第三章傅里叶变换.ppt

1、3.1 引言 3.2 周期信号的傅里叶级数分析 3.3 典型周期信号的傅里叶级数 3.4 傅里叶变换 3.5 典型非周期信号的傅里叶变换 3.6 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换 3.7 傅里叶变换的基本性质 3.8 卷积定理 3.9 周期信号的傅里叶变换 3.10 抽样信号的傅里叶变换、抽样定理,第三章 傅里叶变换,（一）傅里叶分析发展的历史,3.1 引言, 1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier) 提出“每一个周期函数都可以表示成三角函数之和” ，奠定了傅里叶级数的理论基础。, 1829年，法国数学家狄利克雷（P.G.Dirichlet）以严密的方式给出傅里叶级数与积分存在条件的完

2、整证明。,一个周期信号只有在满足狄利克雷条件的前提下，才可以展开为傅里叶级数。,（二）本章主要内容,信号的频域分析,周期信号的傅里叶级数,非周期信号的傅里叶变换,建立信号频谱的概念。,第五章：系统的频域分析,（一） 三角形式的傅里叶级数,3.2 周期信号的傅里叶级数分析,若周期信号 满足狄利克雷条件，则可展开为傅里叶级数。,1. 傅里叶级数表达式,直流分量：,余弦分量的幅度：,正弦分量的幅度：,基波角频率 ， 为 的周期。,2. 周期信号的频谱,其中, 关系曲线，称为信号的 相位频谱。, 关系曲线，称为信号的 幅度频谱。,都是 的函数。,周期矩形脉冲,对比,包络,（1）离散性 频谱是离散的而不

3、是连续的，这种频谱 称为离散频谱。,（2）谐波性 谱线出现在基波频率 的整数倍上。,（3）收敛性 幅度谱反映了信号 f(t) 中各频率分量的 大小，其谐波幅度随着 而逐渐衰 减到零。,信号的周期T1决定着其离散频谱谱线的间隔大小。T1 越大， 越小，谱线越密。,3. 周期信号频谱的特点,（二）指数形式的傅里叶级数,欧拉公式,1. 由三角形式的傅里叶级数导出指数形式的傅里叶级数,记,n 的偶函数,n 的奇函数,则,2. 两种形式的傅里叶级数系数之间的关系,（1）,（2）,是 n 的偶函数,是 n 的奇函数,3. 指数形式的信号频谱,相位频谱,幅度频谱,双边频谱,例：周期矩形脉冲,实数,双边频谱,

4、单边频谱,负频率的出现只是数学运算的结果，并没有任何物理意义。,当Fn是实函数时，可用Fn的正、负表示相位的0、，幅度谱和相位谱合一。,当周期信号 f(t) 为偶函数时，单边谱的另一种画法。,分量 的周期为,解：,分量 的周期为,则 的周期为 ，基波角频率,4. 周期信号的平均功率和傅里叶系数间的关系,是一个正交函数集,三角函数集,例题：,周期信号 如图所示。,（1）给出 的三角形式傅里 叶级数；,（2）利用（1）的结果和 ，求下列无穷级数之和；,（3）求出 的平均功率；,（4）利用（3）的结果，求下列无穷级数之和；,四种对称形式：,偶函数：,奇函数：,奇谐函数：,偶谐函数：,（三） 函数的对

5、称性与傅里叶系数的关系,1. 偶函数,三角级数只含有直流和余弦项，不含有正弦项。,为 的实偶函数,例：,2. 奇函数,三角级数只含有正弦项，不含有直流和余弦项。,为 的虚奇函数,例：,3. 奇谐函数,（1）,（2）,奇次项满足奇谐性，偶次项不满足奇谐性。,奇谐函数的傅里叶级数中，只含有奇次项，不含有直流和偶次项。,例1：,奇函数、奇谐函数，,傅里叶级数只有奇次正弦项。,例2：,偶函数、奇谐函数，,傅里叶级数只有奇次余弦项。,4. 偶谐函数,偶谐函数的傅里叶级数中，只含有直流和偶次项，不含有奇次项。,P162 习题3-7,（四）傅里叶有限项级数与最小方均误差,前（2N1）项之和,方均误差：,用

6、逼近 所产生的误差函数为：,（1）只取基波分量,（2）取基波和3次谐波,（3）取基波、3 次谐波和 5次谐波,结论：,（3）当信号中任一频率分量的幅度或相位发生相对变化时，输出波形则要发生失真。,（1）傅里叶级数所取的项数越多，相加后的波形越逼近原信号 ，方均误差越小；,（2）当 是脉冲信号时，其低频分量主要影响脉冲的顶部，而高频分量主要影响脉冲的跳变沿；,吉布斯（Gibbs）现象 ：,对于具有不连续点的函数，当取的傅里叶级数的项数N 越多，所合成的波形 中出现的峰起越靠近 的不连续点。当项数N 很大时，该峰起值趋于一个常数，大约为总跳变值的9%，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去G

7、ibbs现象。,（一） 周期矩形脉冲信号,3.3 典型周期信号的傅里叶级数,（2）谐波幅度以 速度收敛；,（3）周期矩形脉冲信号包含无穷多条谱线，也就是说它可以分解成无穷多个频率分量。但主要能量集中在第一个零点以内的频率分量上。,频带宽度：,或,矩形脉冲信号的频带宽度与脉冲宽度成反比,波形参数与频谱结构的关系,（二） 周期锯齿脉冲信号,谐波幅度以 速度收敛。,（三） 周期三角脉冲信号,谐波幅度以 速度收敛。,（四） 周期半波余弦信号,（五） 周期全波余弦信号,谐波幅度均以 速度收敛。,3.4 傅里叶变换,（一）由周期信号的傅里叶级数导出非周期信号的傅里叶变换,连续谱,（1）,（2）,失去信号分

8、解的意义,（1）,（2）,物理意义？,单位频带（Hz）内的频谱值,单位角频带（rad/s）内的频谱值,频谱密度函数,的傅里叶变换,谱线间隔,（1）,（2）,（3）,傅里叶正变换,傅里叶反变换,例：,（二）非周期信号的频谱,幅度频谱（密度）,相位频谱（密度）,当 为实函数时，幅度谱和相位谱合一。,（三）非周期信号的傅里叶反变换和周期信号的傅里叶级数 的比较,对实函数 ， 是 的偶函数， 是 的奇函数。,非周期信号包含 从 到 的所有频率分量，频率 为 的分量幅度为无穷小 量 。,函数 的傅里叶变换存在的充分条件,绝对可积条件,（四）傅里叶变换存在的条件,借助奇异函数（如 ）的概念，可使某些不满足

9、绝对可积条件的信号也存在傅里叶变换，如周期信号、 、 等。,（一）单边指数信号,3.5 典型非周期信号的傅里叶变换,（二）双边指数信号,（三）矩形脉冲信号,信号的主要能量集中在 的第一个零点（主瓣）之内。,通常取,该函数不满足绝对可积条件，在取极限意义上存在傅里叶变换。,（五）符号函数,（四）钟形脉冲信号（了解）,（六）升余弦脉冲信号,频带宽度,在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量。这种频谱常称为“均匀谱”或“白色谱” 。,3.6 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换,（一） 和,（二）冲激偶 的傅里叶变换,（三）阶跃函数 的傅里叶变换,（1）,（2）,（3）,（4）,3.7 傅

10、里叶变换的基本性质,若,则,（一）线性,（二）对称性,证明：,（2）,（3）求抽样函数 的频谱。,记,（三）奇偶虚实性,（1）如果 为实函数，则,（a）如果 为实偶函数，则,是 的偶函数， 是 的奇函数；,是 的偶函数， 是 的奇函数。,为 的实偶函数。,（b）如果 为实奇函数，则,为 的虚奇函数。,（2）如果 为虚函数 ，则,则,（四）尺度变换特性,若,时,a=2,时域压缩，频域扩展,时域扩展，频域压缩,a=0.5,时移产生附加相移，不改变幅度谱。,（五）时移特性,或,例2：求双Sa 信号 的傅里叶变 换并画出幅度频谱图。,记,则,（六）频移特性,时移,例1：求矩形脉冲调幅信号 的频谱。,例

11、3：求,若,则,（七）微分特性,或,例：（1）,（2）,（3）,时域积分特性,（八）积分特性,已知 ，求 ？,证明：,例1：已知 ，求 和 。,例2：求如图所示三角形脉冲的频谱密度。,例3：求如图所示截平斜变信号的频谱。,频域积分特性（了解）,时域卷积定理,3.8 卷积定理,若 ，,则,频域卷积定理,例2：求单边正弦函数的频谱密度 。,（一）正、余弦信号的傅里叶变换,3.9 周期信号的傅里叶变换,周期信号,（二）一般周期信号的傅里叶变换,例2：求周期单位冲激序列的傅里叶变换。,“抽样” 就是利用窄脉冲序列p(t)从连续信号f(t)中“抽取” 一系列的离散样值, 抽样结果称为“抽样信号”。,什么是“抽样”？,3.10 抽样信号的傅里叶变换、抽样定理,p(t)为周期信号均匀抽样,抽样周期,时域抽样,频域抽样,抽样,（一）时域抽样,抽样角频率,1. 抽样信号的傅里叶变换,是 以 为间隔周期重复而成，重复过程中幅度被 加权。,（ ）,（1）矩形脉冲抽样,（2）冲激抽样（理想抽样）,矩形脉冲抽样：,冲激抽样：,是 以 为间隔周期重复而成，重复过程中幅度被 加权。,结论：只有满足 （或 ）， 才不会产生频谱混叠，即 保留了原连续时间信号 的全部信息。,无混叠,有混叠,2. 时域抽样定理,奈奎斯特抽样速率,奈奎斯特抽样间隔,一个频谱受限的信号 ，如果频谱只占据 的频率范围，则