概率论第一章 3

1、绪言,第一章 基本概念,1.1 随机试验（ Random experiment）,1.2 随机事件（ Random Events ）,1.3 事件的概率（ Probability ）,本章主要讲述随机试验，样本空间，随机事件，事件间的关系与运算，频率，概率的统计定义，概率的性质，古典概型。,第一章 基本概念,在标准大气压下，水加热到100C必沸腾； 同性电荷必然互斥； 函数在间断点处不存在导数。,确定性现象的特征：,条件完全决定结果。,何为随机现象？,人们通常将自然界或社会中出现的现象分成二类：,1、确定性的现象（必然现象）necessity, inevitability。,在一定条件下必然发

2、生的现象称为确定性现象.,例如：,何为随机现象？,人们通常将自然界或社会中出现的现象分成二类：,1、确定性的现象（必然现象）necessity, inevitability。,在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.,2、非确性的现象（偶然现象） randomly, chance。,在一定条件下可能出现也可能不出现的现象。,上抛一枚硬币，出现正面向上； 某商店某天某商品的销售量为50件； 测试某厂某元件的寿命为1000小时（或尺寸大小）。,非确定性现象的特征：,条件不能完全决定结果。,不确定性现象都没有规律可循吗？,上抛一硬币10000次，,在一定条件下，进行大量观测会发现某种规律性。,出现

3、正面向上的次数总是5000次左右。,有部分非确定性现象在大量重复试验时，统计结果呈现,否,例如:,现出一定的规律性。,随机现象,随机事件的发生具有偶然性, 机遇性，在一次试验中，可能发生，也可能不发生。但在大量重复试验中，随机现象常常表现出这样或那样的统计规律，称为随机现象的统计规律性。,在相同条件下可以重复操作出现，并有一定的规律性的非确定性现象称为随机现象。,概率论与数理统计的研究的对象：随机现象的统计规律性,1.1 随机试验( Random experiment),鉴于我们要研究的对象和任务（即随机现象的统计规律性），必需对研究对象进行试验或观察。,E1. 抛一枚硬币，观察正面、反面出现

4、的情况。 E2. 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。 E3. 某足球队在主场进行一场足球比赛，观察比赛结果。 E4. 某出租车公司电话订车中心，记录一天内接到订车电话的次数。 E5. 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。,例：,这些试验都具有以下的特点：, 可以在相同的条件下重复地进行；, 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验 的所有可能结果；, 进行试验之前不能确定哪一个结果会出现。,在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验称为随机试验(Random experiment)。简称试验，用E表示。,随机试验,1.2 随机事件( Random Events ),1.2.1样本空

5、间 (Sampling space),、样本空间：,把随机试验E的所有可能结果组成的集合称为随机试验E的样本空间，记为。,、样本点 (Sampling point):,样本空间的元素，即E的每个可能的结果称为样本点。,常用 表示。,、有限样本空间：,样本点个数有限,无限样本空间：,样本点个数无限,E1. 抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。 E2. 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。 E3. 某足球队在主场进行一场足球比赛，观察比赛结果。 E4. 某出租车公司电话订车中心，记录一天内接到订车电话的次数。 E5. 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。,解:,“出现正面”,“出现反面”,

6、(“T”),(“H”),E1:,例 请写出下面试验的样本空间:,有限样本空间,E1. 抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。 E2. 将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。 E3. 某足球队在主场进行一场足球比赛，观察比赛结果。 E4. 某出租车公司电话订车中心，记录一天内接到订车电话的次数。 E5. 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。,解:,E2:,“出现0次”,“出现1次”,“出现2次”,“出现3次”,或“0”,“1”,“2”,“3”,例 请写出下面试验的样本空间:,有限样本空间,例 请写出下面试验的样本空间:,E1. 抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。 E2. 将一枚硬币抛三次

7、，观察出现正面的次数。 E3. 某足球队在主场进行一场足球比赛，观察比赛结果。 E4. 某出租车公司电话订车中心，记录一天内接到订车电话的次数。 E5. 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。,解:,E3:,E4:,E5:,有限样本空间,无限样本空间,无限样本空间,E6 ：上抛一枚硬币三次，观察正反面出现的情况。,E7：对目标进行射击，记录着弹点的位置。,更多例子:,E8：掷两次骰子作为一次试验,观察两次试验结果。,（H H H），（T H H），（H T H），（T T H）（H H T），（T H T），（H T T），（T T T）,第一次有6个可能的结果,第二次也有6个可能的结果,将

8、两次试验结果排序, 则共有36种可能的结果:,1.2.2 随机事件（Random event）,在实际问题中，面对一个随机试验，我们一般关心的是某些特定的事件是否发生。,（）出租车公司可能关心的是：,“电话订车中心一天中接到订车电话数不超过”,如：,（）灯泡采购员可能关心的是：,“灯泡的寿命大于小时”,（）在掷骰子中，赌徒关心的是掷两题骰子：,“出现的点数和大于”,、随机事件（Random event） ：,在随机试验中,可能发生也可能不发生的事情称为随机事件。,、随机事件的表示：,常用大写字母 A,B,C,表示,（样本空间的子集称为随机事件，简称为事件。）,3、事件发生,当一次试验结果出现在

9、这个集合时，即当一次试验结果,时，就称这次试验中事件发生。,否则称未发生。,即一次试验的结果为 时,事件发生,事件未发生,例1 掷一颗骰子，观察出现的点数。,其样本空间,若掷骰子一次，出现点数，则,事件表示出现的是偶数点，即,事件表示出现的是奇数点，即,由 ，,故在这一次试验中，事件发生了；,由 ，,故在这一次试验中，事件没有发生。,若再掷骰子一次，出现点数，则在这一次试验中,事件发生了，而事件未发生。,4、必然事件,每一次试验中必然会发生的事件。,、不可能事件,每一次试验中必然不会发生的事件。,、基本事件,试验的每一个可能结果都称为基本事件。,即只含有单个样本点的集合。,A,复合事件,基本事

10、件,必然事件,由基本事件构成的事件,例：掷一颗骰子，观察出现的点数。,其样本空间,事件表示出现的是偶数点，即,事件表示出现的是奇数点，即,复合事件,复合事件,事件表示出现点数，即,基本事件,事件D表示出现点数小于10，,必然事件,事件F表示出现点数大于10，,不可能事件,例2 一个袋中装有大小相同的3个白球和2个黑球，现从中任取出一球，试写出样本空间、并用样本空间的子集表示下列事件：,解：设1、2、3号球是白球，4、5号球是黑球,“摸出的是白球” “摸出的是白球或黑球” “摸出的是红球” “摸出的是黑球” “摸出的是3号球”,“摸出的是白球”,“摸出的是白球或黑球”, A,4,5,1,2,3,

11、“摸出的是红球”,“摸出的是黑球”,“摸出的是3号球”, C, B,样本空间,小结,1 随机现象的特征:,不确定性和统计规律性.,2. 随机现象是通过随机试验来研究的.,(1) 可以在相同的条件下重复地进行;,(2) 每次试验的可能结果不止一个, 并且能事先明确试验的所有可能结果;,(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.,随 机 试 验,3. 随机试验、样本空间与随机事件的关系,每一个随机试验相应地有一个样本空间,随机事件是样本空间的子集.,随机试验,样本空间,随机事件,必然事件不可能事件是两个特殊的 随机事件,统称随机事件,样本空间子集,1.2.3 事件间的关系与运算（Relat

12、ion and operation of events）,有时候我们感兴趣的是一个较为复杂的事件，而直接研某些复杂事件，有时候比较复杂。此时，我们可以利用复杂事件与简单事件之间的联系，把较为复杂的事件分解为一些较简单的事件来研究。为此，我们先定义事件间的一些关系与运算。,、事件的包含 (Inclusion relation),如果事件A发生时，事件B一定发生。,则称事件B包含事件A,记作,即为的子集。,、事件的相等 (equivalent relation),若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A, 则称事件A与事件B相等,记作 A=B.,例掷一颗骰子，观察出现的点数。,其样本空间,事件表示

13、出现的是偶数点，即,事件表示出现的是奇数点，即,事件表示出现点数，即,显然事件发生，则事件一定发生，,即,因“直径不合格”必然导致“产品不合格”,所以“产品合格”,包含“直径合格”.,即有,例 假如一个圆形零件合格定义为直径和高度都合格 A“直径合格”， “高度合格”, C“直径及高度合格”， D“产品合格”。,同理有,、事件的积(Product of events),“二事件，同时发生”也是一个事件，称为事件与事件的积事件（交事件）。记为,发生且发生,例 假如一个圆形零件合格定义为直径和高度都合格 A“直径合格”， “高度合格”, C“直径或高度合格”， D“产品合格”。,显然有,简记为AB

14、,、互不相容（互斥）事件(Incompatible events),如果A、B不能在同一次试验同时发生，则称A、B为互不相容事件(或称A、B互斥）。,则AB为不可能事件，,若事件与互斥，,两两互斥：,若一些事件中任意两个都互斥，则称这些事件是两两互斥的。,A,B,互不相容事件的关系,、事件的并（和）(Union of events),“二事件，至少发生一个”也是一个事件，称为事件与事件的并事件（和事件）。记为,发生或发生,例 假如一个圆形零件合格定义为直径和高度都合格 A“直径不合格”， “高度不合格”, C“直径及高度合格”， D“产品不合格”。,显然有,事件的交与并的推广,区别,区别,、事

15、件的差(Difference of events),“事件A发生，但事件B不发生”为一事件，称为A与B的差，,A,B,例从装有编号为1到10的球的袋中任取一球。记 A“取到球的编号为偶数”“2，4，6，8，10”， B“取到的编号小于8”“1，2，3，4，5，6，7”，,则 =,=8、10,“取到球的编号为偶数但不小于8”,、 对立事件(Opposite events),“事件不发生”是一个事件，称为的对立事件（或逆事件），,A,为的对立事件，当且仅当,对立事件与互斥事件的区别,B,A、B 对立,A、B 互斥,互 斥,对 立,例4 设A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事件用A,B,C 表示

16、出来.,(1) 事件“A B 都发生, 但 C 不发生”;,(5) 事件“A, B, C中有不多于一个事件发生”,(3) 事件“A, B，C中恰有两个发生”;,(2) 事件“A，B，C都发生”;,(4) 事件“A, B，C中至少有两个发生;,(6) 事件“C发生，但A, B均不发生”,解,例5 某人向指定目标射击三枪，Ai 表示“第i枪击中目标”,试用A i 表示下列事件 1. B“只击中第一枪” C“三枪至少有两枪击中目标” D“至少有一枪击中目标”,法三分为互不相容的七部分事件的和,法一,法二,法三,法四,法四分为如图三部分互不相容事件的和,事件间的运算规律,由于事件的运算对应其样本点集合

17、的运算，因而事件有与集合相同的运算规律,分配律,小结,概率论与集合论之间的对应关系,事件A与事件B的差,A与B两集合的差集,事件A与B互不相容,A、B 两集合没有相同元素,事件A与事件B的和,A集合与B集合的并集,事件A与B的积事件,A集合与B集合的交集,P25 习题1 3, 4,1.3 事件的概率 (Probability）,随机事件在一次试验中有可能发生也可能不发生，但多次重复时，会发现有的事件发生多些，有的少些，这数量上的区别反映了随机事件的内在的一种规律。,一、 频率的定义(Frequency),、定义,设E为任一随机试验，A为其中任一事件，在相同条件下，把E独立的重复做n次，表示事件

18、A在这n次试验中出现的次数(称为频数)。比值 称为事件A在这n次试验中出现的频率(Frequency).,记为,、频率的性质（证明见：第9页下方）,（）非负性：,（）规范性：,（）有限可加性:若事件A和B互不相容，则有,、频率的稳定性,实践证明：,当试验次数n增大时,随机事件的频率逐渐趋向稳定。,样本空间 也是事件，由于每次试验的结果必是 某个样本点，即 是在每次试验中必然要发生的,实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率.,表明：随着n的增加，事件的频率将呈现出稳定性,稳定于0.5,波动最小,历史上的掷硬币试验,稳定于,新生儿性别统计表,

19、可以看到生男孩的频率是稳定的, 约为0.515,设有随机试验，若当试验的次数充分大时，事件A发生的频率稳定在某数p附近摆动，则称数p为事件A发生的概率(Probability) ，记为：,(1) 频率的稳定性是概率的经验基础，但并不是说概率决定于经验. 一个事件发生的概率完全决定于事件本身的结构, 指试验条件, 是先于试验而客观存在的.,(2) 概率的统计定义只是描述性的。,二、 概率的统计定义,、定义,、几点说明,(3) 通常只能在充分大时，事件出现的频率才作为事件概率的近似值。,3、概率的性质(概率统计定义的性质),性质1 非负性：对任一事件A ,有,性质2 规范性：对必然事件 ,有,性质

20、3 有限可加性: 若事件A和B互不相容，则有,特别地，若,即,和的概率等于概率的和,完全可加性,4、概率性质的一些推论,（1）,（2）,（3）对任意事件A，有,（4）对任意事件A和B，有,注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，作为事件的概率，都应具有前述三条基本性质，在数学上，我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义:,设随机试验的样本空间为 ,若对每一事件 ,有且只有,一个实数 写之对应,满足如下公理:,公理1(非负性),公理2(规范性),公理3(完全可加性),对任意一列两两互斥事件 ,有,则称 为事件 的概率.,5、概率的公理化定义:,基本计数原理,这里我们先简要复习计算古

21、典概率所用到的,1. 加法原理,设完成一件事有m种方式，,第一种方式有n1种方法，,第二种方式有n2种方法,；,第m 种方式有nm种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，,则完成这件事总共有 n1+n2+nm 种方法 .,例如，某人要从甲地到乙地去,甲地,乙地,可以乘火车,也可以乘轮船.,火车有两班,轮船有三班,乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?,3 + 2 种方法,基本计数原理,2. 乘法原理,设完成一件事有m个步骤，,第一个步骤有n1种方法，,第二个步骤有n2种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，,例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？,可以有32 种打扮

22、,三、排列、组合的几个简单公式,排列和组合的区别：,顺序不同是 不同的排列,3把不同的钥匙的排列6种,而组合不管顺序,只要包含的元素一样就是同一种组合,从3个元素取出2个 的排列总数有6种,从3个元素取出2个 组合总数有3种,1、排列: 从n个不同元素取 k个的不同排列总数为：,k = n时称全排列,排列、组合的几个简单公式,n,(n-1),(n-2), (n-k+1),2.重复排列：从n个不同元素有放回地取 k个（允许重复） 的不同排列总数为：,例如：从装有4张卡片的盒中有放回地摸取3张,共有4.4.4=43种可能取法,n,n,n,n,3、组合: 从n个不同元素取 k个（1 k n)的不同组

23、合总数为：,常记作,，称为组合系数。,又常称为二项式系数，因为它是二项式展开公式中的系数：,组合和排列的关系,令 x=-1得,可得到许多有用的组合公式：,以 x=1代入,2.由展开式,二项式系数的有关性质（见课本16页）,1. 由公式直接得到,3.由,有,比较两边 xn 次幂的系数，可得,运用二项式展开,特别地，有,在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可以认为基本事件是等可能的，并在此基础上事件的概率可以直接算出.,古典概型(Classical Probability),1.3.2 概率的直接计算,如果一个随机试验E具有以下特征 1、试验的样本空间中仅含有有限个样本点，,2、每个样本点出现的可

24、能性相同,则称具有上述特性的概型为古典概型。,讨论相应的概率问题称为古典概型问题,古典概型中事件概率的计算：,于是,从而对于每一个基本事件，有,设事件A包含有k个基本事件：,有,古典概型中事件概率的计算：,几点说明：,1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件.,2、“等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的.,例 将一枚硬币上抛三次，设事件A =“恰有一次出现正面”，B=“至少有一次出现正面”， 求A，B的概率。,(HHH),(HHT),(HTH),(THH),(HTT),(THT),(TTH),(TTT),解：,样本空间为,

25、于是,注：上例中，将一枚硬币上抛三次，观察正面向上的次数， 3 0, 1, 2 , 3 , 记Ai“正面出现 i 次” 则P(A0)1/8 ，P(A1)3/8 ，P(A2)3/8， P(A3)1/8 所以以Ai作为基本事件，则非等可能概型。,例1(9)一部四卷文集，按任意次序排列在一级书架上，问各册自右至左或自左至右恰成1,2，3,4顺序的概率是多少？,解：样本点为四卷书书号的任一可能的排列，,总数,n=4321,A的有利场合数（A包含的样本点数）为2,1234，,4321,例2(10)有10个外观相同的电阻，其电阻分别是1欧、2欧、10欧.现从中任意取出3个，希望一个电阻值小于5欧，一个等于

26、5欧,一个大于5欧，问一次抽取就能达到要求的概率.,解：样本点为从10个不同电阻中任取三个的组合,样本空间总数为,计算有利场合数：,有利场合数为,构成一个有利场合可分三个步骤：,第一步，从小于5欧的电阻值中任取出一个，,事件A,第二步，从等于5欧的电阻值中任取出一个;,第三步，从大于5欧的电阻值中任取出一个;,例3(11)将r个球置于n个箱中（每个球以1/n的概率被置入某一特定箱中）,若nr,试求任一箱内的球数均不超过1的概率。,解：先计算样本空间总数,第一个球置于一箱中， 共有n种放法;,相继将每一个球置于一箱中都有n种放法；,1,1,1,1,1,1,1,1,nnn n=,这样放完r个球构成

27、一个可能的结果（样本点），,nr,再计算有利场合数：,第一个球置于一箱中，共有n种放法;,第二个球由于不能放到第一个球所在箱，所以只有n-1种放法,第r个球不能放到前r-1个球所在箱，所以只有n-r+1种放法,有利场合数,（同时定义样本点）,由乘法原理，r个球的不同的放法有,许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：,有n个人，设每个人的生日是任一天的概率为1/365. 求这n (n 365)个人没有两个人的生日相同（n人生日互不相同）的概率.,可计算当n=40时，P0.109,我敢打睹，我们班至少有两人生日在同一天！,许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：,有n个旅客，乘火车途经N个

28、车站，设每个人在每站下车的概率为1/ N(N n) ，求指定的n个站各有一人下车的概率.,某城市每周发生7次车祸，假设每天发生车祸的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸的概率.,例4 袋中有大小相同的 a 个黄球，b 个白球现将球从袋中一一随机摸出来，试求第 k 次摸出的球是黄球的概率,解法一:,认为球是不相同的（可辩的），黄球编号为1 a,白球编号为1 b,设样本点为：依次取出的a+b个球的排列,样本空间总数为,(a+b)!,事件A,构成A的有利场合分两步：,从a个黄球中任取出一个放到第k个位置，,有a种方式,1,1,3,a,2,3,4,b,2,第k个位置,其余ab-1个位置是(a+b-1)个

29、球的任意排列，,有(a+b-1)!种方式,有利场合数为,a(a+b-1)!,例4 袋中有大小相同的 a 个黄球，b 个白球现将球从袋中一一随机摸出来，试求第 k 次摸出的球是黄球的概率,事件A,解法二：,认为黄球及白球分别是没有区别的（不可辩的）,总数：,构成A的有利场合分两步：,从a个黄球中任取出一个放到第k个位置，,有1种方式,第k个位置,其余ab-1个位置是（a-1）个黄球和b个白球的两类排列，,把依次取出的a+b个球成一列,样本点为：两类元素(a 个黄球和b 个白球) 的排列,有 种方式,例5 设100件产品中有5件次品,现从中任意抽出3件，求恰有2件是次品被抽出的概率.,解法一：设样

30、本点为从100件产品抽出3件的组合,正品 95,100件产品,A,总数：,构成A的有利场合分两步：,从5件次品中抽出2件，,从95件正品中抽出3件,N件产品,次品 5件,次品 M件,正品 N-M,例7 把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，求排列结果恰好拼成一个英文单词的概率：,C,I,S,N,C,E,E,拼成英文单词SCIENCE 的情况数(有利场合数）为,故该结果出现的概率为：,这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在1260次试验中大约出现1次 .,解：七个字母的排列总数为7！,更多的例子,这