概率论复习资料第一章1-3节

1、概率论与数理统计 必修课 授课教师：王昕 北京信息科技大学理学院,概率论与数理统计,返回主目录,概率论是研究和揭示自然界和人类社会随机现象规律的一门学科，是统计理论和方法的基础，与数学 的其他分支有着密切联系，并在各个领域有着广泛的应用。 本课程主要阐述概率论的基本思想，介绍研究随 机现象的基本方法以及基本结果，以及统计学的基础知识。 概率论：第一章第五章 统计学：第六章第八章,概率论与数理统计,返回主目录,授课内容：第一章第八章 期末考试：平时分30% (课堂表现、作业、 出勤) 期末 卷面分70 作业：每人一个作业本，不允许用单页纸； 先看书，再做作业； 答疑：周三下午 小营校区图书馆70

2、2,概率论与数理统计,返回主目录,Email: 电话欢迎问问题！ 上课要求：不缺课、不迟到、手机静音 考研：高等数学56%，线性代数22%， 概率统计 22%,概率论与数理统计,返回主目录,伽利略（1564- 1642）,谁最先使用密码？,密码学 Cryptography,源于希腊文字：秘密书写，古老神秘的学科,Julius Caesar (恺撒),密文：Kh lv wkh uxohu ri dqflhqw Urpd,明文：He is the ruler of ancient Roma,目的,将信息传递给己方的接收者,防止敌方知道信息的内容,太阳每天从东方升起； 异性

3、电荷相吸； 自然界中水往低处流；等等,一 、 确定性现象,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,确定性现象：在一定条件下必然发生。重复这一条件，结果是确定的、唯一的。,我们称之为随机现象，概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科。,二 、 随机现象,比如： 降水 概率为 30% ， 某强队对弱队 赢球 的概率为 80% ， 某个固定群体中 男女比例 为 54：46 ；,在个别试验中其结果呈现出不确定性；,在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T 出现的情况。 E2 ：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、

4、反面出现 的情况。 E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。 E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。,这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样的科学试验，也包括对事物的某一特征的观察。 其典型的例子有：,第一节 随机试验（Experiment ）,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。 E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 E7：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。,这些试验具有以下特点： 可以在相同的条件下重复进行； 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确 所有可能结果； 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。,第一章 概率论的基本概

5、念,返回主目录,第二节、样本空间、随机事件,定义 将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合 称为 E 的样本空间， 记为 S 。 样本空间的元素，即 E 的每个结果，称为 样本点。,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,如果试验是将一枚硬币抛掷两次， 1、观察正面出现的次数； 2、观察正、反面出现的情况。,S=(H,H), (H,T), (T,H), (T,T),在每次试验中必有一个样本点出现且仅有一个样本点出现 .,S=0，1，2,S1 : H , T S2 : HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT S3 : 0, 1, 2, 3 S4 : 1, 2,

6、 3, 4, 5, 6 ,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T 出现的情况。 E2 ：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现 的情况。 E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。 E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。,S5 : 0,1,2,3 S6 : t | t 0 S7 : ( x , y ) | T 0 x , y T1 ,E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。 E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 E7：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,随机事件 : 称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E

7、的 随机事件； 基本事件 : 由一个样本点组成的单点集； 必然事件 : 样本空间 S 本身； 不可能事件 : 必然不会发生的事件，空集。,随 机 事 件,我们称一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个样本点在试验中出现,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,例如：S2 中事件 A = HHH,HHT,HTH,HTT 表示 “第一次出现的是正面” S6 中事件 B1 = t|t1000 表示 “灯泡是次品” 事件 B2 = t|t 1000 表示 “灯泡是合格品” 事件 B3 = t|t1500 表示“灯泡是一级品”,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,10 包含关系,二 、 事件间的关系与运算

8、,20 和事件,30 积事件,40 差事件,50 互不相容,60 对立事件,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,S2 中事件 A=HHH,HHT,HTH,HTT, B=HHH,TTT,20 和事件,30 积事件,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,40 差事件,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,S6 : t | t 0 中 事件A = t | t 1000 “次品” 事件B = t | t 1000 “合格品” 事件C = t | t 1500 “一等品”,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,50 互不相容,60 对立事件,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,例1：抛掷一枚硬币 A

9、=正面向上 B=反面向上 两者互不相容，事件A和B既是不相容的，又是对立的。,第一章 概率论的基本概念,例2：掷骰子的试验中 A=出现奇数点 B=出现偶数点 例3：抛掷一枚硬币三次的试验中 A=至少两次正面向上 B=至少两次反面向上,A=HHH,HHT,THH,HTH B=TTT,HTT,THT,TTH,随机事件的运算规律,幂等律:,交换律:,第一章 概率论的基本概念,结合律:,分配律:,De Morgan律:,本小节主要要求,对于一个具体事件，要学会用数学符号表示；反之，对于用数学符号表示的事件，要清楚其具体含义是什么.,也就是说，要正确无误地“互译”出来.,研究随机现象，不仅关心试验中会出

10、现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.,事件的概率,概率是随机事件 发生可能性大小 的度量,事件发生的可能性 越大，概率就 越大！,事件发生的可能性 最大是百分之百，此时 概率为1.,0P(A)1,我们用P(A)表示事件A发生的概率，则,事件发生的可能性 最小是零，此时 概率为0.,什么是概率？,第三节、频 率 与 概 率,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,下面我们从抛硬币试验入手，揭示随机事件一个极其重要的特征：,频率,定义 在相同的条件下，进行了n 次试验， 在这 n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称为 事件 A 发生的频数。比值 n A / n

11、称为事件 A 发生的频率，并记成 fn(A) 。,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,n nH fn(H),第一章 概率论的基本概念,返回主目录,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,3） 概率的定义,定义 设 E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于 E 的每一个事件 A 赋予一个实数，记为 称为事件 A 的概率，要求集合函数 满足,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,（可列可加性）,了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有什么意义呢？,例如，了解发生意外人身事故的可能性大小，确定保险金额。,了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员.,概率是度量某事件发生可能性大小的一种数量指标.它介于0与1之间.,在这一讲中，我们简要介绍了,随机试验,样本空间,随机事件及其概率,给出了事件的集合表示,那么要问: 如何计算某事件的概率呢? 学习一些必要的性质能帮助我们.,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,（有限可加性，由可列可加性可得）,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,重要,重 要 推 广,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,第一章 概率论的基本概念,解: (1