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文档简介

1、1,第一讲 方阵的特征值与特征向量,一、特征值和特征向量的概念,二、特征值和特征向量的求法,第五章 相似矩阵与二次型,2,一、特征值与特征向量的概念,1. 定义,特征值,特征向量,3,例1. 设 判别下列向量是否为 A 的,特征向量：,解：,所以 是 A 的特征向量，对应的特征值为3.,又,所以 不是 A 的特征向量.,4,例2. 已知矩阵 A 可逆， 为矩阵 A的特征,值，求矩阵 一个特征值.,解：由于 为矩阵 A 的特征值，即有非零的向量 x 使得,即,所以， 为矩阵 A-1 的特征值，相应的特征向量 x 未变.,5,即n 阶方阵A的特征值就是使齐次线性方程组,特征值.,二、特征值与特征向

2、量的求法,对特征值与特征向量的定义进一步分析:,6,也即,若 A 特征值为 ，则,7,(3) 对方阵 A 的特征值 ，方程组,特征向量,的非零解 就是A对应于特征值 的,由此得出求矩阵A的特征值及其相应的,特征向量的方法：,8,求矩阵特征值与特征向量的步骤：,特征值与特征向量的求法,的基础解系，即是A的属于 的线性无关的特征向量, 基础解系的线性组合(零向量除外)就是A的属于 的全部特征向量.,9,这是因为，特征向量是相应齐次线性方程组,我们关心的是，线性无关的特征向量，也,即相应方程组的基础解系.,10,例3. 求矩阵 的特征值和特征向量.,解: 这是一道非常简单的求特征值和特征向量 的题目

3、，意在熟悉特征值和特征向量的求法和 步骤. A的特征多项式,所以A的特征值为,11,12,所以对应的特征向量可取为,由上例知道,矩阵A的特征值之和,A的特征值之积 , 而矩阵A的行列式,等于A的特征值之积.,属于A的不同特征值的特征向量是线性无关的.,当然这一结论并不是偶然的,它在一般情况下也 是成立的.,13,(2) 12 n = | A |.,结论1： 设 1 , 2 , , n 是 n 阶矩阵 A = (aij),的 n 个特征值( k 重特征值算作 k 个特征值) , 则,(1) 1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann ;,推论 方阵可逆当且仅当它的特征值全不为0,记作tr(A).,结论2：属于A的不同特征值的特征向量是线性

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