固体物理--能带 7.1 近自由电子模型.ppt

1、1,为电子所处的周期性势场，满足,单电子近似下，晶体电子的薛定谔方程,随空间位置的变化不太强烈时，可把 的空间起伏看作是对自由电子情形的微扰，这种假设称为近自由电子近似,近自由电子近似,2,在一维情况下，电子的薛定谔方程及周期势,7.1. 1 一维周期势的微扰计算,a 晶格常量，l 任意整数,由于 V(x) 是周期函数，可以展开成傅里叶级数,平均势场，可令 V0=0,3,势场为实数，,因此势场的傅里叶分量满足,系统哈密顿量及薛定谔方程可写为,4,H0 为自由电子的哈密顿量，其本征函数为自由电子的本征函数,k 满足自由电子的色散关系，即能量本征值为,L=Na 一维晶体的长度，N 原胞数,周期性边

2、界条件,5,可看作微扰，可得一级微扰能量,当 n0 时，上式积分为 0，因此,所以必须计及二级微扰,6,二级微扰能量为,其中,(1)当 k-k2np/a 时，由于 k=2sp/L (sZ) 上式积分为0,(2)当 k-k=2np/a (倒格矢) 时，上式积分的值为 L,7,二级微扰能量对 k 的求和可转化为对倒格矢求和,由此得到计及二级微扰后的能量为,8,一级微扰波函数为,考虑了一级修正后的波函数,9,注意：得到的上述微扰能量和波函数的适用性要求 与 的差别较大。,发散，结果是没有意义的。这时以 和 标志的自由电子的状态接近简并，必须采用简并微扰论来处理,如果这两者相差甚微，将导致修正能量,1

3、0,7.1. 2 能隙由来,时，应以 作为零级波函数，并将其作为薛定谔方程的近似解，有,如果,即,则二级微扰能量发散，因此 k 在 np/a 附近，即,D 为小量,11,分别对上式乘以 和 并对一维空间积分，得,其中利用到 的正交归一性,以及,12,关于 A、B 的齐次方程具有非零解的条件,因此,其中,13,由于 D 为小量，上式第二项用泰勒展开到一阶项,14,上式说明，在 k=-np/a 附近，电子的色散具有抛物线的形式，而且 E(k) 要么大于 an=Tn+|Vn|，要么小于 cn=Tn-|Vn|，即存在 2|Vn| 范围的能量禁区，这就是能隙,对于 k 与-np/a 相距稍远的范围，已可

4、适用非简并微扰论，电子的能量与自由电子的能量相差无几,15,能带图,粗线：扩展布里渊区图式,粗线在倒空间延拓-细线,细线：周期布里渊区图式,(-p/a,p/a 之间：,约化布里渊区图式,在约化区内，电子能量表示成若干能带，能带之间为带隙,在每个能带中，有确定的色散关系 En(k)， n 为能带的标记,16,k=-np/a 正是布里渊区的边界，电子能量不连续发生在布里渊区边界处,在一维的情形，这就对应于禁带的出现，禁带的宽度是周期势傅里叶分量的两倍，表明禁带的出现是电子在周期场中运动的必然结果,弱周期场：在近自由电子近似中，上式可作为微扰的条件是傅里叶分量的绝对值远小于波矢为相应布里渊区边界处的

5、自由电子的动能,17,在波矢偏离布里渊区边界较远的情形，上式是电子波函数较好的近似。其实可将上式理解为一波矢为 k 的自由电子入射晶体的结果，第一项为入射波，第二项为散射波，散射波的幅度都很小，对入射波的干扰甚小，于是电子态与自由电子相差甚微（即近自由电子）,禁带形成的物理,入射波,散射波,18,当入射的自由电子波矢接近布里渊区边界 np/a 时，与其波矢相差为倒格矢 2np/a 的散射波幅度甚大，与入射波的干涉会形成驻波，这正是,的含义，第二项正代表这一大幅度的散射波。从而具有这样的能量的电子波不能进入晶体，不能在晶体中运动，正是禁带的意义所在。事实上，由 k=np/a 可得，2a=nl，这

6、正是一维的布拉格条件,19,在三维情况下，将周期势展开成傅里叶级数,7.1. 3 三维情况,平均势场，可令 V0=0,其中 为任意倒格矢,求和不包括,系统的哈密度量及薛定谔方程可写为,20,H0 的本征函数是自由电子波函数,一级微扰能量,相应的本征值为,V 为晶体体积,正交归一,21,二级微扰能量,其中,这样,22,因此三维近自由电子系统的近似能量为,系统的近似波函数为,23,当 时，非简并微扰论已不适用,上式物理意义：波矢 处于波矢空间中从原点所作的倒格矢 的垂直平分面上；这垂直平分面正是布里渊区的边界,此即布拉格衍射条件,24,几点说明：,3. 注意：对于一维情形，能量不连续一定与禁带相应

7、；对于三维情形，某一方向的能量不连续不意味着这就是禁带，因为在倒空间的其他地方，该范围的能量可能是电子的许可能量,2. 相应地电子的色散关系 E(k) 在布里渊区边界处不连续，不连续的间隔也是周期势场傅里叶分量绝对值的两倍，即,1. 当电子以布里渊区边界处的波矢入射晶体时，散射波将干涉加强,25,则虽然某波矢 满足,但布拉格散射强度为0，相应的能量不连续便不存在,布拉格反射与能量不连续,(布拉格条件),例子：对复式格子，基元中各原子的散射波干涉相消,设复式格子基元包含 s 个原子，每原子相应于原胞顶点的位矢,26,因此总的晶体势,这时晶体可看作是 s 个子晶格的组合，晶体势也可看作是各子晶格的晶体势的叠加，第 j 个子晶格的晶体势,又由于晶体势可