新人教版九年级数学(上)——圆的概念与垂径定理

1、最新资料推荐圆的概念与垂径定理知识点一、圆的定义1、圆的第一定义：在一个平面内，线段 oa绕它固定的一个端点 o旋转一周，另一个端点 a 所形成的图形叫做圆这个固定的端点o叫做 圆心，线段 oa叫做 半径 以 o点为圆心的圆记作： o，读作 圆o2战国时期的墨经中对圆的定义是：圆，一中同长也3圆的第二定义：由圆的定义可知：(1) 圆上的各点到圆心的距离都等于 定长（即半径 r) ；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在圆上因此， 圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形(2) 要确定一个圆，需要两个基本条件 ：一个是圆心，另一个是半径 ，其中，圆心确定圆的位置，半径确

2、定圆的大小注意：由圆的概念可知：1 “圆”指的是“圆周” ，即一条封闭的曲线，而不是圆面。2 确定一个圆取决于两个因素：圆心和半径。例题 1：下列说法错误的有（）1 经过 p 点的圆有无数个；2 以 p 为圆心的圆有无数个；3 半径为 3cm 且经过 p 点的圆有无数个；4 以 p 为圆心，以3cm 为半径的圆有无数个。a 、 1 个b 、2 个c、 3 个d、 4 个1最新资料推荐知识点二、圆的有关概念1弦：连结圆上任意两点间的线段叫做 弦经过圆心的弦叫做直径并且直径是同一圆中最长的弦2. 弧： 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 ，简称 弧 ，以 a， c为端点的弧记作?ac ，读作圆弧 ac弧

3、 ac或3 圆的 直径 的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆4 在一个圆中 大于半圆的弧叫做优弧?；（如图所示 abc 叫做优弧）小于半圆的弧叫做劣弧?（如图所示） ac或 bc 叫做劣弧5 半径相等的两个圆叫做 等圆 反过来，等圆的半径相等；在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做 等弧 。boac例题 2：下列命题中，正确的个数是（）。 直径是圆中最长的弦；2弧是半圆； 过圆心的直线是直径； 半圆不是弧。134a 、 1 个 b、 2 个 c 、3 个 d、 4 个例题 3：下列几个命题中，正确的是（）a 两条弧的长度相等，那么他们是等弧 b. 等弧只有在同圆中存在c. 度数相等的弧的

4、长度相等d. 等弧的长度相等2最新资料推荐巩固练习 如下图， (1) 若点 o 为 o 的圆心，则线段_ 是圆 o 的半径；线段 _是圆o 的弦，其中最长的弦是_； _是劣弧； _是半圆(2)若 a=40，则 abo=_， c=_， abc=_ 综合讲练 讲练 1：如图，在同心圆中，大圆的弦ab 交小圆于 c， d 两点(1)求证： aoc= bod；(2)试确定 ac 与 bd 两线段之间的大小关系，并证明你的结论讲练 2：如图，已知 ab 是 o 的直径，cd 是 o 的弦，ab，cd 的延长线交于e，若 ab=2 de， e=18，求 c 及 aoc 的度数3最新资料推荐知识点三、垂直于

5、弦的直径（垂径定理）1圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线说明：圆的对称轴是直径所在的直线，而不是直径本身圆有无数条对称轴2垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧用符号语言描述： o 中 cd 是直径、 ab 是弦，且cdab 于 m，? am bm， acbc ， adbd 你能试着证明吗？说明： 垂径定理中的直径可以是过圆心的的直线或线段；在有关计算直径或半径、弦长以及圆心到弦的距离等问题中，垂径定理常常和勾股定理结合使用，即：（弦的一半）2（圆心到弦的距离）2（半径） 2例 1 如图，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是a mp 与 rn 的大小关系不

6、定b.mp=rnc.mp rnd.mp rn4最新资料推荐例 2 如图， ab 是 o 的弦，半径oc ab 于 d 点，且 ab 6cm，od 4cm，求 dc 的长【课堂操练】1 如图， o 的直径 cd ab， aoc=50 ，则 cdb 大小为（）a 、 25b、 30c、40d、 502 如图，在直径ab 12 的 o 中，弦 cd ab于 m ，且 m 是半径 ob 的中点，求弦cd的长（结果保留根号）.aocdmb第 2 题图3 如图， o的直径 cd10cm， ab是 o的弦， ab cd，垂足为 m， om： oc 3： 5，求 ab 的长amdcob5最新资料推荐知识点四、

7、垂径定理的推论推论 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧推论 2：平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论 3：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。问：你能分别用符号语言描述吗？请试着表示！概念理解：1 下面四个命题中正确的一个是（）a 平分一条直径的弦必垂直于这条直径b 平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦c 弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心d 在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2 下列命题中，正确的是（）a 过弦的中点的直线平分弦所对的弧b 过弦的中点的直线必过圆心c 弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心d

8、 弦的垂线平分弦所对的弧跟踪练习：1、如图， cd 为 o 的直径， ab cd 于 e， de=8cm ， ce=2cm ，则 ab=_cm1 题图2如图， o 的半径 oc 为 6cm，弦 ab 垂直平分oc，则 ab=_cm ， aob=_2 题图6最新资料推荐3如图， ab 为 o 的弦， aob=90 ，ab=a，则 oa=_ ，o 点到 ab 的距离 =_3 题图4如图， o 的弦 ab 垂直于 cd， e 为垂足， ae=3 ， be=7，且 ab=cd ，则圆心 o 到 cd 的距离是 _4 题图5如图， p 为 o 的弦 ab 上的点， pa=6，pb =2， o 的半径为5

9、，则 op=_ 5 题图6如图， o 的弦 ab 垂直于 ac，ab =6cm，ac =4cm，则 o 的半径等于 _cm6 题图综合讲练：讲练 1已知： 如图， ab 是 o 的直径， 弦 cd 交 ab 于 e 点， be=1，ae=5， aec=30 ，求 cd 的长7最新资料推荐讲练 2 已知：如图，试用尺规将它四等分讲练 3已知： o 的半径为 25cm，弦 ab=40cm ，弦 cd=48cm ， abcd 求这两条平行弦 ab， cd 之间的距离讲练 4 已知：如图， a，b 是半圆 o 上的两点， cd 是 o 的直径， aod =80， b 是的中点(1)在 cd 上求作一点

10、p，使得 ap pb 最短；(2)若 cd =4cm ，求 ap pb 的最小值随堂练习：1 如图所示， o 的直径 ab 和弦 cd 交于 e，已知 ae=6cm ，eb=2cm ，cea=30 ，求 cd 的长8最新资料推荐?2 、如图， ab 、ac 为 o 的两条弦， d、e 分别为 ab 、 ac 中点，求证： am = an .admneobc3 、如图所示，在rt abc 中， c 90 0 ，ac 3， bc 4 ，以点 c 为圆心， ca 为半径的圆与 ab 、 bc 分别交于点 d 、e ，求 ab 和 ad 的长。adbec4 、如图，已知：在o 中， ab 是直径， cd 是弦， cecd 交 ab 于 e ， dfcd 交ab 于 f 求证： aebf 5 、如图所示， p 为弦 ab 上一点， cp op 交 o 于点 c， ab 8 ， ap:pb 1:3 ，求 pc的长。apcob6 如图所示，破残的圆形轮片上，弦ab 的垂直平分线交弧ab 于点 c ，交弦 ab 于点 d 。已知： ab=24cm ， cd=8c