第二章 质点运动学

1、第二章 质点运动学习题解答2.1.1质点的运动学方程为(1)；(2)求质点的运动轨迹并用图表示。解: （1）则轨迹为 y =5 的直线 （2）则轨迹为2.1.2质点运动学方程为(1).求质点轨迹。（2）求自t= -1至t= 1质点的位移。解：（1） z=2则xy=1 z=2即为轨迹 z=2 平面上的双曲线（2）t=-1时，z=2t=1时，则位移 2.1.3质点的运动学方程为。 (1)求质点的轨迹。（2）求自t=0至t=1质点的位移。解：（1）轨迹为 （2）时时则大小方向与x轴夹角为26o362.2.1雷达站于某瞬时测得飞机位置为，度。0.75S后测得,度,、均在铅直平面内。求飞机瞬时速率的近似

2、值和飞行方向(角)。解： 瞬时速率飞行方向：由,2.2.2一小圆柱体沿岸抛物线轨道运动,抛物线轨道为(长度:mm)。第一次观察到圆柱体在x=249米处,经过时间2ms后圆柱体移到x=234米处。求圆柱体瞬时速度的近似值。解：由轨迹方程， ， ,，瞬时速度的方向：2.2.3一人在北京音乐厅内听音乐,离演奏者17米，另一人在广州听同一演秦的转播,广州离北京2320km,收听者离收音机2米,问谁先听到声音?声速为340m/s。电磁波的传播速率为30万km/s。解：在广州的听众先听到。2.2.5火车进入弯道时减速,最初列车向北以90km/h.速率行驶,3min后以70km/h速率向北偏西30度方向行驶

3、.求列车的平均加求速度。解：方向：（正南偏西） 2.2.6 (1) ,R为正常数.求（1）t=0,/2时的速度和加速度。(2).求t=0,1时的速度和加速度.(写出正交分解式)。解：由（1）t = 0 时，t = 时，t = 0 时，t = 时，（2）t = 0 时，t = 1时，t = 0 时，t = 1 时，2.3.1图中a、b、c表示质点沿直线运动三种不同情况下的xt图。是说明三种运动的特点（即速度，计时起点时质点的位置坐标，位于坐标原点的时刻）。解：a：运动方程，b：运动方程，c：运动方程，2.3.2质点直线运动的运动学方程为,a为正常数.求质点速度和加速度并讨论运动特点(有无周期性,

4、运动范围,速度变化情况等)。解：由，即运动学方程具有周期性，周期为2，运动范围：速度变化情况：-a,a范围按正弦规律变化。2.3.3跳伞运动员的速度为，v铅直向下,、q为正常量,求其加速度,讨论当时间足够长时(即t),速度和加速度的变化趋势。解：2.3.4直线运动的高速列车在电子计算机控制下减速进站.列车原运动速率为 v0=180km/h，其速率变化规律如图所示。求列车行至x=1.5km时加速度的大小。解：由x = 1.5km时，则 ax = -0.747 m/s2。2.3.5在水平桌面上放置的A,B两物体,用一根不可伸长的绳索按图示的装置把它们联结起来.C点与桌面固定.已知物体A的加速度的求

5、物体B的加速度。解：建坐标系o-x , A、B、C坐标分别为,滑轮半径为r，绳长为L绳不伸长：2.3.6质点沿直线的运动学方程为x=10t+3t2.(1).坐标原点沿Ox轴方向移动2米,运动学方程如何?初速度有无变化?(2).将计时起点前移1s，运动方程如何？初始坐标和初速度都发生什么样的变化？加速度变不变？解：（1）即，初速度无变化。（2）即初始坐标：初速度：原来初始坐标：初速度：加速度：改变计时起点后：没有变。2.4.1质点由坐标原点出发时开始计时,沿x轴运动,其加速度.在下列两种情况下质点的运动学方程,出发后6s时质点的位置,在此期间所走过的位移及路程;(1) 初速度;(2) 初速度的大

6、小为9cm/s, 方向与加速度的方向相反.解：（1）则：（2）则：出发6s时的位置：位移：由路程：2.4.2 质点直线运动瞬时速度的变化规律为。求至时间内的位移。解：由=3(0.28+0.99)=3.812.4.3质点作直线运动,其瞬时加速度的变化规律为在t=0时,x=A,其中A, 均为正常数,求此质点的运动学方程。解：由由初始条件，t=0,vx = 0 求得 C = 0则由初始条件，t=0,x = A 求得 则x = Acost2.4.4飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动.刚着陆时,t=0时速度为且坐标为x=0.假设其加速度为，b=常量.求飞机速度和坐标随时间的变化。解：t=0时2.4.5在

7、195m长的坡道上,一人骑自行车以18km/h的速度和 的加速度上坡,另一自行车同时以5.4 km/h的初速度和 的加速度下坡。问：（1）经过多长时间两人相遇；(2)两相相遇时,各走多少路程。解：以斜面底端为坐标原点，沿斜面建o-x坐标系单位换算：18km/h=5m./s5.4km/s=1.5m/s上坡人：减速运动下坡人：加速运动此时二人还未相遇，而此后上坡人开始向反方向运动上坡人：下坡人：相遇时，可得：t=30s求路程：时上坡人停止此时路程为s1,停止后返回得路程为s1则：2.4.6站台上送行的人,在火车开动时站台在第一节车厢的最前面,火车开动后经过t=24s,第一节车厢的末尾从此人的面前通

8、过,问第七节车厢驶过他面前需要多长时间?火车作匀加速运动。解：以人站的位置为原点，建立坐标o-x,t时刻第一节车厢前沿的运动方程：设车厢长，第一节通过时间第七节通过时间：2.4.7在同一铅直线上相隔h的两点以同样速率上抛二石子, 但在高处的石子早t0s被抛出.求二石子何时何处相遇.解：建坐标系：O-y以从高处抛出石子秒后开始计时，低处石子抛出点坐标：高处石子抛出点坐标：则：相遇时：可得：2.4.8电梯以1.0m/s的匀速率下降,小孩在电梯中跳离坡板0.50m高,问当小孩再次落到地板上时,电梯下降了多少距离?解：设小孩初始坐标为,电梯的速度为,小孩再次落到地板上时地板的坐标.解：（1）以电梯为参

9、考系：落到地板上时： y = 0则：t= 0.64s(2)再以地面为参考，电梯下降：2.5.1质点在O-xy平面内运动,其加速度为,位置和速度的初始条件为 t=0时. . 求质点的运动学方程并画出轨迹(本题用积分)解：由2.5.2在同一竖直面内的同一水平线上A,B两点分别以30度,60度为发射角同时抛出两小球,欲使两小球相遇时都在自己的轨道的最高点,求A,B两点间的距离,已知小球在A点的发射速率。解：建坐标如图：A、B的运动学方程：A、B相遇时，所用时间相同。A: 则B: 则相遇时：, 则, t = 0.5 s2.5.3迫击炮弹的发射角为60度,发射速率为150m/s,炮弹击中倾角30度的山坡

10、上的目标,发射点正在山脚,求弹癯点到发射点的距离OA.解：建坐标系 o-xyA 点坐标（x,y）则则= 1297.5 m= 750 m OA = 1500 m2.5.4轰炸机沿与铅直方向成53度俯冲时,在763m的高度投放炸弹,炸弹在离开飞机5.0s时击中目标,不计空气阻力.(1)轰炸机的速率是多少?(2)炸弹在飞行中经过的水平距离是多少?(3)炸弹击中目标前一瞬间的速度沿水平和铅直方向的分量是多少?解：t=5.0s,y=763m, 则： 1) 2) 3) ,2.5.5雷达观测员正在监视一越来越近的物体。在某时刻，他得到这样的消息：（1）抛射休达到最大高度且正以速率v沿水平方向运动;(2)观察

11、者到抛射体的直线距离为l;(3)观测员观察抛体的视线与水平方向成角.问:（1）抛射体命中点到观察者的距离D等于多少?(2)何种情况下抛体飞越观察员的头顶以后才击中目标?何种情况下抛体在未到达观测员以前就命中目标?设地球表面为平面且观测员位于抛体轨迹所在的竖起平面以内.解：建坐标o-xy(如图)抛体在顶点时t=0,抛体运动方程：落点A的坐标（）AB之间距离： D0时，抛体落点在观察者前方；2.6.1列车在圆弧形轨道上自东转向北行驶,在我们所讨论的时间范围内,其运动学方程为(长度:m,时间:s).t=0时,列车在图中O点.此圆弧形轨道的半径r=1500米,求列车驶过O点以后前进至1200米处的速率

12、及加速度.解:建坐标系如图，自然坐标系。 由s=1200m时（略） 40m/s 则 （a与v的夹角）2.6.2 火车以200km/h的速度驶入圆弧轨道，其半径300m，司机一进入圆弧轨道立即减速，减速度为2g，求火车在何处加速度最大？为多少？解：由火车在进入圆弧轨道时加速度最大，2.6.3斗车在位于铅直平面内上下起伏的轨道运动,当斗车到达图中所示位置时,轨道曲率半径为150米,斗车速率为50km/h,切向加速度 ,求斗车的加速度.解：方向：与切向夹角与水平夹角2.8.1飞机在某高度的水平面上飞行,机身的方向是自东北向西南,与正西夹15度的角,风以100km/h的速率自西南向东北方向吹来,与正南

13、夹45度角,结果飞机向正西方向运动,求飞机相对于风的速度及相对于地面的速度. 解：269.2km/h方向正南偏西750193.2km/h方向正西2.8.2飞机在静止空气中的飞行速率是235km/h它朝正北的方向飞行,使整个飞行时间内都保持一条南北向公路的上空.地面观察者利用通讯设备告诉驾驶员正在刮着速率等于70km/h的风,但飞机仍能以235km/h的速率沿公路方向飞行.(1).风的方向是怎样的?(2).飞机的头部指向哪个方向?也就是说,飞机的轴线和公路成怎样的角度? 解：235km/h ，235km/h ，70km/h，风指向西北，北偏西81.4度，飞机的轴线和公路成17.2度角指向东北；如

14、果风向东北,会是北偏东81.4度，飞 机的轴线和公路成17.2度角指向西北。2.8.3一辆卡车在平直路面上以恒速度30m/s行驶,在此车上射出一个抛体,要求在车前进60m时,抛体仍落回到车上原抛出点,问抛体射出时相对于卡车的初速度的大小和方向。空气阻力不计.解：以地面为静系，卡车为动系，抛出体在t时间后仍能落到车上。卡车对地运动：抛体对卡车为竖直上抛运动：则车前进60m的时间：t = 60/30 =2s经2s抛体落回车上原抛点，竖直向上。 2.8.4河的两岸互相平行,一船由A点朝与岸垂直的方向匀速驶去,经10min到达对岸C点,若船从A点出发仍按第一次渡河速率不变但垂直地到达彼岸的B点,需要12.5min,已知BC=120m,求：（1）河宽l； (2)第二次渡河时船的速度u；(3)水流的速度v。解：选船为运动质点，地面为基本参考系