第五章5.5数列的综合应用.ppt

1、5.5数列的综合应用,基础梳理 1. 解答数列应用题的步骤 (1)审题仔细阅读材料, 认真理解题意. (2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言, 将实际问题转化成数学问题, 弄清该数列的特征、要求是什么.,(3)求解求出该问题的数学解. (4)还原将所求结果还原到原实际问题中. 2. 数列应用题常见模型 (1)等差模型：如果_的量是一个固定量时, 该模型是等差模型, 增加(或减少)的量就是公差.,增加(或减少),(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的_是一个固定的数时, 该模型是等比模型, 这个固定的数就是公比. (3)递推数列模型：如果题目中给出的是前后两项之间的关系不固定, 是随项的变

2、化而变化时, 应考虑是an与an1的递推关系, 还是前n项和Sn与Sn1之间的递推关系.,比,思考探究 银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？ 提示：单利公式设本金为a元, 每期利率为r, 存期为n, 则本利和ana(1rn), 属于等差模型. 复利公式设本金为a元, 每期利率为r, 存期为n, 则本利和ana(1r)n, 属于等比模型.,课前热身 1. 数列an的通项公式是关于x的不等式 x2xnx(nN)的解集中的整数个数, 则数列an的前n项和Sn(),3. 某农场2011年粮食产量为m吨, 通过改造荒田, 把好种子的质量关, 计划以后每年比上一年粮食的总产量增加5%, 则2015年的粮

3、食产量将为_吨. 解析：设每年粮食产量成等比数列an, 则a1m, q15%, 所以a5a1q4m(15%)4 (吨). 答案：m(15%)4,4. 已知三个数a、b、c成等比数列, 则函数f(x)ax2bxc的图像与x轴公共点的个数为_. 解析：a、b、c成等比数列, b2ac且a、b、c均不为零, b24ac3b20, f(x)ax2bxc的图像与x轴无公共点. 答案：0,考点1等差、等比数列的综合应用,(2011高考辽宁卷)已知等差数列an满足a20, a6a810. (1)求数列an的通项公式;,【名师点评】解决等差数列与等比数列的综合问题的关键在于综合运用等差数列和等比数列知识解题,

4、 也就是涉及哪个数列问题就灵活地运用相关知识解决. 等差数列与等比数列之间是可以相互转化的. 即an为等差数列aan(a0且a1)为等比数列; an为正项等比数列 logaan(a0且a1)为等差数列.,备选例题 (教师用书独具) 已知数列an中,变式训练,考点2以等差、等比数列为模型的实际应用题 (2011高考湖南卷)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M, M的价值在使用过程中逐年减少. 从第2年到第6年, 每年初M的价值比上年初减少10万元; 从第7年开始, 每年初M的价值为上年初的75%.,【规律小结】用数列知识解相关的实际问题, 关键是合理建立数学模型数列模型, 弄清所构造

5、的数列的首项是什么, 项数是多少, 然后转化为解数列问题. 求解时, 要明确目标, 即搞清是求和, 还是求通项, 还是解递推关系问题, 所求结论对应的是解方程问题, 还是解不等式问题, 还是最值问题, 然后进行合理推算, 得出实际问题的结果.,备选例题(教师用书独具) 用分期付款购买价格为25万元的住房一套, 如果购买时先付5万元, 以后每年付2万元加上欠款利息. 签订购房合同后1年付款一次, 再过1年又付款一次, 直到还完后为止. 商定年利率为10%, 则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？,变式训练 2. 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2), 其中有部分旧

6、住房需要拆除. 当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房, 同时也拆除面积为b(单 位：m2)的旧住房.,(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式; (2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%, 则每年拆除的旧住房面积b是多少？(计算时取1.151.6),考点3数列与函数、不等式、解析几何的交汇问题 如图, 从点P1(0, 0)作x轴的垂线交曲线 yex于点Q1(0, 1), 曲线在Q1点处的切线与x轴 交于点P2.,再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2, 依次重复上述过程得到一系列点：P1, Q1; P2, Q2; ; Pn, Qn, 记

7、Pk点的坐标为(xk, 0)(k1, 2, , n). (1)试求xk与xk1的关系(2kn); (2)求|P1Q1|P2Q2|P3Q3|PnQn|.,【名师点评】数列、解析几何、不等式是高考的重点内容, 将三者综合在一起, 命制大型综合题是历年高考的热点和重点. 数列是特殊的函数, 以数列为背景的不等式证明问题及以函数作为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点, 该类综合题的知识综合性强, 能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力, 从而一直成为高考命题者的首选.,备选例题(教师用书独具) 已知正项数列an的首项a1m, 其中,变式训练,方法技巧 1. 深刻理解等差(比)数列的性质

8、, 熟悉它们 的推导过程是解题的关键. 两类数列性质既 有相似之处, 又有区别, 要在应用中加强记 忆. 同时, 运用数列的性质也会降低解题的 运算量, 从而减少差错.,2. 在等差数列与等比数列中, 经常要根据条件列方程(组)求解, 在解方程组时, 仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处. 3. 数列的渗透力很强, 它和函数、方程、三 角、不等式等知识相互联系, 优化组合, 无形中加大了综合的力度, 解决此类题目, 必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解, 深刻领悟它在解题中的重大作用,常用的数学思想方法有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转换”等. 4. 与数

9、列有关的应用题大致有三类：一是有关等差数列的应用题; 二是有关等比数列的应用题; 三是有关递推数列中可化成等差、等比数列的问题. 当然, 还包括几类问题的综合应用. 其中第一类问题在内容上比较简单, 建立等差数列模型后,问题常常转化成整式或整式不等式处理, 很容易计算. 对第二类问题, 建立等比数列的模型后, 弄清项数是关键, 运算中往往要运用指数或对数不等式, 常需要查表或依据题设中所给参考数据进行近似计算, 对其结果要按照要求保留一定的精确度. 注意答案要符合题设中实际需要. 对于第三类问题, 要掌握将线性递推数列化成等比数列求解的方法.,失误防范 等比数列的前n项和公式要分两种情况：公比

10、等于1和公比不等于1.最容易忽视公比等于1的情况, 要注意这方面的练习.,命题预测 数列的综合应用是每年高考必考的内容, 特别是等差数列与等比数列交汇, 数列与解析几何、不等式、函数交汇是高考的热点, 题型以解答题为主, 难度偏高, 主要考查学生分析问题和解决问题的能力.,预测2013年高考, 等差数列与等比数列交汇、数列与不等式交汇是高考的主要考点, 重点考查运算能力和逻辑推理能力.,规范解答,本题满分12分)(2010高考天津卷)在数列an中, a10, 且对任意kN, a2k1, a2k, a2k1成等差数列, 其公差为2k. (1)证明a4, a5, a6成等比数列; (2)求数列an的通项公式;,【得分技巧】解决本题的关键是根据题意a2k1, a2k, a2k1成等差数列, 找到a4, a5, a6的关系, 分析题目中的a2k1, a2k, a2k1成等差数列的含义和结构, 可以利用累加推得其通项, 第(3)问主要结合Tn的特点, 分类讨论采取裂项求和后放缩证明.,【失分溯源】在解