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1、第二节 留 数,一、留数的引入,二、利用留数求积分,三、在无穷远点的留数,四、典型例题,五、小结与思考,2,一、留数的引入,.,的某去心邻域,3,4,定义,5,二、利用留数求积分,说明:,2. 留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求,被积函数在C内各孤立奇点处的留数.,1.留数定理,6,证,证毕,两边同时除以 且,如图,7,2.留数的计算方法,如果 为 的一级极点, 那末,规则1,成洛朗级数求,8,如果 为 的 级极点,规则2,证,那末,9,+(含有 正幂的项),证毕,得,10,规则3,如果,证,的一级极点,且有,11,因此,其中 在 解析且,为 的一级极点,12,三、在无穷远点的留数,注意积分路
2、线取顺时针方向,说明,记作,1.定义,C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，,13,证,由留数定义有:,证毕,14,说明: 由定理得,(留数定理),计算积分,计算无穷远点的留数.,优点: 使计算积分进一步得到简化.,(避免了计算诸有限点处的留数),15,3.在无穷远点处留数的计算,规则4,说明: 定理二和规则4提供了计算函数沿闭曲线,积分的又一种方法:,此法在很多情况下此法更为简单.,16,现取正向简单闭曲线C为半径足够大的,正向圆周 :,于是有,证,17,证毕,18,四、典型例题,解,19,分析,由规则3得,计算较麻烦.,20,解,21,说明:,如 为 m 级极点，当 m 较大而导数又难以计算时,2. 在应用规则2时,取得比实际的级数高.,级数高反而使计算方便.,1. 在实际计算中应灵活运用计算规则.,为了计算方便一般不要将m,但有时把m取得比实际的,如上例取,22,解,23,解,为一级极点,为二级极点,24,25,其他奇点.,解,根据定理 2与规则4:,26,与以下解法作比较 :,由规则3,27,可见, 利用无穷远点的留数更简单.,解,点外, 其他奇点为,28,则,所以,29,五、小结与思考,本节我们学习了留数的概念、计算以及留数 定理. 应重点掌握计算留数的一般方法,尤其是极 点处留数的求法, 并会
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