茆诗松概率论与数理统计教程课件第一章-5

1、第五节 独立性,1. 两个事件的独立性 2. 多个事件的独立性 3. 试验的独立性,1. 两个事件的独立性,对随机试验中事件A,B, 通常P(A|B)P(A), 这表明事件B的发生将影响事件A发生的概率.,但有时也会出现P(A|B)=P(A)的情形:,例如: 在一只装有m只红球, n只白球的盒中进行两次放回式抽样. 令事件B=第一次摸出红球, 事件A=第二次摸出红球, 显然,在这种情形下, P(A|B)=P(A), 我们称事件A和B独立, 表明事件B的发生与否将不影响事件A的概率.,这时, 由乘法公式得: P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B), 故我们得到如下得独立性定义:,定义

2、: 对随机试验中的任两个事件A,B, 若 P(AB)=P(A)P(B), 则称事件A与B相互独立, 简称A与B独立; 否则称A与B不独立或相依.,事件独立性的判别可根据定义进行, 但有时也可以根据直觉判断.,例如: 分别掷两枚硬币, 硬币甲出现正面与否和硬币乙出现正面与否, 相互之间能有什么影响呢?不要计算也能肯定它们是相互独立的!,但并不是什么问题都是那么容易靠直觉判断的, 不妨看下面的例一.,例一. 一个家庭中有若干个小孩, 假定生男孩和生女孩是等可能的, 令 A=一个家庭中有男孩, 又有女孩 B=一个家庭中最多有一个女孩 对下列两种情形, 讨论A与B的独立性: (1)家庭中有两个小孩,

3、(2)家庭中有三个小孩.,你最好先作一下直觉的判断,解: (1)有两个小孩的家庭.,这时样本空间=(男男),(男女),(女男),(女女).,所以P(A)=1/2, P(B)=3/4, P(AB)=1/2,A=(男女),(女男).,B=(男男),(男女),(女男).,AB=(男女),(女男).,由此可知, P(AB)P(A)P(B), 即A和B不独立.,(2)有三个小孩的家庭.,=(男男男),(男男女),(男女男),(女男女) (男女女),(女男女),(女女男),(女女女).,所以P(A)=6/8=3/4, P(B)=4/8=1/2, P(AB)=3/8,从而A含有6个样本点, B含有4个样本点

4、, AB含有3个样本点,由此可知, P(AB)=3/8=P(A)P(B), 即A和B独立.,2. 多个事件的独立性,对于有限个事件的独立性, 我们有下列相应的定义:,定义: 对随机试验中的n个事件A1, An, 若对任意k (2kn) 及任意i1,ik,(1i1i2ikn)满足 P(Ai1Ai2Aik)=P(Ai1)P(Ai2)P(Aik), 则称事件Ai1 , Ai2 , ,Aik相互独立.,由定义可知, 对三个相互独立事件A1, A2, A3, 需满足的条件为,P(A2A3)=P(A2)P(A3),P(A1A2)=P(A1)P(A2),P(A1A3)=P(A1)P(A3),P(A1A2A3

5、)=P(A1)P(A2)P(A3),注意: 在表示A,B,C三事件独立时, 两组条件:,和,缺一不可, 互相不能替代.,为什么呢?,我们举两个反例说明.,反例一:,推不出,反例二:,推不出,而对于n个事件, 它们相互独立的条件实际上含有下列等式:,P(Ai1Ai2Ai3)=P(Ai1)P(Ai2)P(Ai3),P(Ai1Ai2)=P(Ai1)P(Ai2),P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An),对于n个事件, 我们也有类似独立性性质的性质. 同时还有, 若A1,An相互独立, 则其中任意m (2mn)个事件(或其对立事件)都相互独立.,例二. 设有两门高射炮, 每一门击中飞机的概率

6、都是0.6, 求同时射击一发炮弹能击中飞机的概率. 若欲以99%的概率击中飞机, 求至少需要多少门高射炮同时射击.,解: 令事件A=飞机被击中, 事件Ai=第i门炮击中飞机,设有n门炮同时射击.,例三. 今有甲乙两名射手轮流对同一目标进行射击. 甲命中的概率为p1, 乙命中的概率为p2. 甲先射, 谁先命中谁得胜, 分别求甲乙两人获胜的概率.,解: 令事件A, B分别表示“甲获胜”,“乙获胜”, 事件Ai, Bi (i=1,2,)分别表示“甲第i次射击命中”,“乙第i次射击命中”, 则,例四(习题18). 甲乙两选手进行乒乓球单打比赛, 已知在每局中甲胜的概率为0.6, 乙胜的概率为0.4.

7、比赛可采取三局两胜制或五局三胜制, 问哪一种比赛制度对甲更有利?,解: 采用三局两胜制, 甲最终获胜, 其胜局的情况是“甲甲”, 或“乙甲甲”, 或“甲乙甲”.,这三种情形互不相容, 加之每局的独立性, 我们可计算此时甲获胜的概率为,采用五局三胜制, 甲最终获胜, 至少需比赛三局(可能比赛三局,四局或五局), 且最后一局必须是甲胜.,所以五局三胜制对甲更有利.,2. 试验的独立性,由于概率统计是从数量的侧面研究随机现象的统计规律性, 而随机现象的统计规律性只有在大量的重复独立试验中才能体现出来, 因此独立重复试验在概率统计中有极为重要的地位.,定义: 在相同条件下进行n次重复试验, 如果各次试验结果的出现互不影响, 则称这n次重复试验为n重独立重复试验.,例如, 掷n枚硬币, 掷n颗骰子, 检查n个产品都是n重独立重复试验.,定义: 在独立重复试验中, 我们考虑最简单的一类试验, 它有如下特征: (1)试验在相同条件下独立重复地进行n次; (2)每次试验只有两个可能结果,这种独立重复试验称为n重伯努利(Bernoulli)试验.,伯努利试验的应用很多, 例如,(1) 多次重复掷同一枚硬币, 观察是否正面向上; (2) 观察n个产品中的次品数, 也可理解成n重伯努利试验