地沿斜截面 e-f 将单元体截开,留下左边部分的单体元 eaf 作为研究对象,.,（1）由x轴转到外法线n,逆时针转向时为正,（2）正应力仍规定拉应力为正,（3）切应力对单元体内任一点取矩,顺时针转为正,2.符号的确定,t,.,设斜截面的面积为dA , a-e的面积为dAcos, a-f 的面积为dAsin,3.任意斜截面上的应力,对研究对象列 n和 t 方向的平衡方程得,t,.,化简以上两个平衡方程最后得,不难看出,即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数,.,二、最大正应力及方位,1.最大

5、正应力的方位,令,0 和 0+90确定两个互相垂直的平面,一个是最大正应力所在的平面,另一个是最小正应力所在的平面.,.,2.最大正应力,将 0和 0+90代入公式,得到max和min (主应力）,下面还必须进一步判断最大sigma的方位：,.,当x y 时, 绝对值较小的那个角度是最大应力的平面。,具体规则如下：,.,二、最大切应力及方位,1.最大切应力的方位,令,1 和 1+90确定两个互相垂直的平面,一个是最大切应力所在的平面,另一个是最小切应力所在的平面.,.,2.最大切应力,将1和 1+90代入公式,得到max和min,可见,.,例题4 简支梁如图所示.已知 m-m 截面上A点的弯曲

6、正应力和切应力分别为 =-70MPa, =50MPa.确定A点的主应力及主平面的方位.,解：,把从A点处截取的单元体放大如图,.,因为 x y ，所以 0= 27.5与min对应,.,例题5 图示单元体,已知 x =-40MPa,y =60MPa,xy=-50MPa.试求e-f截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位.,解:（1）求 e-f 截面上的应力,.,（2） 求主应力和主单元体的方位,因为x y,所以0= -22.5与min对应,.,解: （1）求主平面方位,因为 x = y,且 x 0,例题6 求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位.,xy,所以0=-45与max 对应,（2）求主

7、应力,1 = ,2 = 0 , 3 = - ,.,7-3 平面应力状态分析-图解法,一、莫尔圆,将斜截面应力计算公式改写为,把上面两式等号两边平方,然后相加便可消去,得,.,因为x ,y ,xy 皆为已知量,所以上式是一个以,为变量的圆周方程.当斜截面随方位角 变化时,其上的应力 , 在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆.,1.圆心的坐标,2.圆的半径,此圆习惯上称为应力圆（ plane stress circle）,或称为莫尔圆（Mohrs circle）,.,（1）建 - 坐标系,选定比例尺,二、应力圆作法,1.步骤,.,O,（2）量取,OA= x,AD = xy,得D点，作法线为x的面的应

8、力。,OB= y,（3）量取,BD= yx,得D点作法线为y的面的应力,（4）连接 DD两点的直线与 轴相交于C 点,（5）以C为圆心, CD 为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆,.,（1）该圆的圆心C点到 坐标原点的 距离为,（2）该圆半径为,2.证明,.,三、应力圆的应用,1.求单元体上任一截面上的应力,从应力圆的半径 CD 按方位角的转向转动2得到半径CE.圆周上 E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力 和切应力.,O,20,.,证明：,.,（1）点面之间的对应关系:单元体某一面上的应力,必对应于应力圆上某一点的坐标.,（2）夹角关系:圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两

9、截面夹角的两倍.两者的转向一致.,.,2.求主应力数值和主平面位置,（1）主应力数值,A1 和 B1 两点为与主平面 对应的点,其横坐标 为主应力 1,2,.,（2）主平面方位,由 CD顺时针转 20 到CA1,所以单元体上从 x 轴顺时针转 0 （负值）即到 1对应的主平面的外法线,0 确定后,1 对应的主平面方位即确定,.,3.求最大切应力,G1和G2两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力,因为最大、最小切应力等于应力圆的半径,.,例题7 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示, x = -1MPa , y = - 0.4MPa , xy= - 0.2MPa , yx = 0.2MPa ,（1

10、）绘出相应的应力圆,（2）确定此单元体在 =30和 =-40两斜面上的应力.,解: （1） 画应力圆,量取OA= x= - 1 , AD = xy= - 0.2,定出 D点;,OB =y= - 0.4和， BD = yx= 0.2 , 定出 D点.,以DD为直径绘出的圆即为应力圆.,.,将半径 CD 逆时针转动 2 = 60到半径 CE, E 点的坐标就代表 = 30斜截面上的应力。,（2）确定 = 30斜截面上的应力,（3）确定 = - 40斜截面上的应力,将半径 CD顺时针转 2 = 80到半径 CF, F 点的坐标就代表 = - 40斜截面上的应力.,.,例题8 两端简支的焊接工字钢梁及

11、其荷载如图所示,梁的横截面尺寸示于图中.试绘出截面C上a , b两点处的应力圆,并用应力圆求出这两点处的主应力.,.,解:（1）首先计算支反力, 并作出 梁的剪力图和弯矩图,Mmax = MC = 80 kNm,FSmax =FC左 = 200 kN,.,（2）横截面 C上a 点的应力为,a点的单元体如图所示,.,由 x , xy 定出D 点,由y , yx 定出D点,以DD为直径作应力圆,O,（3）作应力圆,x =122.5MPa, xy =64.6MPa,y=0, xy =-64.6MPa,A1,A2 两点的横坐标分别代 表 a 点的两个主应力1 和3,A1 点对应于单元体上 1所在的主平

12、面,.,（4）横截面 C上b点的应力,b点的单元体如图所示,.,b 点的三个主应力为,1所在的主平面就是 x 平面, 即梁的横截面C,.,已知受力物体内某一点处三个主应力1, 2, 3,利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应力.,一、 空间应力状态下的最大正应力和最大切应力,7-4 三向应力状态分析,.,首先研究与其中一个主平面 （例如主应力3 所在的平面）垂直的斜截面上的应力,1,2,2,用截面法,沿求应力的 截面将单元体截为两部分, 取左下部分为研究对象,.,主应力 3 所在的两平面上是一对自相平衡的力,因而该斜面上的应力 , 与3 无关, 只由主应力1 , 2 决定,与3 垂直的斜截面

13、上的应力可由 1 , 2 作出的应力圆上的点来表示,.,该应力圆上的点对应于与3 垂直的所有斜截面上的应力,O,与主应力 2 所在主平面垂直的斜截面上的应力, 可用由1 ,3作出的应力圆上的点来表示,与主应力所在主平面垂直的斜截面上的应力 , 可用由2 ,3作出的应力圆上的点来表示,.,该截面上应力 和 对应的D点必位于上述三个应力圆所围成的阴影内,abc 截面表示与三个主平 面斜交的任意斜截面,a,b,c,1,2,1,2,3,.,结论,三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力,该点处的最大正应力（指代数值）应等于最大应力圆上A点的横坐标1,.

14、,最大切应力则等于最大的应力圆的半径,最大切应力所在的截面与 2 所在的主平面垂直,并与1和3所在的主平面成45角.,.,例题9 单元体的应力如图所示,作应力圆, 并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位.,解: 该单元体有一个已知主应力,因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力z 无关, 依据 x截面和y 截面上的应力画出应力圆. 求另外两个主应力,.,由 x , xy 定出 D 点,由 y , yx 定出 D 点,以 DD为直径作应力圆,A1,A2 两点的横坐标分别代表另外两个主应力 1 和 3,O, 1 =46MPa, 3 =-26MPa,该单元体的三个主应力, 1 =46MPa, 2

15、 =20MPa, 3 =-26MPa,根据上述主应力，作出三个应力圆,., 7-5 平面应变状态分析 (Analysis of plane strain-state),平面应力状态下，已知一点的应变分量x ,y , xy ，欲求方向上的线应变和切应变 ,可根据弹性小变形的几何条件,分别找出微单元体（长方形）由于已知应变分量x ,y , xy在此方向上引起的线应变及切应变,再利用叠加原理.,一、任意方向的应变(The strain of any direction),在所研究的O点处, Oxy 坐标系内的线应变x , y , xy 为已知.求该点沿任意方向的线应变 .,.,将Oxy 坐标绕O点旋

16、转一个 角，得到一个新 Ox y坐标系.,并规定 角以逆时针转动时为正值，反之为负值., 为 O 点沿 x方向的线变, 为直角 xOy的改变量,即切应变.,假设:,（1）O点处沿任意方向的微段内, 应变是均匀的;,（2）变形在线弹性范围内都是微小的, 叠加原理成立.,分别计算 x ,y ,xy单独存在时的线应变 和切应变,然后叠加得这些应变分量同时存在时的和 .,.,1.推导线应变 (Derive the linear strain),从O点沿 x方向取出一微段 OP = dx, 并以它作为矩形 OAPB 的对角线.,该矩形的两边长分别为 dx 和 dy,x,.,（1）只有正值x 存在,y,x

17、,假设OB边不动,矩形OAPB 变形后成为OAPB,O点沿 x方向的线应变1 为,.,（2）只有正值y存在,y,x,P,假设 OA 边不动,矩形 OAPB 变形后为 OAPB,的伸长量为,O点沿 x方向的线应变 2 为,.,（3）只有正值切应变xy存在,A,B,dx,dy,x,y,O,y,x,P,使直角减小的 为正,假设 OA 边不动,矩形 OAPB 变形后为 OAPB,xy,的伸长为,O 点沿 x方向的线应变为,.,根据叠加原理,x , y 和 xy 同时存在时,O点沿 x方向的线应变为,2.切应变 （Shearing stress）,以上两式利用三角函数化简得到,.,二、主应变数值及其方位

18、 (The principal strains and its direction),.,一、各向同性材料的广义胡克定律,（1） 正应力:拉应力为正, 压应力为负;,1.符号规定,（2） 切应力:对单元体内任一点取矩,若产生的矩为顺时针,则为正;反之为负;,（3） 线应变:以伸长为正, 缩短为负; （4） 切应变:使直角减者为正, 增大者为负.,x,x,7-6 广义胡克定律,.,x 方向的线应变,用叠加原理,分别计算出x, y, z 分别单独存在时, x,y,z方向的线应变x ,y,z,然后代数相加.,2.各向同性材料的广义胡克定律,单独存在时,单独存在时,单独存在时,.,在 x ,y ,z同

19、时存在时, x 方向的线应变x为,同理,在 x ,y ,z同时存在时, y , z 方向的线应变为,在 xy,yz,zx 三个面内的切应变为,.,上式称为广义胡克定律, 沿x,y,z轴的线应变 在xy,yz,zx面上的角应变,.,对于平面应力状态 （假设z = 0,xz= 0,yz= 0）,.,3.主应力-主应变的关系,二向应力状态下 设 3 = 0,已知 1,2,3; 1,2,3为主应变,.,二、各向同性材料的体积应变,构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用q表示.,各向同性材料在三向应力状态下的体应变,如图所示的单元体,三个边长为 dx , dy , dz,变形后的边长分别为,变形后单

20、元体的体积为,dx(1+,dy(1+2 ,dz(1+3,V1=dx(1+ dy(1+2 dz(1+3,.,体积应变 为,.,1.纯剪切应力状态下的体积应变,即在小变形下,切应力不引起各向同性材料的体积改变.,2.三向等值应力单元体的体积应变,三个主应力为,单元体的体积应变,.,这两个单元体的体积应变相同,单元体的三个主应变为,.,如果变形前单元体的三个棱边成某种比例,由于三个棱边应变相同,则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例. 所以在三向等值应力m的作用下,单元体变形后的形状和变形前的相似,称这样的单元体是形状不变的.,在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变 x ,y ,z

21、有关,仿照上述推导有,在任意形式的应力状态下, 各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比, 而与切应力无关.,.,例题10 边长 a = 0.1m 的铜立方块,无间隙地放入体积较大,变形可略去不计的钢凹槽中,如图所示. 已知铜的弹性模量E=100GPa,泊松比=0.34,当受到F=300kN的均布压力作用时,求该铜块的主应力,体积应变以及最大切应力.,解:铜块横截面上的压应力,铜块受力如图所示,变形条件为,.,解得,铜块的主应力为,最大切应力,体积应变为,.,例题11 一直径 d =20mm的实心圆轴,在轴的的两端加扭矩Me=126Nm. 在轴的表面

22、上某一点A处用变形仪测出与轴线成 -45方向的应变 =5.010-4 ,试求此圆轴材料的剪切弹性模量G.,Me,Me,A,45,x,.,解:围绕A点取一单元体,.,b,h,z,b=50mm,h=100mm,例题13 已知矩形外伸梁受力F1,F2作用. 弹性模量E=200GPa,泊松比= 0.3, F1=100KN,F2=100KN.,求:（1）A点处的主应变 1,2 , 3,（2）A点处的线应变 x , y , z,a,F1,F2,F2,l,.,解: 梁为拉伸与弯曲的组合变形. A点有拉伸引起的正应力和弯曲引起的切应力.,（拉伸）,（负）,（1）A点处的主应变1， 2 ， 3,.,（2）A点处

23、的线应变 x , y , z,.,7-7 复杂应力状态的应变能密度,一、应变能密度的定义,二、应变能密度的计算公式,1.单向应力状态下,物体内所积蓄的应变能密度为,物体在单位体积内所积蓄的应变能.,.,将广义胡克定律代入上式, 经整理得,用vd 表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度,称为畸变能密度,用vV 表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度,称为体积改变能密度,2.三个主应力同时存在时,单元体的应变能密度为,应变能密度v等于两部分之和,.,图（a）所示单元体的三个主应力不相等,因而,变形后既发生体积改变也发生形状改变.,图（b）所示单元体的三个主应力相等,因而,变形后的形状与原来的

24、形状相似,即只发生体积改变而无形状改变.,.,图 b 所示单元体的体积改变比能密度,.,a单元体的比能为,a所示单元体的体积改变比能,空间应力状态下单元体的 畸变能密度,.,一、强度理论的概念,1.引言,7-8 强度理论,轴向拉压,弯曲,剪切,扭转,弯曲,.,（2）材料的许用应力,是通过拉（压）试验或纯剪试验测定试件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指标,除以适当的安全因数而得,即根据相应的试验结果建立的强度条件.,上述强度条件具有如下特点,（1）危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态;,2.强度理论的概念,是关于“构件发生强度失效起因”的假说.,.,基本观点,构件受外力作用而

25、发生破坏时,不论破坏的表面现象如何复杂,其破坏形式总不外乎几种类型,而同一类型的破坏则可能是某一个共同因素所引起的.,根据材料在复杂应力状态下破坏时的一些现象与形式 ,进行分析,提出破坏原因的假说.在这些假说的基础上,可利用材料在单向应力状态时的试验结果 , 来建立材料在复杂应力状态下的强度条件.,.,（1）脆性断裂 :无明显的变形下突然断裂.,二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷）,屈服失效 材料出现显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力.,2. 断裂失效,（2）韧性断裂 :产生大量塑性变形后断裂.,.,引起破坏 的某一共同 因素,形状改变 比能,最大切应力,最大线应变,最大正应力,.,根据:

26、当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会沿最大拉应力所在截面发生脆断破坏.,1. 最大拉应力理论（第一强度理论）,基本假说:最大拉应力1 是引起材料脆断破坏的因素.,脆断破坏的条件: 1 = b,三、四个强度理论,强度条件:,1 ,.,2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）,根据:当作用在构件上的外力过大时,其危险点处的材料就会沿垂直于最大伸长线应变方向的平面发生破坏.,基本假说:最大伸长线应变1 是引起材料脆断破坏的因素.,脆断破坏的条件:,最大伸长线应变:,强度条件:,.,3.最大切应力理论 （第三强度理论）,基本假说: 最大切应力max 是引起材料屈服的因素.,根据:当作用在构件

27、上的外力过大时，其危险点处的材料就会沿最大切应力所在截面滑移而发生屈服失效.,屈服条件,在复杂应力状态下一点处的最大切应力为,强度条件,.,4.畸变能密度理论（第四强度理论）,基本假说:畸变能密度vd是引起材料屈服的因素.,单向拉伸下,1= s,2= 3=0,材料的极限值,强度条件:,屈服准则:,.,四、相当应力,把各种强度理论的强度条件写成统一形式,r 称为复杂应力状态的相当应力.,.,莫尔认为:最大切应力是使物体破坏的主要因素,但滑移面上的摩擦力也不可忽略（莫尔摩擦定律）.综合最大切应力及最大正应力的因素,莫尔得出了他自己的强度理论.,7-9 莫尔强度理论,一、引言,.,二、莫尔强度理论,

28、公式推导,任意一点的应力圆若与包络线 相切,则材料即将屈服或剪断.,.,1.适用范围,（2）塑性材料选用第三或第四强度理论;,（3）在二向和三向等拉应力时,无论是塑性还是脆性都发生 脆性破坏,故选用第一或第二强度理论;,三、 各种强度理论的适用范围及其应用,（1）一般脆性材料选用第一或第二强度理论;,（4）在二向和三向等压应力状态时,无论是塑性还是脆性材 料都发生塑性破坏,故选用第三或第四强度理论.,.,2.强度计算的步骤,（1）外力分析:确定所需的外力值;,（2）内力分析:画内力图,确定可能的危险截面;,（3）应力分析:画危险截面应力分布图,确定危险点并画出单元体,求主应力;,（4）强度分析:选择适当的强度理论,计算相当应力,然后进行强度计算.,3.应用举例,.,例题15 一蒸汽锅炉承受最大压强为p,圆筒部分的内径为D,厚度为 d,且 d 远小于D.试用第四强度理论校核圆筒部分内壁的强度.已知 p=3.6MPa,d=10mm,D=1m,=160MPa.,.,内壁的强度校核,所以圆筒内壁的强度合适.,用第四强度理论校核圆筒内壁的强度,.,例题16