第二章 极限与连续(3).ppt

1、第二章 极限与连续,本章学习要求： 了解函数极限的概念，知道运用“”和 “X ”语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。,第

2、五节 极限存在准则、 两个重要极限,二.夹逼定理,一.单调收敛准则,三.两个重要极限,五.柯西准则,四. 函数极限与数列极限的关系,一.单调收敛准则,看懂后, 用精确地语言描述它.,二.夹逼定理,函数极限的夹逼定理,定理,证,解,夹逼定理,二.重要极限,首先看看在计算机上,进行的数值计算结果：,运用夹逼定理, 关键在于建立不等式.,x,O,1,D,B,A,x,y,从图中可看出:,证,由sin x 与cos x 的奇偶性可知：,一般地,其中, a 0 为常数.,求,解,求,解,x a 时, (x) = x a 0 ,求,故,解,解,求,求,故,解,(2),求 (1),请自己动手做一下,(1),解

3、,(2),解,2. 重要极限,特别重要啊！,变量代换,如果可行, 则可以利用极限运算性质,得到所需的结论吗？,第一步：证明,因为 x +, 故不妨设 x 0.,由实数知识, 总可取 n N, 使 n x n+1,故,我们作变量代换, 将它归为 x + 的,情形即可.,想想, 作一个什么样的代换？,第二步：证明,由,第三步：证明,现在证明,令,t ,则 x 0时,故,于是有,证,综上所述, 得到以下公式,一般地,其中, k 0 为常数.,求,解,求,解,( 即 k = 2 的情形),求,解,( 1 ),求,解,解,此题的另一解法：,第六节 函数的连续性及其性质,一、连续函数的概念,二. 函数的间

4、断点,连续函数的运算 及其基本性质,四.初等函数的连续性,一、连续函数的概念,极限形式,增量形式,设 f (x) 在 U(x0) 内有定义, 若,则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的.,1.函数连续性的定义 (极限形式),函数的连续性是一个局部性的概念, 是逐点定义的.,定义,是整个邻域,函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点：,函数 y = x2 在点 x = 0 处是否连续 ?, 函数 y = x2 在点 x = 0 处连续.,又,且, y = x 2 在 U(0) 内有定义,解,2.连续性概念的增量形式,在某过程中, 变量 u 的终值 u2 与它的,初值 u1

5、 的差 u2 u1, 称为变量 u 在 u1处的,增量, 记为 u = u2u1.,定义,设函数 f (x) 在 U(x0) 内有定义, xU(x0) , 则称 x = x x0 为自变量 x 在 x0 点处的增量.,= f (x0 + x) f (x0 ),y = f (x) f (x0 ),x,y,O,x0,x,x,y,y = f (x),此时, x = x0 + x ,相应地, 函数在点 x0 点处,有增量 y,连续性概念的增量形式,则称 f (x) 在点 x0 处连续.,设 f (x) 在 U(x0) 内有定义. 若,定义,4.函数的左、右连续性,设函数 f (x) 在 x0, x0+

6、 ) 内有定义. 若,则称 f (x) 在 x0 点处右连续.,设函数 f (x) 在 (x0 , x0 内有定义. 若,则称 f (x) 在 x0 点处左连续.,其中, 为任意常数.,定义,定理,讨论 y = | x |, x() 在点 x = 0 处, y = | x | 在点 x = 0 处连续.,x,y,y = | x |,O,的连续性.,解,讨论 y = sgn x 在点 x = 0 处的连续性.,sgn x,1,x 0,sgn x|x=0=sgn 0 = 0,故符号函数 y = sgn x 在点 x = 0 处不连续.,0,x = 0,1,x 0.,解,讨论函数 f (x) =,x

7、2, x 1,在 x = 1 处的连续性., 函数 f (x) 在点 x = 1 处不连续.,故函数 f (x) 在点 x = 1 处是左连续的.,x + 1, x 1,但由于,解,5.函数在区间上的连续性,设函数 f (x) 在开区间 (a, b) 内有定义.,若 x0(a, b), f (x) 在点 x0 处连续,则称 f (x) 在开区间 (a, b) 内连续, 记为,f (x)C( (a, b) ).,定义,若 f (x)C( (a, b) ), 且 f (x) 在 x = a 处,右连续, 在端点 x = b 处左连续, 则称函数,f (x) 在闭区间 a, b 上连续, 记为,f

8、(x)C( a, b ).,对半开闭区间和无穷区间可类似定义连续性,定义,一般地, 如果函数 f (x) 在区间 I,上连续, 则记为 f (x) C( I ) .,二. 函数的间断点,函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点：,1.函数间断点的定义,满足下述三个条件中的任何一个, 则称函数 f (x),在点 x0 处间断, 点 x0 称为函数 f (x) 的一个间断点：,定义,求函数间断点的途径:,2.函数间断点的分类,函数的间断点,(1) 第一类间断点,若 x0 为函数 f (x) 的一个间断点, 且,f (x) 的第一类间断点.,则称 x0 为函数,定义,在 x = 0

9、 处的连续性.,y,x,O,1,y = sinx,yx+1,由图可知, 函数在 点 x0 处间断.,故 x = 0 是 f (x) 的第一类间断点.,将左、右极限存在但不相等的间断点, 称为函数的跳跃型间断点.,解,第一类间断点,左右极限存在,极限不相等,极限相等、补充定义,(2) 第二类间断点,凡不属于第一类的间断点, 称为函数的第二类间断点.,这算定义吗？,定义,即左右极限至少有一个不存在的点.,讨论函数,x,y,O,在 x = 0 无定义,x = 0为函数的间断点,故 x = 0为函数,的第二类间断点.,解,在 x = 0 处无定义,又,不存在,故 x = 0 为函数的第二类间断点.,看

10、看该函数的图形.,解,O,1,1,x,y,第二类间断点,左右极限至少有一个不存在,左右极限至少有一个为无穷,左右极限至少有一个振荡,连续函数的运算 及其基本性质,回忆函数极限的四则运算,则,回忆函数极限的四则运算,则,现在怎么说?,1.连续函数的四则运算,设函数 f (x)、 g(x), fi (x) 在点 x0 处连续,则,即,有限个在点 x0 处连续函数的和仍是一个 在点 x0 处连续的函数. 即,(2) 有限个在点 x0 处连续的函数之积仍是一个在点 x0 处的连续函数. 即,(3) 两个在点 x0 处连续函数的商, 当分母不为 零时, 仍是一个在点 x0 处连续函数. 即,讨论复合函数

11、的连续性,如果 y = f (u) 在 u0 处连续,则 , 当 | u u0| 时,有 | f (u) f (u0) | ,再假设 u = (x) , 且在 x0 处连续, 即,亦即,| u u0 | = | (x) (x0) | ,故 对上面的 , ,当 | x x0| 时, 有,则 , 当 | x x0| 时,| u u0 | = | (x) (x0) | ,且有（假设可以构成复合函数）,| f (u) f (u0) | f ( (x) f ( (x0) ) | ,有上面的推导, 你想到了什么？,是关于复合函数的连续性定理？,怎么写出以上推导的结论 ?,自己想一想, 动手写一下.,设函数

12、 u = (x) 在点 x0 处连续, 且,这个条件有必要吗？,定理,(复合函数连续性定理),u = cos x 1 是在定义域内,的定义域是一个孤立点集,D = x | x = 2k , kZ ,每一点均不连续.,在定理 4 的条件下,在定理4 的条件下, 极限符号可与连续函数 符号交换顺序.,推论,求,解,设函数 u = (x) 的极限存在：,函数 y = f (u) 在点 u = a 处连续.,复合函数 f ( (x) 当 x x0 时的极限存在, 且,若复合函数 f ( (x) 在,内有定义, 则,定理 5,求,y = ln u 在其定义域内连续,故,（ y = ln u 在 u =

13、1 处连续）,解,四.初等函数的连续性,基本初等函数在其定义域内是连续的.,初等函数在其有定义的区间内连续.,注意两者的区别！,求,连续性给极限运算带来很大方便.,解,闭区间上 连续函数的性质,一.最大值和最小值定理,二.介值定理,三. 函数的一致连续性,最大值和最小值定理,(最大值和最小值定理),若 f (x) C ( a, b ) , 则它在该闭区间,上, 至少取到它的最大值和最小值各一次 .,定理,若 f (x)C( a, b ), 则 f (x) 在 a, b 上有界.,看图就知道如何证明了.,推论,二.介值定理,a,x,y,y = f (x),f (a),b,f (b),O,f (x)C ( a, b ),f (a) f (b) 0,f ( )0.,先看一个图,描述一下这个现象,(根存在定理或零点定理),则至少存在一点 (a, b), 使得 f ( )0.,设 f (x) C ( a, b ), 且 f (a) f (b) 0,定理1,(介值定理),设 f (x)C ( a, b ), f (a)A, f (b)B,且 A B, 则对于 A, B 之间的任意一个数 C,至少存在一点 (a, b), 使得 f () = C.,定理2,最大、最小值定理,介质定理,？,引入,设 f (x)C ( a, b ),证明: 至少存在一点 x1 , xn , 使得,a x