划艇比赛成绩的模型.ppt

1、2020/9/6,2.5 数学模型,1,首先我们一起来欣赏一组图片,单人艇比赛过程,图1,2020/9/6,2.5 数学模型,2,单人艇比赛过程,图2,2020/9/6,2.5 数学模型,3,双人艇比赛过程,图3,2020/9/6,2.5 数学模型,4,双人艇比赛过程,图4,2020/9/6,2.5 数学模型,5,四人艇比赛过程,图5,2020/9/6,2.5 数学模型,6,八人艇比赛过程,图6,返回,2020/9/6,2.5 数学模型,7,2.5 划艇比赛的成绩,赛艇是一种靠桨手前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种. 各种艇虽大小不同，但形状相似. T. A. McMahon比较

2、了各种赛艇19641970年四次2000m比赛的最好成绩(包括1964年和1968年的两次奥运会和两次世界锦标赛)，见表5第1至6列，发现它们之间有相当一致的差别，他认为比赛成绩与桨手数量之间存在着某种联系，于是建立了一个模型来解释这种关系.,2020/9/6,2.5 数学模型,8,表5 各种艇的比赛成绩和规格,返回,2020/9/6,2.5 数学模型,9,问题的提出,由于各种艇虽大小不同，但形状相似。 比较各种赛艇19641970年四次2000m比赛的最好成绩，发现它们之间有相当一致的差别。 提出： 比赛成绩与桨手数量之间存在着某种联系 ？（到底什么联系呢？）,2020/9/6,2.5 数学

3、模型,10,问题分析,赛艇前进时受到的阻力主要是艇浸没部分与水之间的摩擦力. 艇靠桨手的力量克服阻力保持一定的速度前进桨手越多划艇前进的动力越大。 但是艇和桨手总重量的增加会使艇浸没面积加大，于是阻力加大，增加的阻力将抵消一部分增加的动力. 建模目的是寻求桨手数量与比赛成绩(航行一定距离所需时间)之间的数量规律. 如果假设艇速在整个赛程中保持不变，那么只需构造一个静态模型，使问题简化为建立桨手数量与艇速之间的关系 注意到在实际比赛中桨手在极短的时间内使艇加速到最大速度，然后把这个速度保持到终点，那么上述假设也是合理的.,2020/9/6,2.5 数学模型,11,问题分析,前进阻力 浸没部分与水

4、的摩擦力,前进动力 浆手的划浆功率,分析赛艇速度与浆手数量之间的关系,赛艇速度由前进动力和前进阻力决定,对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定,运用合适的物理定律建立模型,2020/9/6,2.5 数学模型,12,我们进一步分析,为了分析所受阻力的情况，调查了各种艇的几何尺寸和重量，表5第7至10列给出了这些数据. 可以看出，桨手数n增加时，艇的尺寸l, b及艇重w0都随之增加，但比值l/b和w0/n变化不大 若假定l/b是常数，即各种艇的形状一样，则可得到艇浸没面积与排水体积之间的关系. 若假定w0/n是常数，则可得到艇和桨手的总重量与桨手数之间的关系. 此外还需对桨手体重、划桨功率、

5、阻力与艇速的关系等方面作出简化且合理的假定，才能运用合适的物理定律建立需要的模型.,2020/9/6,2.5 数学模型,13,模型假设,1. 各种艇的几何形状相同，l/b为常数；艇重w0与桨手数n成正比. 这是艇的静态特性. 2. 艇速v是常数，前进时受的阻力f与sv2成正比(s是艇浸没部分面积). 这是艇的动态特性. 3. 所有桨手的体重都相同，记作w;在比赛中每个桨手的划桨功率p保持不变，且p与w成正比,返回,2020/9/6,2.5 数学模型,14,模型假设分析,假设1是根据所给数据作出的必要且合理的简化. 根据物理学的知识，运动速度中等大小的物体所受阻力f符合 假设2中f与sv2成正比

6、的情况. 假设3 中w, p为常数属于必要的简化，而p与w成正比可解释为：p与肌肉体积、肺的体积成正比，对于身材匀称的运动员，肌肉、肺的体积与体重w成正比.,2020/9/6,2.5 数学模型,15,模型构成 ,有n名桨手的艇的总功率np与阻力f和速度v的乘积成正比，即 npfv (1) 由假设2, 3， f sv2, pw代人(1)式可得 v(n/s)1/3 (2) 由假设1，各种艇几何形状相同，若艇浸没面积s与艇的某特征尺寸c的平方成正比(sc2)，则艇排水体积A必与c的立方成正比(Ac3)，于是有 sA2/3 (3),2020/9/6,2.5 数学模型,16,模型构成,又根据艇重w0与桨

7、手数n成正比，所以艇和桨手的总重量w = w0+nw也与n成正比，即 w n (4) 而由阿基米德定律，艇排水体积A与总重量w 成正比，即 Aw (5) (3), (4), (5)式给出 sn2/3 (6) 将（6）代入（2）式，当w是常数时得到 v n1/9 （7） 因为比赛成绩t（时间0与）v成反比，所以 t n-1/9 (8) (8)式就是根据模型假设和几条物理规律得到的各种艇的比赛成绩与浆手数之间的关系,2020/9/6,2.5 数学模型,17,模型检验,为了用表5中各种艇的平均成绩检验(8)式，设t与n的关系为 t= n ( 9) 其中, 为待定常数由(9)式 log t= + lo

8、g n (10) 利用最小二乘法根据所给数据拟合上式(只有4个点的数据，故比较粗糙)，得到 t= 7.21n0.111 （11) 可以看出(8)式与这个结果吻合得相当好,2020/9/6,2.5 数学模型,18,评注,这个模型建立在一些不太精细的假设的基础上, 因为我们只关心各种艇之间的相对速度, 所以数学工具只用到比例方法. 用这种方法建模虽然不能得到关于艇速的完整的表达式, 但是对于我们的建模目的来说已经足够了. 最后的结果与实际数据吻合得如此之好, 恐怕有很大巧合的成分.,2020/9/6,2.5 数学模型,19,附录,新华网雅典(2004年)月日体育专电第二十八届奥运会赛艇比赛日结束，

9、共决出了枚金牌。决赛成绩公报和奖牌统计如下： 男子单人双桨 第一名：奥蒂夫特（挪威），分秒 第二名：尤简森（爱沙尼亚），分秒 第三名：伊亚纳科夫（保加利亚），分秒 男子双人单桨无舵手 第一名：德吉恩詹汤姆金斯（澳大利亚），分秒 第二名：西斯凯林尼斯凯林（克罗地亚），分秒 第三名：多谢茨拉布莱格沃特（南非），分秒 男子双人双桨 第一名：阿哈迪/塞维埃耶当（法国），分秒 第二名：卢斯皮克伊乔普（斯洛文尼亚），分秒 第三名：罗加尔塔罗萨阿萨尔多里（意大利），分秒 男子轻量级双人双桨 第一名：汤库恰尔斯基罗西茨（波兰），分秒 第二名：帕图龙弗迪富尔（法国），分秒 第三名：瓦玻利梅罗尼斯克亚蒂斯（希腊）

10、，分秒,2020/9/6,2.5 数学模型,20,附录二,男子四人单桨无舵手 第一名：英国队，分秒 第二名：加拿大队，分秒 第三名：意大利队，分秒 男子四人双桨有舵手 第一名：俄罗斯队，分秒 第二名：捷克队，分秒 第三名：乌克兰队，分秒 男子轻量级人单桨 第一名：丹麦队，分秒 第二名：澳大利亚队，分秒 第三名：意大利队，分秒 男子人单桨有舵手 第一名：美国队，分秒 第二名：荷兰队，分秒 第三名：澳大利亚队，分秒,2020/9/6,2.5 数学模型,21,思考！,对于8人有舵手赛艇建立t与n的关系(艇上有n+ 1个人但划船的是n人, n= 8).,2020/9/6,2.5 数学模型,22,思考（

11、举重成绩的比较）,2020/9/6,2.5 数学模型,23,255,200,110以上,237.5,185,110,221,180,90,207.5,170,82.5,195,157.5,75,180,141.5,67.5,161.5,130,60,151,120.5,56,141,109,52,挺举（公斤）,抓举（公斤）,成绩,重量级（上限体重）,2020/9/6,2.5 数学模型,24,谢谢！,2020/9/6,2.5 数学模型,25,拟合,所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值f1,f2,fn，通过调整该函数中若干待定系数f(1, 2,n)，使得该函数与已知点集的差别(最小二乘意义)最小。如果待定函数是线性，就叫线性拟合或者线性回归(主要在统计中)，否则叫作非线性拟合或者非线性回归。表达式也可以是分段函数，这种情况下叫作样条拟合。,一组观测结果的数字统计与相应数值组的吻合。形象的说,拟合就是把平面上一系列的点,用一条光滑的曲线连接起来.因为这条曲线有无数种可能,从而有各种拟合方法.拟合的曲线一般可以用函数表示.根据这个函数的不同有不同的拟合名字。,在MATLAB中可以用polyfit 来拟合多项式。,2020/9/6,2.5 数学模型,26,Matlab程序代码,n=1 2 4 8; t=7.215 6.878 6.34 5.835; xi=log(n);