模糊数学教学课件 1

1、2020年9月15日,1,模糊数学绪论,用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为： 1.确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律 性靠经典数学去刻画； 2.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律 性靠概率统计去刻画; 3.模糊现象：如 “今天天气很热”，“小伙子很帅”，等等。 此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。,2020年9月15日,2,年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。,共同特点：模糊概念的外延不清楚。,模糊概念导致模糊现象,模糊数学研究和揭示模糊现象的定量处理方法。,模糊数

2、学绪论,2020年9月15日,3,产生,1965年，L.A. Zadeh（扎德） 发表了文章模糊集 (Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 ),基本思想,用属于程度代替属于或不属于。,某个人属于秃子的程度为0.8, 另一个人属于,秃子的程度为0.3等.,模糊数学绪论,2020年9月15日,4,模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析， 模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支,涉及学科,分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；,模糊产品,洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯,人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、 农业、气象

3、、信息、经济、文学、音乐,模糊数学绪论,2020年9月15日,5,模糊数学绪论,课堂主要内容,一、基本概念,二、主要应用,1. 模糊聚类分析对所研究的事物按一定标准进行分类,模糊集，隶属函数，模糊关系与模糊矩阵,例如，给出不同地方的土壤，根据土壤中氮磷以及有机质含量，PH值，颜色，厚薄等不同的性状，对土壤进行分类。,2020年9月15日,6,2.模糊模式识别已知某类事物的若干标准模型，给出一个具体的对象，确定把它归于哪 一类模型。,模糊数学绪论,例如：苹果分级问题 苹果，有I级，II级，III级，IV级四个等级。 现有一个具体的苹果，如何判断它的级别。,2020年9月15日,7,3.模糊综合评

4、判从某一事物的多个方面进行综合评价,模糊数学绪论,例如：某班学生对于对某一教师上课进行评价 从清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书清晰四方面 给出很好，较好，一般，不好四层次的评价 最后问该班学生对该教师的综合评价究竟如何。,4.模糊线性规划将线性规划的约束条件或目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，其最优解称为原问题的模糊最优解,2020年9月15日,8,模糊数学,2020年9月15日,9,一、经典集合与特征函数,论域U中的每个对象u称为U的元素。,模糊集合及其运算,2020年9月15日,10,. u,A,A,. u,模糊集合及其运算,2020年9月15日,11,其中,函

5、数 称为集合A的特征函数。,模糊集合及其运算,非此及彼,2020年9月15日,12,模糊集合及其运算,亦此亦彼,U,A,模糊集合 ,元素 x,若 x 位于 A 的内部， 则用1来记录， 若 x 位于 A 的外部， 则用0来记录， 若 x 一部分位于 A 的内部，一部分位于 A 的外部，,则用,x 位于 A 内部的长度来表示 x 对于 A 的隶属程度。,2020年9月15日,13, 0, 1 , 0, 1 ,特征函数,隶属函数,二、模糊子集,2020年9月15日,14,模糊集合及其运算,越接近于0,表示 x 隶属于A 的程度越小；,越接近于1,表示 x 隶属于A 的程度越大；,0.5,最具有模糊

6、性，过渡点,2020年9月15日,15,模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：,（1）Zadeh表示法,这里 表示 对模糊集A的隶属度是 。,如“将一1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为,可省略,模糊集合及其运算,2020年9月15日,16,（3）向量表示法,（2）序偶表示法,若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：,模糊集合及其运算,2020年9月15日,17,例1. 有100名消费者，对5种商品 评价，,结果为：,81人认为x1 质量好，53人认为x2 质量好，,所有人认为x3 质量好，没有人认为x4 质量好，24人认为x5 质量好,则模糊集A（质量好）,2020年9月15日,18,例

7、2：考虑年龄集U=0,100，O=“年老”，O也是一个年龄集， u = 20 A，40 呢？札德给出了 “年老” 集函数刻画:,1,0,U,50,100,2020年9月15日,19,再如，Y= “年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属 于这一集合的程度不一样，札德给出它的隶属函数：,1,0,25,50,U,2020年9月15日,20,则模糊集O（年老）,则模糊集Y（年轻）,2020年9月15日,21,2、模糊集的运算,定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义,相等：,包含：,并：,交：,余：,模糊集合及其运算,2020年9月15日,22,例3.,模糊集合及其运算,则：,0.3,0.9,

8、1,0.8,0.6,0.2,0.1,0.8,0.3,0.5,2020年9月15日,23,模糊集合及其运算,并交余计算的性质,1. 幂等律,2. 交换律,3. 结合律,4. 吸收律,2020年9月15日,24,模糊集合及其运算,6. 0-1律,7. 还原律,8. 对偶律,5. 分配律,2020年9月15日,25,三、隶属函数的确定,1、模糊统计法,模糊统计试验的四个要素：,模糊集合及其运算,2020年9月15日,26,特点：在各次试验中， 是固定的，而 在随机变动。,模糊统计试验过程：,（1）做n次试验，计算出,模糊集合及其运算,2020年9月15日,27,模糊集合及其运算,对129人进行调查,

9、 让他们给出“青年人”的年龄区间，,问年龄 27属于模糊集A（青年人）的隶属度。,2020年9月15日,28,对年龄27作出如下的统计处理：,A(27) = 0.78,2020年9月15日,29,2、指派方法,模糊集合及其运算,一般会有一些大致的选择方向：偏大型，偏小型，中间型。,例如：在论域 中，确定A=“靠近5的数”的隶属函数,中间型,2020年9月15日,30,模糊集合及其运算,可以选取柯西分布中间类型的隶属函数,先确定一个简单的，比如,此时有,不太合理，故改变,2020年9月15日,31,模糊集合及其运算,取,此时有,有所改善。,2020年9月15日,32,3、其它方法,模糊集合及其运

10、算,2020年9月15日,33,模糊集合及其运算,四、模糊矩阵,例如：,2020年9月15日,34,（1）模糊矩阵间的关系及运算,定义：设 都是模糊矩阵，定义,相等：,包含：,模糊集合及其运算,并：,交：,余：,2020年9月15日,35,例4：,模糊集合及其运算,2020年9月15日,36,（2）模糊矩阵的合成,定义：设 称模糊矩阵,为A与B的合成，其中 。,模糊集合及其运算,即：,定义：,设A为 阶，则模糊方阵的幂定义为,2020年9月15日,37,例5：,模糊集合及其运算,2020年9月15日,38,（3）模糊矩阵的转置,模糊集合及其运算,性质：,2020年9月15日,39,（4）模糊矩

11、阵的 截矩阵,显然，截矩阵为Boole矩阵。,模糊集合及其运算,2020年9月15日,40,例6：,模糊集合及其运算,2020年9月15日,41,若要求至少应达到0.5 水平，则有夏、商、 西周、春秋、战国,若要求至少应达到0.7 水平，则有夏、商、西周、春秋, - 截集,2020年9月15日,42,截矩阵的性质：,性质1.,性质2.,性质3.,性质4.,模糊集合及其运算,2020年9月15日,43,下面证明性质1： AB A B,证： AB aijbij； 当 aijbij时， aij() =bij() =1； 当aij bij时， aij() =0, bij() =1； 当aijbij时，

12、 aij() = bij() =0； 综上所述aij()bij()， 故A B .,2020年9月15日,44,证明性质3,设A=(aij)ms, B=(bij)sn, A B=C =(cij)mn,cij() =1 cij (aikbkj),k, (aikbkj) k, aik , bkj k, aik() =bkj() =1 (aik()bkj()=1,cij() =0 cij (aikbkj),k, (aikbkj) k, aik 或 bkj k, aik() =0或bkj() =0 (aik()bkj()=0,所以, cij() =(aik()bkj().,( A B ) = A B

13、.,2020年9月15日,45,（5）特殊的模糊矩阵,定义：若模糊方阵满足,则称A为自反矩阵。,例如,是模糊自反矩阵。,定义：若模糊方阵满足,则称A为对称矩阵。,例如,是模糊对称矩阵。,模糊集合及其运算,2020年9月15日,46,模糊集合及其运算,定义：若模糊方阵满足,则称A为模糊传递矩阵。,例如,是模糊传递矩阵。,2020年9月15日,47,模糊集合及其运算,定义：若模糊方阵Q，S，A满足,则称 S 为 A 的传递闭包，记为 t (A)。,2020年9月15日,48,模糊聚类分析,一、基本概念及定理,2020年9月15日,49,模糊聚类分析,定理：,R是n阶模糊等价矩阵,是等,价的Bool

14、e矩阵。,意义：将模糊等价矩阵转化为等价的Boole矩阵， 可以得到有限论域上的普通等价关系，而等价关系是可以分类的。因此，当在0,1上变动时，由 得到不同的分类。,2020年9月15日,50,模糊聚类分析,2020年9月15日,51,例6：设对于模糊等价矩阵,模糊聚类分析,2020年9月15日,52,模糊聚类分析,画出动态聚类图如下：,0.8,0.6,0.5,0.4,1,2020年9月15日,53,模糊聚类分析,2020年9月15日,54,例7：设有模糊相似矩阵,模糊聚类分析,2020年9月15日,55,二、模糊聚类的一般步骤,、建立数据矩阵,模糊聚类分析,2020年9月15日,56,（1）

15、标准差标准化,模糊聚类分析,2020年9月15日,57,（2）极差正规化,（3）极差标准化,模糊聚类分析,2020年9月15日,58,、建立模糊相似矩阵（标定）,（1）相似系数法,夹角余弦法,相关系数法,模糊聚类分析,2020年9月15日,59,（2）距离法,Hamming距离,Euclid距离,Chebyshev距离,模糊聚类分析,2020年9月15日,60,（3）贴近度法,最大最小法,算术平均最小法,几何平均最小法,模糊聚类分析,2020年9月15日,61,3、聚类并画出动态聚类图,（1）模糊传递闭包法,步骤：,模糊聚类分析,2020年9月15日,62,模糊聚类分析,2020年9月15日,

16、63,解：,由题设知特性指标矩阵为,采用最大值规格化法将数据规格化为,模糊聚类分析,2020年9月15日,64,用最大最小法构造 模糊相似矩阵得到,模糊聚类分析,2020年9月15日,65,用平方法合 成传递闭包,2020年9月15日,66,取 ，得,模糊聚类分析,2020年9月15日,67,取 ，得,取 ，得,模糊聚类分析,2020年9月15日,68,取 ，得,取 ，得,模糊聚类分析,2020年9月15日,69,画出动态聚类图如下：,模糊聚类分析,2020年9月15日,70,(2) 最大树法 由我国吴望名教授提出, 设R是有限论域X上的模糊关系, 称二元有序组G=(X,R)为模糊关系图. 给

17、定X上的模糊关系R后, 可根据Kruskal法得到图G=(X,R)的一棵最大树, 具体做法如下:,2020年9月15日,71,先画出被分类的元素集. 从R中按rij从大到小的顺序依次连枝,标上权重. 若在某一步会出现回路,便不画那一步. 直到所有元素连通为止,这样便得到一棵最大树. 取定0,1，砍断权重低于的枝, 就可得到一个不连通的图, 各连通分支就构成了在水平上的分类. 这种模糊聚类方法叫做最大树法.,2020年9月15日,72,2020年9月15日,73,(3) 编网法 由我国赵汝怀教授提出,它是直接由模糊相似矩阵R 出发，经过“编网”直接完成聚类的。 具体做法是：取定水平0，1，求得截

18、矩阵 R，并将R的主对角线上填入元素，在主对角线的 下三角部分，以“*”号代替R中的“1”，而“0” 则略去。由“*”号向主对角线上引经线（竖线） 和纬线（横线），即称之为“编网”，凡能由经线 和纬线互相连结的元素则属于同类。(上例),2020年9月15日,74,模糊聚类分析的简要流程:,2020年9月15日,75,4、最佳阈值的确定,模糊聚类分析,（1） 按实际需要，调整 的值，或者是专家给值。,（2） 用 F - 统计量确定最佳值。,针对原始矩阵 X，得到,其中，,设对应于 的分类数为 r ,第 j 类的样本数为 nj ,第 j 类的样本记为：,2020年9月15日,76,则第j类的聚类中

19、心为向量：,其中， 为第k个特征的平均值,作F - 统计量,模糊聚类分析,2020年9月15日,77,模糊聚类分析,若是,则由数理统计理论知道类与类之间的差异显著,若满足不等式的 F 值不止一个，则可进一步考察,差值 的大小，从较大者中选择一个即可。,其中,2020年9月15日,78,模糊模式识别,2020年9月15日,79,模式识别是科学、工程、经济、社会以至生活中经常遇到并要处理的基本问题。这一问题的数学模式就是在已知各种标准类型(数学形式化了的类型)的前提下，判断识别对象属于哪个类型？对象也要数学形式化，有时数学形式化不能做到完整，或者形式化带有模糊性质，此时识别就要运用模糊数学方法。,

20、模糊模式识别,2020年9月15日,80,在科学分析与决策中，我们往往需要将搜集到的历史资料归纳整理，分成若干类型，以便使用管理。当我们取到一个新的样本时，把它归于哪一类呢？或者它是不是一个新的类型呢？这就是所谓的模式识别问题。在经济分析，预测与决策中，在知识工程与人工智能领域中，也常常遇到这类问题。 本节介绍两类模式识别的模糊方法。一类是元素对标准模糊集的识别问题 点对集；另一类是模糊集对标准模糊集的识别问题 集对集。,模糊模式识别,2020年9月15日,81,例1. 苹果的分级问题 设论域 X = 若干苹果。苹果被摘下来后要分级。一般按照苹果的大小、色泽、有无损伤等特征来分级。于是可以将苹

21、果分级的标准模型库规定为 = 级，级，级，级，显然，模型级，级，级，级是模糊的。当果农拿到一个苹果 x0 后，到底应将它放到哪个等级的筐里，这就是一个元素（点）对标准模糊集的识别问题。,模糊模式识别,2020年9月15日,82,例2. 医生给病人的诊断过程实际上是模糊模型识别过程。设论域 X = 各种疾病的症候 (称为症候群空间) 。各种疾病都有典型的症状，由长期临床积累的经验可得标准模型库 = 心脏病，胃溃疡，感冒，显然，这些模型(疾病)都是模糊的。病人向医生诉说症状(也是模糊的)，由医生将病人的症状与标准模型库的模型作比较后下诊断。这是一个模糊识别过程，也是一个模糊集对标准模糊集的识别问题

22、。,模糊模式识别,2020年9月15日,83,点对集,1. 问题的数学模型 (1) 第一类模型：设在论域 X 上有若干模糊集：A1，A2，AnF ( X )，将这些模糊集视为 n 个标准模式，x0 X 是待识别的对象，问 x0 应属于哪个标准模式 Ai ( i =1，2， n ) ?,(2) 第二类模型：设 AF ( X )为标准模式，x1, x2, , xn X 为 n 个待选择的对象，问最优录选对象是哪一个 xi (i =1，2， n ) ?,模糊模式识别,2020年9月15日,84,一最大隶属原则,最大隶属原则：,最大隶属原则：,模糊模式识别,2020年9月15日,85,模糊模式识别,2

23、020年9月15日,86,例: 选择优秀考生。设考试的科目有六门 x1：政治 x2：语文 x3：数学 x4：理、化 x5：史、地 x6：外语 考生为 y1，y2，yn，组成问题的论域 Y = y1, y2, , yn。设 A = “优秀”，是 Y 上的模糊集，A(yi) 是第 i 个学生隶属于优秀的程度。给定 A(yi) 的计算方法如下：,模糊模式识别,2020年9月15日,87,式中 i =1, 2, , n 是考生的编号，j =1, 2, ,6 是考试科目的编号， j 是第 j 个考试科目的权重系数。按照最大隶属度原则，就可根据计算出的各考生隶属于“优秀”的程度（隶属度）来排序。 例如若令

24、 1= 2= 3=1， 4= 5= 0.8， 6= 0.7, 有 四个考生 y1, y2, y3, y4，其考试成绩分别如表 3.4,模糊模式识别,2020年9月15日,88,表 3.4 考生成绩表,模糊模式识别,2020年9月15日,89,则可以计算出 于是这四个考生在“优秀”模糊集中的排序为： y2, y4, y1, y3.,模糊模式识别,2020年9月15日,90,例: 在论域X=0,100分数上建立三个表示学习成绩的模糊集A=“优”,B =“良”,C =“差”.当一位同学的成绩为88分时,这个成绩是属于哪一类？,A(88) =0.8,2020年9月15日,91,B(88) =0.7,2

25、020年9月15日,92,A(88) =0.8, B(88) =0.7, C(88) =0.,根据最大隶属原则,88分这个成绩应隶属于A,即为“优”.,2020年9月15日,93,例: 论域 X = x1(71), x2(74), x3(78) 表示三个学生的成绩,那一位学生的成绩最差？ C(71) =0.9, C(74) =0.6, C(78) =0.2, 根据最大隶属原则， x1(71)最差.,2020年9月15日,94,例: 细胞染色体形状的模糊识别,细胞染色体形状的模糊识别就是几何图形的 模糊识别,而几何图形常常化为若干个三角图 形,故设论域为三角形全体.即 X=(A,B,C )| A

26、+B+C =180, ABC 标准模型库=E(正三角形),R(直角三角形), I(等腰三角形), IR(等腰直角三形), T(任意三角形).,2020年9月15日,95,某人在实验中观察到一染色体的几何形状， 测得其三个内角分别为94,50,36,即待识别 对象为x0=(94,50,36). 问x0应隶属于哪一种三角形？,2020年9月15日,96,先建立标准模型库中各种三角形的隶属函数.,直角三角形的隶属函数R(A,B,C)应满足下列约束条件： (1) 当A=90时, R(A,B,C)=1; (2) 当A=180时, R(A,B,C)=0; (3) 0R(A,B,C)1.,因此，不妨定义R(

27、A,B,C ) = 1 - |A - 90|/90. 则R(x0)=0.955.,2020年9月15日,97,正三角形的隶属函数E(A,B,C)应满足下列约束条件：,(1) 当A = B = C = 60时, E(A,B,C )=1; (2) 当A = 180, B = C = 0时, E(A,B,C)=0; (3) 0E(A,B,C)1.,因此，不妨定义E(A,B,C ) = 1 (A C)/180.则E(x0) =0.677.,2020年9月15日,98,等腰三角形的隶属函数I(A,B,C)应满足下列约束条件：,(1) 当A = B 或者 B = C时, I(A,B,C )=1; (2)

28、当A = 120, B = 60, C = 0时, I(A,B,C ) = 0; (3) 0I(A,B,C )1.,因此，不妨定义 I(A,B,C ) = 1 (A B)(B C)/60. 则I(x0) =0.766.,2020年9月15日,99,等腰直角三角形的隶属函数 (IR)(A,B,C) = I(A,B,C)R (A,B,C);,(IR) (x0)=0.7660.955=0.766.,任意三角形的隶属函数 T(A,B,C) = IcRcEc= (IRE)c.,T(x0) =(0.7660.9550.677)c = (0.955)c = 0.045.,通过以上计算,R(x0) = 0.9

29、55最大,所以x0应隶属于直角三角形.,2020年9月15日,100,阈值原则：,模糊模式识别,有时我们要识别的问题，并非是已知若干模糊集求论域中的元素最大隶属于哪个模糊集（第一类模型），也不是已知一个模糊集，对论域中的若干元素选择最佳隶属元素（第二类模型），而是已知一个模糊集，问论域中的元素，能否在某个阈值的限制下隶属于该模糊集对应的概念或事物，这就是阈值原则，该原则的数学描述如下：,2020年9月15日,101,模糊模式识别,2020年9月15日,102,例如 已知 “青年人” 模糊集 Y，其隶属度规定为 对于 x1 = 27 岁及 x2 = 30 岁的人来说，若取阈值,模糊模式识别,20

30、20年9月15日,103,1 = 0.7，,模糊模式识别,故认为 27 岁和 30 岁的人都属于“青年人” 范畴。,则因 Y(27) = 0.862 1，,而 Y(30) = 0.5 1 ，,故认为 27 岁的人尚属于“青年人” ，而 30 岁人的则不属于“青年人” 。,若取阈值 2 = 0.5，,则因 Y(27) = 0.862 2,而 Y(30) = 0.5 = 2 ，,2020年9月15日,104,模糊模式识别,集对集,例如：论域为“茶叶”，标准有5种 待识别茶叶为B，反映茶叶质量的6个指标为：条索，色泽，净度，汤色，香气，滋味，确定 B 属于哪种茶,2020年9月15日,105,在实际

31、问题中，我们常常要比较两个模糊集的模糊距离或模糊贴近度，前者反映两个模糊集的差异程度，后者则表示两个模糊集相互接近的程度，这是一个事情的两个方面。如果待识别的对象不是论域 X 中的元素 x，而是模糊集 A，已知的模糊集是 A1, A2, , An，那么问 A 属于哪个 Ai (i = 1, 2, n)？就是另一类模糊模式识别问题 集对集。解决这个问题，就必须先了解模糊集之间的距离或贴近度。,2020年9月15日,106,1. 距离判别分析 定义 设 A、B F ( X )。称如下定义的dP(A, B) 为 A 与 B 的 Minkowski (闵可夫斯基) 距离 (P1)： ) 当 X = x

32、1, x2, , xn 时， ) 当 X = a, b 时，,模糊模式识别,2020年9月15日,107,特别地， p=1 时，称 d 1(A, B) 为 A 与 B 的 Hamming (海明) 距离。 p=2 时，称 d2(A, B) 为 A 与 B 的 Euclid (欧几里德) 距离。 有时为了方便起见，须限制模糊集的距离在 0, 1中，因此定义模糊集的相对距离 dp(A, B) ，相应有 (1) 相对 Minkowski 距离,模糊模式识别,2020年9月15日,108,(2) 相对 Hamming 距离,模糊模式识别,2020年9月15日,109,(3) 相对 Euclid 距离,

33、模糊模式识别,2020年9月15日,110,有时对于论域中的元素的隶属度的差别还要考虑到权重 W(x)0，此时就有加权的模糊集距离。一般权重函数满足下述条件： 当 X = x1，x2，xn 时，有 当 X = a, b 时，有 加权 Minkowski 距离定义为,模糊模式识别,2020年9月15日,111,加权 Hamming 距离定义为 加权 Euclid 距离定义为,模糊模式识别,2020年9月15日,112,例 欲将在 A 地生长良好的某农作物移植到 B地或 C 地，问 B、C 两地哪里最适宜？ 气温、湿度、土壤是农作物生长的必要条件，因而 A、B、C 三地的情况可以表示为论域 X =

34、 x1 (气温)，x2 (湿度)，x3 (土壤) 上的模糊集，经测定，得三个模糊集为,模糊模式识别,2020年9月15日,113,由于 dw1( A, B ) dw1( A, C )，说明 A，B 环境比较相似，该农作物宜于移植 B 地。,模糊模式识别,设权重系数为 W = ( 0.5, 0.23, 0.27 )。计算 A 与 B 及 A 与 C 的加权 Hamming 距离，得,2020年9月15日,114,2、贴近度,模糊模式识别,按上述定义可知，模糊集的内积与外积是两个实数。,AB=,定义 设 A，B F (U)，称,为 A 与 B 的内积，称,为 A 与 B 的外积。,2020年9月1

35、5日,115,比较，可以看出 AB 与 ab 十分相似，只要把经典数学中的内积运算的加 “+” 与乘 “ ” 换成取大 “” 与取小 “” 运算，就得到 AB。,模糊模式识别,若 X =x1, x2, xn，记 A(xi) = ai，B(xi) = bi，则,与经典数学中的向量 a = a1, a2, an 与向量 b = b1, b2, bn 的内积,2020年9月15日,116,例 设 X =x1, x2, x3, x4, x5, x6, 则,A B,模糊模式识别,2020年9月15日,117,例 设 A，BF (R)，A、B 均为正态型模糊集，其隶属函数如图 3.33,模糊模式识别,20

36、20年9月15日,118,由定义知AB 应为 max( AB ) ，隶属度曲线CDE 部分的峰值，即曲线 A(x) 与 B(x) 的交点 x* 处的纵坐标。为求 x*，令,解得,于是,类似地，由于,故 A B=0。,模糊模式识别,2020年9月15日,119,模糊模式识别,表示两个模糊集A，B之间的贴近程度。,或 L( A，B) = ( AB) ( A B)C,2020年9月15日,120,C =,C =,故B比A更贴近于.,模糊模式识别,2020年9月15日,121,模糊模式识别,2020年9月15日,122,模糊模式识别,2020年9月15日,123,二、择近原则I,模糊模式识别,2020

37、年9月15日,124,模糊模式识别,例如：论域为“茶叶”，标准有5种 待识别茶叶为B，反映茶叶质量的6个指标为：条索，色泽，净度，汤色，香气，滋味，确定 B 属于哪种茶,B)，,2020年9月15日,125,模糊模式识别,计算得,故茶叶 B 为 A1 型茶叶。,2020年9月15日,126,蠓的分类,下图给出了9只Af和6只Apf蠓的触角长和翼 长数据, 其中“”表示Apf,“”表示Af.根据 触角长和翼长来识别一个标本是Af还是Apf 是重要的. 给定一只Af族或Apf族的蠓,如何正确地区分 它属于哪一族？将你的方法用于触角长和翼 长分别为(1.24,1.80), (1.28,1.84),

38、(1.40,2.04)三个标本.,2020年9月15日,127,2020年9月15日,128,先将已知蠓重新进行分类,2020年9月15日,129,当 = 0.919时,分为3类1, 2, 3, 6, 4, 5, 7, 8, 9,10, 11, 12, 13, 14, 15,三类的中心向量分别为(1.395, 1.770),(1.560, 2.080),(1.227, 1.927).,A1 = (0.200, 0.637) (Af 蠓), A2 = (0.390, 1.000) (Af 蠓), A3 = (0.000, 0.821) (Apf 蠓),2020年9月15日,130,再将三只待识别

39、的蠓用上述变换分别变为,B1= (0.015, 0.672), B2 = (0.062, 0.719), B3 = (0.203, 0.953 ).,采用贴近度,3 (A, B) =,2020年9月15日,131,计算得： 3(A1, B1) = 0. 89, 3(A2, B1) = 0.65, 3(A3, B1) = 0.92. 3(A1, B2) = 0.89, 3(A2, B2) = 0.69, 3(A3, B2) = 0.92. 3(A1, B3) = 0.84, 3(A2, B3) = 0.88, 3(A3, B3) = 0.83. 根据择近原则及上述计算结果,第一只待识别的蠓(1.

40、24, 1.80)属于第三类,即Apf 蠓；第二只待识别的蠓(1.28, 1.84)属于第三类,即Apf 蠓；第三只待识别的蠓(1.40, 2.04)属于第二类,即Af 蠓.,2020年9月15日,132,择近原则II,AiF(U),(i=1,2,n) Ai=(Ai1,Ai2,Aim) B=(B1,B2,Bm) Si=minD(B1,Ai1),D(B2,Ai2),D(Bm,Aim) Si0=maxS1,S2,Sn B应归为第i0类。,2020年9月15日,133,模糊决策,模糊集中意见决策 模糊二元对比决策 模糊综合评判决策,2020年9月15日,134,模糊集中意见决策,为了对论域U =u1

41、, u2, , un中的元 素进行排序,由m个专家组成专家小组M,分 别对U中的元素排序,得到m种意见： V =v1, v2, , vm, 其中vi 是第i 种意见序列,即U 中的元素的某 一个排序.若uj在第i 种意见vi中排第k位,则 令Bi(uj)=nk,称,2020年9月15日,135,为uj的Borda数.此时论域U的所有元素可按Borda数的大小排序,此排序就是比较合理的.,2020年9月15日,136,例: 设U =a, b, c, d, e, f , |M|= m = 4人, v1: a, c, d, b, e, f v2: e, b, c, a, f ,d v3: a, b,

42、 c, e, d, f v4: c, a, b, d, e, f B(a)=5+2+5+4=16; B(b)=2+4+4+3=13; B(c)=4+3+3+5=15; B(d)=3+0+1+2=6; B(e)=1+5+2+1=9; B(f )=0+1+0+0=1; 按Borda数集中后的排序为： a, c, b, d, e, f .,2020年9月15日,137,例 设有6名运动员U =u1, u2, u3, u4, u5, u6 参加五项全能比赛, 已知他们每项比赛的成绩下： 200m跑 u1, u2, u4, u3, u6, u5； 1500m跑 u2, u3, u6, u5, u4, u

43、1； 跳远 u1, u2, u4, u3, u5, u6； 掷铁饼 u1, u2, u3, u4, u6, u5； 掷标枪 u1, u2, u4, u5, u6, u3；,2020年9月15日,138,B(u1)=5+0+5+5+5=20; B(u2)=4+5+4+4+4=21; B(u3)=2+4+2+3+0=11; B(u4)=3+1+3+2+3=12; B(u5)=0+2+1+0+2=5; B(u6)=1+3+0+1+1=6; 按Borda数集中后的排序为：u2, u1, u4, u3, u6, u5,2020年9月15日,139,若uj在第i 种意见vi中排第k位，设第k位的权重为ak

44、，则令Bi(uj)= ak(n k )，称,为uj的加权Borda数。,2020年9月15日,140,B(u1)=7, B(u2)=5.75, B(u3)=1.98, B(u4)=1.91, B(u5)=0.51, B(u6)=0.75. 按加权Borda数集中后的排序为： u1, u2, u3, u4, u6, u5,2020年9月15日,141,模糊二元对比决策,择优比较决策法： 例：假设要求有1000人在 X=红，橙，黄，绿，蓝 五种颜色中选优。在颜色论域上定义一个称作“最 佳颜色”的模糊集。下表就是一个评价调查表。,2020年9月15日,142,2020年9月15日,143,优先决策法

45、,设论域X =x1, x2, , xn为n个被选方案,在 n个被选方案中建立一种模糊优先关系,即先两两进 行比较,再将这种比较模糊化. 然后用模糊数学方法 给出总体排序,这就是模糊二元对比决策.在xi与xj 作对比时,用rij表示xi比xj的优先程度,并且要求ri 满足 rii = 1(便于计算)； 0rij1； 当ij 时,rij + rji = 1. 这样的rij组成的矩阵R = (rij)nn称为模糊优先 矩阵, 由此矩阵确定的关系称为模糊优先关系.,2020年9月15日,144,优先决策法步骤, 建立模糊优先关系 先两两进行比较，建立模糊优先矩阵R = (rij)nn. 排序方法： 隶

46、属函数法：直接对模糊优先矩阵进行适当的 数学加工处理,得到X上模糊优先集A的隶属函数,再 根据各元素隶属度的大小给全体对象排出一定的优 劣次序.通常采用方法： 取小法：A(xi) =rij|1jn, i =1, 2, , n; 平均法：A(xi) =(ri1 + ri2 + + rin)/n, i =1, 2, , n.,2020年9月15日,145,- 截矩阵法 即取定阈值,确定优先对象. 取定阈值0,1得-截矩阵R = (rij() )nn, 当由1逐渐下降时,若R中首次出现第k行的元素全等于1 时,则认定xk是第一优先对象(不一定唯一). 再在R中划去 xk所在的行与列,得到一个新的n

47、-1阶模糊优先矩阵,用同 样的方法获取的对象作为第二优先对象；如此进行下去,可 将全体对象排出一定的优劣次序. 下确界法 先求R每一行的下确界,以最大下确界所在行对 应的xk是第一优先对象(不一定唯一). 再在R中划去xk所 在的行与列,得到一个新的n -1阶模糊优先矩阵,再以此类推.,2020年9月15日,146,模糊综合评判,一级模糊综合评判,2020年9月15日,147,模糊综合评判,2020年9月15日,148,模糊综合评判,2020年9月15日,149,模糊综合评判,2020年9月15日,150,模糊综合评判,2020年9月15日,151,2020年9月15日,152,2020年9月

48、15日,153,根据运算的不同定义，可得到以下不同模型：,模糊综合评判,2020年9月15日,154,例如有单因素评判矩阵,则B(0.18, 0.18, 0.18, 0.18),2020年9月15日,155,模糊综合评判,2020年9月15日,156,模糊综合评判,2020年9月15日,157,其中：,模糊综合评判,2020年9月15日,158,例 ：“晋升”的数学模型. 以高校老师晋升教授为例：因素集U =政治表现 及工作态度,教学水平,科研水平,外语水平, 评判集V=好,较好,一般,较差,差. 因素 好 较好 一般 较差 差 政治表现及工作态度 4 2 1 0 0 教学水平 6 1 0 0

49、 0 科研水平 0 0 5 1 1 外语水平 2 2 1 1 1,2020年9月15日,159,给定以教学为主的权重A = (0.2, 0.5, 0.1, 0.2)，分别用M(,)、 M( , )模型所作评判下：M(,)： B = (0.5, 0.2, 0.14, 0.14, 0.14) 归一化后，B = (0.46, 0.18, 0.12, 0.12, 0.12) M( , )： B = (0.6, 0.19, 0.13, 0.04, 0.04),2020年9月15日,160,模糊综合结论,最后通过对模糊评判向量B的分析作出综合结论一般可以采用以下三种方法： (1) 最大隶属原则 (2) 加

50、权平均原则,评价等级集合为=很好，好，一般，差，各等级赋值分别为4，3，2，1,2020年9月15日,161,例：某地对区级医院20012002年医疗质量进行总体评价与比较，按分层抽样方法抽取两年内某病患者1250例，其中2001年600例，2002年650例患者年龄构成与病情两年间差别没有统计学意义，观察三项指标分别为疗效、住院日、费用规定很好、好、一般、差的标准见表1，病人医疗质量各等级频数分布见表2,2020年9月15日,162,表 1,2020年9月15日,163,现综合考虑疗效、住院日、费用三项指标对该医院2001与2002两年的工作进行模糊综合评价,2020年9月15日,164,1

51、)据评价目的确定评价因素集合 评价因素集合为=疗效，住院日，费用 2)给出评价等级集合 如评价等级集合为=很好，好，一般，差 3)确定各评价因素的权重 设疗效，住院日，费用各因素权重依次为0.5，0.2，0.3，即,2020年9月15日,165,4)2001年与2002年两个评价矩阵分别为,2020年9月15日,166,5)综合评价,2020年9月15日,167,2020年9月15日,168,2020年9月15日,169,实例：某平原产粮区进行耕作制度改革，制定了甲(三种三收) 乙(两茬平作),丙(两年三熟) 3种方案,主要评价指标有：粮食亩产量，农产品质量，每亩用工量，每亩纯收入和对生态平衡

52、影响程度共5项，根据当地实际情况，这5个因素的权重分别为0.2, 0.1, 0.15, 0.3, 0.25,其评价等级如下表,2020年9月15日,170,经过典型调查，并应用各种参数进行谋算预测，发现3种方案的5项指标可达到下表中的数字，问究竟应该选择哪种方案。,过程：,因素集,权重,A（0.2, 0.1, 0.15, 0.3, 0.25）,评判集,2020年9月15日,171,建立单因素评判矩阵：因素与方案之间的关系可以通过建立隶属函数，用模糊关系矩阵来表示。,2020年9月15日,172,2020年9月15日,173,2020年9月15日,174,2020年9月15日,175,2020年

53、9月15日,176,多级模糊综合评判（以二级为例）,问题：对高等学校的评估可以考虑如下方面,模糊综合评判,2020年9月15日,177,二级模糊综合评判的步骤：,模糊综合评判,2020年9月15日,178,模糊综合评判,2020年9月15日,179,模糊综合评判,2020年9月15日,180,模糊综合评判,2020年9月15日,181,模糊综合评判,2020年9月15日,182,模糊综合评判,2020年9月15日,183,模糊综合评判,2020年9月15日,184,模糊综合评判,2020年9月15日,185,权重的确定方法,在模糊综合评判决策中,权重是至关重要的,它反 映了各个因素在综合决策过

54、程中所占有的地位或所 起的作用,它直接影响到综合决策的结果. 凭经验给出的权重,在一定的程度上能反映实际 情况,评判的结果也比较符合实际,但它往往带有主 观性,是不能客观地反映实际情况,评判结果可“真”.,2020年9月15日,186,频数统计方法,对每一个因素uj ,在k个专家所给的权重aij中 找出最大值Mj和最小值mj ,即 Mj =maxaij|1 i k, j =1, 2 , n; mj =minaij|1 i k, j =1, 2 , n. (2) 选取适当的正整数p,将因素uj所对应的权重 aij从小到大分成p组,组距为(Mj - mj)/p. (3) 计算落在每组内权重的频数与

55、频率 (4) 取最大频率所在分组的组中值(或邻近的值)作 为因素uj的权重. (5) 将所得的结果归一化.,2020年9月15日,187,层次分析法（AHP）,1、构造两两比较判断矩阵 在递阶层次结构中，设上一层元素C为准则，所支配的下一 层元素为u1,u2,un对于准则C相对重要性即权重。这通 常可分两种情况： （1）如果u1,u2,un对C的重要性可定量（如可以使用 货币、重量等），其权重可直接确定。 （2）如果问题复杂，u1,u2,un对于C的重要性无法直 接定量，而只能定性，那么确定权重用两两比较方法。其方 法是：对于准则C，元素ui和uj哪一个更重要，重要的程度 如何，通常按19比例

56、标度对重要性程度赋值，下表中列 出了19标度的含义。,2020年9月15日,188,标度 含义 1 表示两个元素相比，具有同样重要性 3 表示两个元素相比，前者比后者稍重要 5 表示两个元素相比，前者比后者明显重要 7 表示两个元素相比，前者比后者强烈重要 9 表示两个元素相比，前者比后者极端重要 2，4，6，8 表示上述相邻判断的中间值 倒数 若元素i与j的重要性之比为aij，那么j元素 与i元素重要性之比为1/ aij,2020年9月15日,189,对于准则C，n个元素之间相对重要性的比较得到一个两两比较判断矩阵,其中 aij就是元素i和j相对于C的重要性的比例标度。判断矩阵A具有下列性质

57、：aij0，aji=1/aij，aii=1,若判断矩阵A的所有元素满足,则称A为一致性矩阵。,不是所有的判断矩阵都满足一致性条件，也没有必要这样要求，只是在特殊情况下才有可能满足一致性条件。,2020年9月15日,190,单一准则下元素相对权重的计算,已知n个元素u1,u2,un对于准则C的判断矩阵为A，求u1,u2,un对于准则C的相对权重写成向量形式即为,（1）权重计算方法。 和法。将判断矩阵A的n个行向量归一化后的算术 平均值，近似作为权重向量，即,2020年9月15日,191,类似的还有列和归一化方法计算，即,2020年9月15日,192,根法（即几何平均法）。将A的各个行向量进行几何

58、平均，然后归一化，得到的行向量就是权重向量。其公式为,2020年9月15日,193,特征根法（简记EM）。解判断矩阵A的特征根问题,式中， 是A的最大特征根，W是相应的特征向量，所得到的W经归一化后就可作为权重向量。,2020年9月15日,194,判断矩阵的一致性检验,在计算单准则下权重向量时，还必须进行一致性检验。在判断矩阵的构造中，并不要求判断具有传递性和一致性，这是由客观事物的复杂性与人的认识的多样性所决定的。但要求判断矩阵满足大体上的一致性是应该的。如果出现“甲比乙极端重要，乙比丙极端重要，而丙又比甲极端重要”的判断，则显然是违反常识的，一个混乱的经不起推敲的判断矩阵有可能导致决策上的

59、失误。而且上述各种计算排序权重向量（即相对权重向量）的方法，在判断矩阵过于偏离一致性时，其可靠程度也就值得怀疑了，因此要对判断矩阵的一致性进行检验，具体步骤如下：,2020年9月15日,195,计算一致性指标C.L. (consistency index),查找相应的平均随机一致性指标R.I. 下表给出了115阶正互反矩阵计算1000次得到的平均随机一致性指标,2020年9月15日,196,平均随机一致性指标R.I. 矩阵阶数 1 2 3 4 5 6 R.L 0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 矩阵阶数 7 8 9 10 11 R.L 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52