第三章 矩阵的初等变换和方程组.ppt

1、第三章 矩阵初等变换及线性方程组,【主要内容】线性方程组应用介绍、矩阵的初等变换、矩阵的秩、线性方程组的解。,一、线性方程组的应用,解决经济分析中投入产出问题 解决交通流量的分析问题 配置营养食谱 解决化学方程式的平衡问题 解决小行星轨道问题 解决电路网络问题 进行地域人口预测 进行石油勘探,交通流量分析,路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础. 根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设计单行线，以免大量车辆长时间拥堵.,550,290,600,500,370,520,680,730,A,B,C,D,计算在4个交叉路口间车辆的数量. 为了唯一确定未知流量，还需要增添哪几

2、条道路的流量统计？ 在DC或CA路段设置一个公交站点, 选哪个好?,站?,站?,分析问题,交通网络流量分析,网络流模型,网络流模型广泛应用于交通、运输、通讯、电力分配、城市规划任务分派以及计算机辅助设计等众多领域. 当科学家、工程师和经济学家研究某种网络中的流量问题时，线性方程组就自然产生了. 例如，城市规划设计人员和交通工程师监控城市道路网格内的交通流量，电气工程师计算电路中流经的电流，经济学家分析产品通过批发商和零售商网络从生产者到消费者的分配等. 大多数网络流模型中的方程组都包含了数百甚至上千未知量和线性方程。,网络流模型,一个网络包含一组称为接合点或节点的点集，并由称为分支的线或弧连接

3、部分或全部的节点流的方向在每个分支上有标示，流量也有显示或用变量标记. 网络流的基本假设： (1)网络的总流入量等于总流出量 (2)每个节点上流入和流出的总量也相等,分析问题,交通流量,建立模型,550,290,600,500,370,520,680,730,A,B,C,D,【建立模型】,即就是线性方程组,分析问题,交通流量,线性方程组,建立模型,模型求解,【模型求解】求线性方程组的解,解 其增广矩阵,该交通网络中未知路段的车流量为,写成向量形式,550,290,600,500,370,520,680,730,A,B,C,D,计算在4个交叉路口间车辆的数量. 为了唯一确定未知流量，还需要增添哪

4、几条道路的流量统计？ 在DC或CA路段设置一个公交站点, 选哪个好?,站?,站?,分析问题,交通流量,线性方程组,线性方程组求解,建立模型,模型求解,23路901路,10路3路26路,10路3路,站,7,1,2,3,4,8,5,6,380,420,380,350,290,450,480,150,思考,求解线性方程组,方程组是否有解? 有解时, 解的个数是多少? 如何解? 有多解时, 这些解之间的关系如何? 所得的解针对实际问题是否合理? 无解时, 如何找出最接近实际问题的近似解.,第一节 矩阵的初等变换,一、消元法解线性方程组,1. 上述消元法解方程组的方法中, 始终把方程组看作一个整体变形，

5、用到如下三种变换,（1）交换方程次序；,（2）以不等于0的数乘某个方程；,（3）一个方程加上另一个方程的k倍,2上述三种变换都是可逆的, 称为方程组的同解变换,增广矩阵,定义1,下面三种变换称为矩阵的初等行变换:,二、矩阵的初等变换,定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换,同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”),矩阵之间的等价关系具有下列性质,矩阵初等行变换在本课程中的应用,求解线性方程组 求矩阵的逆矩阵 求矩阵的秩 求向量组的秩(第四章) 判定向量组的线性相关性(第四章),增广矩阵,二、阶梯形矩阵,定义3,例如:,(1) 可画出一条阶梯线, 线的下方全为零.,

6、(2) 每个台阶只有一行, 台阶数即是非零行的行数, 阶梯线的竖线后面为该行的首非零元.,例1 将矩阵A化为行阶梯形矩阵:,行阶梯形矩阵,练习1: 将矩阵B化为行阶梯形矩阵:,定义4,例如:,解:,例2,练习2: 将矩阵B继续化为行最简形矩阵:,初等变换法求逆阵,步骤：,(1) 构造n2n矩阵(A | E)；,(2) 对(A | E)施行初等行变换，将其化为行最简形矩阵，此时，原矩阵A位置已化为单位矩阵E，而原右边E对应部分即为A-1.,三、用矩阵初等变换求逆矩阵,例3,练习3: 用矩阵初等行变换求逆矩阵,四、小结,第二节 矩阵的秩,一、矩阵的秩,例1,解,例2,解,例3,解,计算A的3阶子式

7、，,另解,显然，非零行的行数为2，,此方法简单！,初等变换求矩阵秩的方法：,把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.,练习:,练习3 课本79页12题.,二、矩阵秩的性质,三、小结,矩阵的秩 矩阵的最高阶非零子式的阶数即为该矩阵的秩. 通常用下述方法求矩阵的秩: 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.,第三节 线性方程组的解,线性方程组的矩阵表示,一、线性方程组有解的判定条件,问题：,我们分齐次线性方程组(b=0)和非齐次线性方程组(b0)来讨论: 对n元齐次线性方程组 Ax=0 有: (1) R(A)=n时, 方程

8、组只有零解; (2) 方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩R(A)n.,n元非齐次线性方程组 Ax = b： 无解的充要条件是 R(A) R(A,b); (2) 有惟一解的充要条件是 R(A) = R(A,b) = n; (3) 有无限多解的充要条件是 R(A) = R(A,b) n;,齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；,非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；,解线性方程组的具体步骤见课本P72-73页。,例1 求解齐次线性方程组,解,二、线性方程组的解法,即得与原方程组同解的方程组,由此即得,例 求解非齐次线性方程组,解,对增广矩阵B进行初等变换，,故方程组无解,例 求解非齐次方程组的通解,解 对增广矩阵B进行初等变换,故方程组有解，且有,所以方程组的通解为,例4 解非齐次线性方程组,解 对增广矩阵B进行初等变换,方程组的解为,例5 求解齐次线性方程组,解,得同解方程组,即方程组的解为,R(A) =