第十章 柱坐标系下的分离变量.ppt

1、Previous on Bessel Function,一.Bessel方程的及其解,m不为整数, Bessel Eq. 通解为：,贝塞尔方程的通解总是可记为：,m阶和 m阶 贝塞尔函数,v 阶诺依曼函数,m为整数, 此时J-m与Jm线性相关.,此时J-m与Jm线性相关。,此时定义,并且,(m为整数),则无论m是否为整数, Bessel 方程的通解总是 可以记为：,二.半奇数阶Bessel函数与球函数,其解为,Tips：半奇数阶Bessel函数可用初等函数表示, 这是因为：,定义球贝塞尔函数为：,例：球坐标系下Helmholtz Eq. 分离变量后：,作变量代换,则方程变为,得方程的通解为：,

2、三.虚宗量Bessel方程 (NEW),令 z = i x, 代入得,当 m 不是整数时，方程的两个特解为,注意到方程的齐次性，方程的实数解可表示为,当 m 是整数时, 与前面的讨论类似， 线性相关.,定义第二类虚宗量贝塞尔函数(麦克唐纳德函数)为：,，且,则虚宗量Bessel方程的解总可以表示为,令 , 代入Helmholtz方程得,柱坐标系下 表示为：,第十章 柱坐标系下的变量分离、柱函数,10.1 柱坐标系下的变量分离,一、柱坐标系下 Helmholtz 方程的分离变量,1. 坐标 r、j、z 分离变量,两边同乘 ，移项得：,即：,(2)式两边同乘 ，移项得：,2. 的本征问题求解,（自

3、然周期条件）,本征值： 本征函数：,或, 本征值： 本征函数：,即：,3. 的解,Z(z) 的具体形式, 由 z 方向的边界条件，即函数在 柱体的上底和下底的取值决定. (需解本征值问题),例如 (i). Z(0) = Z(l) = 0 (ii). Z(0) = Z(l) = 0,本征值？本征函数？,4. 的解,需对 k、m 的取值作讨论!,i. 若 ，则方程为贝塞尔方程，其解为：,ii. 若 ，则方程为欧拉方程，其解为：,Tips: 若在柱体内求解，则 dm= 0.,Tips: 若在柱体内求解，则 dm= 0.,iii. 若 ，令 方程变为,此即虚宗量贝塞尔方程，方程通解为：,Tips: 若

4、在柱体内求解，则 dm= 0.,k = 0 时，Helmholtz方程变为Laplace方程. 其解将 k = 0 代入，即可得到！,柱坐标系Helmholtz方程分离变量形式的解,例10.1 一内壁为理想金属的圆柱形空腔，圆柱长为l，截面半径为a，空腔内电磁场的强度沿柱(z)方向的分量 u = Ez (x, y, z) 满足波动方程,及边界条件,求空腔内电磁振荡的本征频率. (c为真空中的光速.),例10.2均匀圆柱, 半径为R, 高H, 柱侧有均匀分布的 恒定热流进入, 强度为q 0, 求解柱体内的稳定温度分布.,以下为草稿,解：令,可得：,(1)式中的,就是本征振荡的圆频率，因此需要求,的本征值.,令,可得,因柱之上、下底面有第二类齐次边界条件，故关于,的本征值和本征函数为,又因在空腔圆柱内部求解，要解有限，应排除,故,由条件(3)知,记,的第,个正零点为,则,所以本征振荡频率为,注：,时，,虽然也是,的零点，但这时,从而,故求本征值,时只取,的正零点.,解：以圆柱下底中心为原点，柱轴为,轴建立坐标系，,定界问题为,令,则得,圆柱之上、下底面有第一类齐次边界条件，知,因在柱内求拉普拉斯