2-11函数、导数及其应用.ppt

1、1函数的单调性与导数 在某个区间(a，b)内，如果，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果 ，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减如果 ，那么函数yf(x)在这个区间上是常数函数,f(x)0,f(x)0,f(x)0,若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0吗？f(x)0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？ 提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f(x)0，f(x)0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件.,2函数的极值与导数 (1)函数的极小值 若函数yf(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值，且f(a)0，而且在点

2、xa附近的左侧 ，右侧，则a点叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值,都小,f(x)0,f(x)0,(2)函数的极大值 若函数yf(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值 ，且f(b)0，而且在点xb附近的左侧，右侧，则b点叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值， 和 统称为极值,f(x)0,都大,f(x)0,极大值,极小值,3函数的最值与导数 函数f(x)在a，b上有最值的条件 如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值,连续不断,4生活中的优化问题 解决优化问题的基本思想是：,答案：B,2设f(x)x(ax2bxc)(a

3、0)在x1和x1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是() A(a，b) B(a，c) C(b，c) D(ab，c) 解析：f(x)3ax22bxc，由题意知1，1是方程3ax22bxc0的两根，11 ，b0故选A. 答案：A,3函数y3x26lnx的单调增区间为_，单调减区间为_ 答案：(1，)(0,1),4若函数f(x)xasinx在R上递增，则实数a的取值范围为_,解析：f(x)1acosx， 要使函数f(x)xasinx在R上递增，则1acosx0对任意实数x都成立 1cosx1， 当a0时aacosxa， a1，0a1； 当a0时适合； 当a0时aacosxa， a1，1a0.综上，

4、1a1. 答案：1,1,5已知函数f(x)x22lnx.求函数f(x)的单调区间和极值,由表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，)，极小值是f(1)1，无极大值,【例1】设函数f(x)x3ax29x1(a0)若曲线yf(x)的斜率最小的切线与直线12xy6平行，求： (1)a的值； (2)函数f(x)的单调区间,(2)由(1)知a3，因此f(x)x33x29x1， f(x)3x26x93(x3)(x1)， 令f(x)0，解得x11，x23. 当x(，1)时，f(x)0，故f(x)在(，1)上为增函数； 当x(1,3)时，f(x)0，,故f(x)在(3，)上为增函数

5、 由此可见，函数f(x)的单调递增区间为(，1)和(3，)，单调递减区间为(1,3),判断函数单调性时，先要明确函数的定义域，然后对函数求导，再解不等式f(x)0.f(x)0的解对应的区间就是函数的单调增区间；f(x)0的解对应的区间就是函数的单调减区间，这种方法只对可导函数适用,变式迁移 1已知函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象如右图，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是下图中(),解析：由题意知函数f(x)，g(x)都为增函数，当xg(x)，即f(x)的增长速度大于g(x)的增长速率；当xx0时，f(x)g(x)，g(x)的增长速度大于f(x)的增长速度，数形结合，选D. 答案：D

6、,【例2】已知函数f(x)x3mx2nx2的图象过点(1，6)，且函数g(x)f(x)6x的图象关于y轴对称 (1)求m、n的值及函数yf(x)的单调区间； (2)若a0，求函数yf(x)在区间(a1，a1)内的极值,思路分析：(1)由f(x)过点(1，6)及g(x)图象关于y轴对称可求m，n.由f(x)0及f(x)0可求单调递增和递减区间(2)先求出函数yf(x)的极值点，再根据极值点是否在区间(a1，a1)内讨论,解：(1)由函数f(x)图象过点(1，6)，得mn3 由f(x)x3mx2nx2，得f(x)3x22mxn， 则g(x)f(x)6x3x2(2m6)xn. 而g(x)图象关于y轴

7、对称，,所以m3，代入得n0. 于是f(x)3x26x3x(x2) 由f(x)0得x2或x0， 故f(x)的单调递增区间是(，0)，(2，)； 由f(x)0得0x2， 故f(x)的单调递减区间是(0,2),(2)由(1)得f(x)3x(x2)， 令f(x)0得x0或x2. 当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：,由此可得： 当0a1时，f(x)在(a1，a1)内有极大值f(0)2，无极小值； 当a1时，f(x)在(a1，a1)内无极值； 当1a3时，f(x)在(a1，a1)内有极小值f(2)6，无极大值； 当a3时，f(x)在(a1，a1)内无极值 综上得：当0a1时，f(x)有极大

8、值2，无极小值； 当1a3时，f(x)有极小值6，无极大值； 当a1或a3时，f(x)无极值,变式迁移 2设x1与x2是函数f(x)alnxbx2x的两个极值点 (1)试确定常数a和b的值； (2)试判断x1，x2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并求相应极值,(2)x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,解：(1)函数f(x)的定义域为(，)， 因为f(x)xex(exxex)x(1ex)， 由f(x)x(1ex)0得x0， 则f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为(0，),不等式f(x)m(或m)恒成立的问题可以转化为求函数f(x)的最小(大)值问题，f(x)m恒成立

9、，即mf(x)min，f(x)m恒成立即f(x)maxm，方程的根的个数问题可转化为函数的零点问题.,变式迁移 3设a0，函数f(x). (1)讨论f(x)的单调性； (2)求f(x)在区间a,2a上的最小值,【例4】(2009湖北卷)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 )x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素记余下工程的费用为y万元 (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？,思路分析：对(1

10、)，先设辅助未知数，再确定函数关系；对(2)，先利用导数求出最优解,本题主要考查应用导数解决实际问题考题的命制，将导数应用于工程的最优化问题的解决之中，可以说是一个很好的设计，不仅考查了学生对函数、导数等相关知识的掌握程度，还考查了考生数学建模能力及其解决实际问题的能力.,变式迁移 4(2008广东高考)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房，经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为56048x(单位：元)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费

11、用,因此当x15时，f(x)取最小值f(15)2000. 所以，为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层,1用导数研究函数单调性时，求单调区间对区间的开闭没有很高的要求，提倡用开区间，但在解决已知单调区间求字母范围的问题中，对字母范围的要求很高，该开就开，该闭就闭一般情况下不管单调区间是开还是闭，字母均能取等号，只要此时函数不是常数函数即可,2.可导函数的极值 (1)极值是一个局部性概念，一个函数在其定义域内可以有许多个极大值和极小值，在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系 (2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值,3.函数的最值 (1)函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必