第3讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题

1、第3讲导数与函数的单调性、极值、最值问题,高考定位利用导数研究函数的性质，能进行简单的定积分计算，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决简单的问题.,1.(2019全国卷)已知曲线yaexxln x在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则() A.ae，b1 B.ae，b1 C.ae1，b1 D.ae1，b1,真 题 感 悟,解析因为yaexln x1，所以ky|x1ae1， 所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为yae(ae1)(x1)，即y(ae1)x1.,答案D,2.(2017全国卷)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x

2、)的极小值为() A.1 B.2e3 C.5e3 D.1,解析f(x)x2(a2)xa1ex1，则f(2)42(a2)a1e30a1， 则f(x)(x2x1)ex1，f(x)(x2x2)ex1， 令f(x)0，得x2或x1， 当x1时，f(x)0；当2x1时，f(x)0. 则f(x)极小值为f(1)1. 答案A,3.(2019全国卷)已知函数f(x)2x3ax22.,(1)讨论f(x)的单调性； (2)当0a3时，记f(x)在区间0，1的最大值为M，最小值为m，求Mm的取值范围.,解(1)f(x)的定义域为R，f(x)6x22ax2x(3xa).,若a0，则f(x)在(，)单调递增；,1.导数

3、的几何意义,考 点 整 合,函数f(x) 在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率kf(x0)，相应的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0). 易错提醒求曲线的切线方程时，要注意是在点P处的切线还是过点P的切线，前者点P为切点，后者点P不一定为切点.,2.四个易误导数公式,3.利用导数研究函数的单调性,4.利用导数研究函数的极值、最值,热点一导数与定积分的几何意义 【例1】 (1)(2019全国卷)曲线y2sin xcos x在点(，1)处的切线方程为(),解析(1)设f(x)y2sin xcos x，则f(x)2cos xsin

4、 x，f()2， 曲线在点(，1)处的切线方程为y(1)2(x)，即2xy210.故选C.,探究提高1.利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标. 2.利用定积分求平面图形的面积的两个关键点 (1)正确画出几何图形，结合图形位置，准确确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值. (2)根据图形的特征，选择合适的积分变量.在以y为积分变量时，应注意将曲线方程变为x(y)的形式，同时，积分上、下限必须对应y的取值.,【训练1】 (1)(2019江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线yln

5、x上，且该曲线在点A处的切线经过点(e，1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是_.,再由nln m，解得me，n1.故点A的坐标为(e，1).,热点二利用导数研究函数的单调性 角度1讨论函数的单调性(区间) 【例21】 (2019四川教考联盟诊断)已知函数f(x)x2axa2ln x.,若a0，则f(x)x2，在(0，)单调递增； 若a0，则由f(x)0，x0得xa. 当x(0，a)时，f(x)0. 所以f(x)在(0，a)单调递减，在(a，)单调递增.,(2)当a0时，由(1)知，当xa时，f(x)取得最小值，f(x)minf(a)a2ln a.,角度2根据函数的单调性求参数的取值范围,

6、所以f(1)0，即2b10. 解得b3，经检验，适合题意，所以b3.,令f(x)0，得0x1.所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1).,因为函数g(x)在1，2上单调递增， 所以g(x)0在1，2上恒成立，,所以a2x2x在1，2上恒成立， 所以a(2x2x)max，x1，2. 因为在1，2上，(2x2x)max3，所以a3. 所以a的取值范围是3，).,探究提高1.求函数的单调区间，只需在函数的定义域内解(证)不等式f(x)0或f(x)0. 2.(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论

7、求解)，应注意参数的取值是f(x)不恒等于0的参数的范围. (2)若函数yf(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f(x)0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).,【训练2】 已知函数f(x)ex(exa)a2x，其中参数a0.,(1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)0，求a的取值范围.,解(1)函数f(x)的定义域为(，)，且a0. f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa). 若a0，则f(x)e2x，在(，)上单调递增.,综上所述，当a0时，f(x)在R上单调递增；,(2)当a0时，f(x)e2x0恒成立.,热点三利用导数研究函数的极值和最值,当x变化时，g(

8、x)，g(x)的变化情况如下：,所以g(x)的最小值为6，最大值为0.故6g(x)0，即x6f(x)x.,探究提高1.可导函数在极值点处的导数一定为零，但导数为零的点不一定是极值点，是极值点时也要注意是极大值点还是极小值点. 2.求函数f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.,【训练3】 已知函数f(x)ax1ln x(aR).,(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数； (2)若函数f(x)在x1处取得极值，x(0，)，f(x)bx2恒成立，求实数b的最大值.,当a0时，f(x)0在(0，)上恒

9、成立，函数f(x)在(0，)上单调递减. f(x)在(0，)上没有极值点.,(2)函数f(x)在x1处取得极值，f(1)a10，则a1，从而f(x)x1ln x.,令g(x)0，得xe2，则g(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，)上单调递增，,1.如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，这些单调区间不能用“”连接，而只能用逗号或“和”字隔开. 2.可导函数在闭区间a，b上的最值，就是函数在该区间上的极值及端点值中的最大值与最小值.,3.可导函数极值的理解 (1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值； (2)对于可导函数f(x)，“f(x)在xx0处的导数f(x0)0”是“f(x)在xx0处取得极值”的必要不充分条件； (3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点.,4.求函数的单调区间时，若函数的导函数中含有带参数的有理因