概率论-课程总结

1、概率论与数理分析,课程总结,1 阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关 系及运算。 2 给出了随机事件的频率及概率的含义和基本性 质。 3 给出了古典概率的定义及其计算公式。 4 给出了条件概率的定义及乘法公式、全概率 公式和贝叶斯公式。 5 给出了随机事件独立性的概念，会利用事件 独立性进行概率计算。,第一章 概率论的基本概念,1 阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关 系及运算。要求：理解,10 包含关系,20 和事件,30 积事件,40 差事件,50 互不相容,60 对立（互逆）事件,“A发生必然导致B发生”,“A，B中至少有一发生”,“A与B同时发生”,“A发生但B不发生 ”,“A

2、与B不能同时发生”,第一章 概率论的基本概念,事件间的关系与运算举例；,“A，B，C中至少有一发生” ：,“A，B，C中至少有两发生” ：,“A，B，C中最多有一发生” ：,De Morgan定律:,随机事件的运算规律,第一章 概率论的基本概念,2 给出了随机事件的频率及概率的含义和基本性 质。要求熟练掌握概率的基本性质：,（非负性）,（正则性或正规性）,（可列可加性）,（1） 概率的（公理化）定义,第一章 概率论的基本概念,（有限可加性）,（包含可减性）,（非降性）,（逆事件的概率公式）,（2） 概率的性质与推广,（加法公式）,第一章 概率论的基本概念,（加法公式）,重 要 推 广,常用公式

3、,第一章 概率论的基本概念,特点是： 样本空间的元素只有有限个； (有限性) 每个基本事件发生的可能性相同。（等可能性）,3 等可能概型（古典概型）,随机事件的概率:,第一章 概率论的基本概念,二、缩小样本空间法-适用于古典概型,一、公式法,设事件A所含样本点数为 ,事件AB所含样本点数为 ,则,4 给出了条件概率的定义及乘法公式、全概率 公式和贝叶斯公式。要求掌握：,（1）条件概率的定义、计算公式：,第一章 概率论的基本概念,（2） 乘法公式,（3）全概率公式,（已知原因，求结果）,第一章 概率论的基本概念,（4）Bayes（逆概）公式：,（已知结果，求原因）,第一章 概率论的基本概念,（1

4、） 两事件独立的定义,（2）两事件独立性的性质：,事件A 与 B 相互独立的充分必要条件为：,5 给出了随机事件独立性的概念，会利用事件 独立性进行概率计算。,若随机事件 A 与 B 相互独立，则,也相互独立.,第一章 概率论的基本概念,注意1：两事件相互独立与互不相容的区别： “A与B互不相容”，指两事件不能同时发生，即 P（AB）=0。 “A与B相互独立”，指A是否发生不影响B 发生的概率，即P（AB）=P（A）P（B）或,必然事件S与任意随机事件A相互独立； 不可能事件与任意随机事件A相互独立,第一章 概率论的基本概念,注意2：,设事件 A 与 B 满足：,即：若事件 A 与 B 相互独

5、立，则 AB；,若 AB =，则事件 A 与 B 不相互独立。,则互不相容与相互独立不能同时成立。,（3）三个事件的独立性,第一章 概率论的基本概念,2 、三个事件的独立性,设A、B、C是三个随机事件，如果,则称A、B、C是相互独立的随机事件,第一章 概率论的基本概念,注意3：,在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不 可的即：前三个等式的成立不能推出第四等 式的成立；反之，最后一个等式的成立也推不出 前三个等式的成立,注意4 三个事件相互独立的性质： 若A，B，C是相互独立的三个事件，则,第一章 概率论的基本概念,（4）n个事件的相互独立性,第一章 概率论的基本概念,2 给出了离散型随机变

6、量及其分布率的定义、性 质，要求: (1) 会求离散型随机变量的分布率； （2）已知分布率，会求分布函数以及事件的概率； （3）已知分布函数，会求分布率； （4）会确定分布率中的常数； （5）掌握常用的离散型随机变量分布：两点分布、 二项分布、泊松分布及其概率背景。,1 引进了随机变量的概念，要求会用随机变量表 示随机事件。,第二章 随机变量及其分布,（2）已知概率密度，会求事件的概率； （3）会确定概率密度中的常数； （4）掌握常用的连续型随机变量分布：均匀 分布、指数分布和正态分布。,3 给出了连续型随机变量及概率密度的定义、性质， 要求： （1）掌握概率密度与分布函数之间的关系及其运算；

7、,第二章 随机变量及其分布,4 会求随机变量的简单函数的分布。,解 题 思 路,第二章 随机变量及其分布,定理,设随机变量 X 具有概率密度,则 Y =g(X ) 是一个连续型随机变量 Y，其概率密度为,其中 h(y) 是 g(x) 的反函数， 即,第二章 随机变量及其分布,定理（续）,第二章 随机变量及其分布,一、 要理解二维随机变量的分布函数的定义及性质。,1 二维随机变量(X,Y)的联合分布函数,2 分布函数具有以下的基本性质：,3 已知联合分布函数求边缘分布函数,第三章 多维随机变量及其分布,二、 二维离散型随机变量,性质,2、已知联合分布律，会求边缘分布律,第三章 多维随机变量及其分

8、布,3、会判断离散型随机变量的独立性；,4、已知离散型随机变量X、Y的相互独立以及各,自的（边缘）分布，会求联合分布；,三、 二维连续型随机变量,1 、已知密度函数f(x,y)，会求分布函数F(x,y),第三章 多维随机变量及其分布,2、已知会确定概率密度 中的常数，,3、 会求点 ( X,Y )落在 平面区域G 内 的概率：,第三章 多维随机变量及其分布,4、已知联合密度函数，会求边缘密度函数,5、会判断连续型随机变量的独立性,第三章 多维随机变量及其分布,一、 阐述了数学期望、方差的概念及背景，要掌握 它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学 期望和方差。,1、数学期望：,若x , y独立

9、，则 E(XY)=E(X)E(Y),性质,第四章 随机变量的数字特征,2、随机变量函数的数学期望,设 Y=g(X), g(x) 是连续函数，,第四章 随机变量的数字特征,若(X,Y) 是二维随机变量， 是二元连续函数，,则,(1)若(X,Y) 的分布律为 ，,(2). 若(X,Y)的概率密度为,则,第四章 随机变量的数字特征,第四章 随机变量的数字特征,3、方差,连续型。,性质,第四章 随机变量的数字特征,三、 给出了切比雪夫不等式，要会用切比雪夫不等式作简单的概率估计。,称Y是随机变量X的标准化了的随机变量。,第四章 随机变量的数字特征,二、 要熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀 分布、

10、指数分布和正态分布的数学期望与方差。,1. 两点分布,2. 二项分布,第四章 随机变量的数字特征,3. 泊松分布,5正态分布,6. 指数分布,第四章 随机变量的数字特征,4.均匀分布,1、协方差及相关系数的定义,协方差： COV(X,Y)= E(X-EX)(Y-EY),特别 COV（X，X）=DX,注意 1: COV（X，Y）=E(XY)- E(X)E(Y),注意 2:,D(aX+bY)=,特别,相关系数,四、 引进了协方差、相关系数的概念，要掌握它们的性质与计算。,第四章 随机变量的数字特征,定理：若X，Y独立，则X,Y不相关。,但是，X，Y不相关，不一定有X，Y相互独立。,2、协方差的性质

11、,第四章 随机变量的数字特征,说 明,X与Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系。,3、相关系数的性质,第四章 随机变量的数字特征,则 X，Y独立 =0X，Y不相关。,五、 要掌握二维正态随机变量的不相关与独立的等价性。,第四章 随机变量的数字特征,5、n维正态分布的性质,4) 相互独立的一维正态随机变量的线性组合服从正态分布,第四章 随机变量的数字特征,定理,（独立同分布的中心极限定理）,设 是独立同分布的随机变量序列，且,（林德伯格-列维（Lindeberg-Levy)中心极限定理）,第五章 大数定律及中心极限定理,若 是独立同分布的随机变量序列，且,近似服从标准正态分布,近似服从正态

12、分布,或,说明1：,由定理知：,则,近似,或,第五章 大数定律及中心极限定理,第五章 大数定律及中心极限定理,(De Moivre-Laplace),第五章 大数定律及中心极限定理,设随机变量 服从参数为 n , p (0p1) 的二项分布, 当 n 充分大时有：,公式 2）给出了n 较大时二项分布的概率 计算方法。,说明2：,由定理知：,近似服从标准正态分布,第五章 大数定律及中心极限定理,的联合分布函数为：,2、若设X的概率密度为f(x)， 则的联合概率密度为：,一、 给出了总体、个体、样本和统计量的概念，要会求样本的分布：,第六章 样本及抽样分析,3、若X的分布律为 ，则 的联合分布律为：,第六章 样本及抽样分析,二、 掌握样本均值和样本方差的计算及基本性质。,设为来自总体 的一个样本，,则,第六章 样本及抽样分析,三、掌握三个分布 : 分 布、t分布、F分布的定义及性质，会查表计算。,第六章 样本及抽样分析,第六章 样本及抽样分析,第六章 样本及抽样分析,第六