定稿(图像处理中正交变换)

1、图像处理中正交变换研究摘要:在数字图像处理中,正交变换因其独特的性质而广泛运用,它是信号处理中最重要的一类变换。正交变换被广泛地运用于图像特征提取、图像增强、图像复原、图像压缩和图像识别等领域。本文介绍了正交变换的定义,讨论了在数字图像处理中采用正交变换的意义,重点研究了正交变换的标准基,介绍了正交变换的三种方法即傅里叶变换，离散余弦变换和小波变换，并通过实例，给出图像变换前后效果对比来说明器变换的作用，从而得出不同变换方法对图像处理的影响。实验数据结果表明，在正交变换中，小波变换无论在变换时间和图像处理质量上都比离散余弦变换效果更好。关键词：数字图像处理正交变换 标准基图像 离散余弦变换 小

2、波变换1.绪论1.1 课题研究目的及意义数字图像处理（Digital Image Processing），就是利用数字计算机或者其他数字硬件，对从图像信息转换而得到的电信号进行某些数学运算，以提高图像的实用性。例如从卫星图片中提取目标物的特征参数，三维立体断层图像的重建等。总的来说，数字图像处理包括点运算、几何处理、图像增强、图像复原、图像形态学处理、图像编码、图像重建、模式识别等。由于计算机处理能力的不断增强，数字图像处理学科在飞速发展的同时，也越来越广泛地向许多其他学科快速交叉渗透，使得图像作为信息获取以及信息的利用等方面也变得越来越重要。目前数字图像处理的应用越来越广泛，已经渗透到工业、

3、医疗保健、航空航天、军事等各个领域，在国民经济中发挥越来越大的作用。在图像处理中，正交变换有去除相关性和能量集中的性质，这一性质是信号与图像压缩编码的理论基础。傅立叶变换、离散余弦变换，离散沃尔什-哈达码变换，离散K-L变换都是正交变换的分支。展开来讲，正交变换主要包括非正弦类变换、正统类变换、和K-L变换三种。其中K-L变换去除信号中的相关性最彻底，且有着最佳的统计特征，因而被称为最佳变换，遗憾的是K-L变换的基函数依赖于所要变换的数据，因而缺少实现K-L变换的快速算法。而DCT/DST（离散余弦变换/离散正弦变换）在一定条件下近似K-L变换，实践中应用很广。JPEG标准中就应用了DCT。1

4、.2 国内外研究现状数字图像处理最早出现于20世纪50年代，当时的电子计算机已经发展到一定水平，人们开始利用计算机来处理图形和图像信息。数字图像处理作为一门学科大约形成于20世纪60年代初期。早期的图像处理的目的是改善图像的质量，它以人为对象，以改善人的视觉效果为目的。图像处理中，输入的是质量低的图像，输出的是改善质量后的图像，常用的图像处理方法有图像增强、复原、编码、压缩等。首次获得实际成功应用的是美国喷气推进实验室（JPL）。他们对航天探测器徘徊者7号在1964年发回的几千张月球照片使用了图像处理技术，如几何校正、灰度变换、去除噪声等方法进行处理，并考虑了太阳位置和月球环境的影响，由计算机

5、成功地绘制出月球表面地图，获得了巨大的成功。随后又对探测飞船发回的近十万张照片进行更为复杂的图像处理，以致获得了月球的地形图、彩色图及全景镶嵌图，获得了非凡的成果，为人类登月创举奠定了坚实的基础，也推动了数字图像处理这门学科的诞生。在以后的宇航空间技术，如对火星、土星等星球的探测研究中，数字图像处理技术都发挥了巨大的作用。数字图像处理取得的另一个巨大成就是在医学上获得的成果。1972年英国EMI公司工程师Housfield发明了用于头颅诊断的X射线计算机断层摄影装置，也就是我们通常所说的CT（Computer Tomograph）。CT的基本方法是根据人的头部截面的投影，经计算机处理来重建截面

6、图像，称为图像重建。1975年EMI公司又成功研制出全身用的CT装置，获得了人体各个部位鲜明清晰的断层图像。1979年，这项无损伤诊断技术获得了诺贝尔奖，说明它对人类作出了划时代的贡献。与此同时，图像处理技术在许多应用领域受到广泛重视并取得了重大的开拓性成就，属于这些领域的有航空航天、生物医学工程、工业检测、机器人视觉、公安司法、军事制导、文化艺术等，使图像处理成为一门引人注目、前景远大的新型学科。随着图像处理技术的深入发展，从70年代中期开始，随着计算机技术和人工智能、思维科学研究的迅速发展，数字图像处理向更高、更深层次发展。人们已开始研究如何用计算机系统解释图像，实现类似人类视觉系统理解外

7、部世界，这被称为图像理解或计算机视觉。很多国家，特别是发达国家投入更多的人力、物力到这项研究，取得了不少重要的研究成果。其中代表性的成果是70年代末MIT的Marr提出的视觉计算理论，这个理论成为计算机视觉领域其后十多年的主导思想。图像理解虽然在理论方法研究上已取得不小的进展，但它本身是一个比较难的研究领域，存在不少困难，因人类本身对自己的视觉过程还了解甚少，因此计算机视觉是一个有待人们进一步探索新的领域。2正交变换的概述2.1 信号的正交分解完备的内积空间称为希尔伯特空间。折X 为一希尔伯特空间,1 ,2 , ,n 是X 空间中的一向量,如果它们是线性独立的,则称之为空间X 中的一组“基”。

8、某一信号x 就可以按这样的一组基向量作分解,即X= （式2-1） 式（2-1）中a1 , a2 , , an 是分解系数, 它们是一组离散值。假设1 ,2 , ,n是一组两两互相正交的向量,则式(2-1) 称为x 的正交展开, 或正交分解。系数a1 , a2 , , aN 是x在各个基向量上的投影 ,若N=3 ,其含义如图2-1 所示。 图2-1 信号的正交分解2.2 正交变换的定义 一维序列 可以表示成一个N维向量 其酉变换可以表示为 或 ，其中变换矩阵A满足（酉矩阵），若A为实数阵，则满足，称为正交阵。向量 由此，U可以表示为 或 可知，给定基向量 ，原序列f（x）可以由一组系数g（u）（

9、）表示，这组系数（变换）可以用于滤波，数据压缩，特征提取等。若矩阵 满足：则矩阵A就成为正交矩阵。对于某向量f，用上述正交矩阵进行运算： 若要恢复f，则 以上过程称为正交变换（酉变换）。 2.3 正交变换的分类正交变换总的可分为两大类,即非正弦类正交变换和正弦类正交变换。我们经常使用的离散傅立叶变换(DFT) 、离散余弦变换(DCT) 、离散正弦变换(DST) 等属于正弦类变换,其中还包括离散Hartley 变换(DHT) 及离散W 变换(DWT) 等。非正弦类变换包括Walsh Hadamard 变换(WHT) 、Haar 变换( HRT) 等。由于正弦类变换在理论价值和应用价值上都优于非正

10、弦类变换,从而在正交变换中占据主导地位。除了正弦类和非正弦类正交变换,还有两种特殊的正交变换,K-L变换和正交小波变换。K-L变换去除信号中的相关性最彻底,且有着最佳的统计特性,被称为最佳变换。但是K-L变换的基函数依赖与原始数据,没有固定的变换核,限制了它的普遍应用。小波变换能够具有很高的时频分辨率,进行局部化分析,通过伸缩平移运算对信号进行多尺度细化,达到高频处时间细分,低频处频率细分。但是小波正交基的结构复杂,具有紧支集的小波正交基不可能具有对称性。随着小波理论及算法的成熟,必将大有作为。2.4 正交变换的标准基傅立叶变换是正交变换中最常用的变换,以它为例来讨论正交变换标准基具有普遍意义

11、。2.4.1 一维DFT的标准基首先从傅立叶级数进行考虑。假设函数f ( t)满足收敛定理,则函数f ( t) 的傅立叶级数为 （式2-2）a0 , a1 , b1 , 是函数f ( t) 的傅立叶系数。例如,一矩形波f ( t) 是周期为2的周期函数,在 -, 上 -1 -t0 （式2-3）1 0t由下式求得傅立叶系数, （式2-4）得到矩形波f（t） 的傅立叶级数展开为:= （式2-5） 上面得到的展开式表明:矩形波是由一系列不同频率的正弦波乘以一个权值叠加而成。这些波的频率依次为基波频率的奇数倍。可以看到,求傅立叶系数的过程相当于傅立叶变换的过程,把原始信号展开,相当于傅立叶逆变换的过程

12、。实际上,“任意”满足收敛的一个波、一个信号都可以分解成无穷多个不同频率的信号。这里说的这些无穷多的不同频率的信号就是标准基波。在DFT中也是类似的意思。假设有限长序列f( x) ( x = 0 ,1 , , N - 1) ,一维DFT变换对如下: u=0,1,N-1 （式2-6） x=0,1,N-1 （式2-7）其中称为变换核。将式（6）写成矩阵形式F = W f 即:= W 是正交变换矩阵, 矩阵元素是变换核函数不同次幂构成。W 是正交矩阵,有W - 1 = W T 。可以看出F( u) 是角频率为2u/ N 信号的加权系数,也就是它在原始信号中分量的大小。如此诸多标准基波乘以其各自系数再

13、求和得到了原始信号,这也就是离散傅立叶反变换。2.4.2 二维DFT一幅数字图像可以用一个二维矩阵来表示, f( i , j) 表示i 行j 列这个像素点的灰度值。数字图像处理主要是二维数据处理。假设f ( x , y) ( x =0 ,1 , , M - 1 ; y = 0 ,1 , , N - 1) 是一幅M N 图像,则二维离散傅立叶变换为: u=0，1,M-1;v=0,1,N-1 （式2-9）逆变换为： x=0，1,M-1;y=0,1,N-1 (式2-10）其中，称为正交变换核。在二维DFT中同样可以将（式2-9）写成矩阵形式： F = W f W T其中f 是原始的二维矩阵, F 是

14、二维DFT 系数矩阵,W 是正交变换矩阵。从式(10) 就可以得到逆变换的矩阵形式,两边左乘W - 1 ,右乘W 得: （式2-11）因为整段数据或整幅图像的相关性小,相对冗余度低, 所以如果对整段数据或整幅图像进行DFT ,很难保证能量较大的系数处在相对集中的位置。这不符合我们正交变换的目的。为了消除对整幅图像进行DFT 带来的大能量系数不能集中的问题,在实际应用中一般都将图像划分为8 8 或16 16 的小方块来做。一幅图像在空间上作周期性变化, 则该周期的倒数称为空间频率。在图像中, 空间频率的大小表征图像明暗变化的快慢, 决定着图像的细节是否丰富 。灰度变化缓慢的区域频率低, 而物体边

15、缘或噪声对应高频。F( u , v) 表示在对应( u ,v) 的频率点的标准基上的分量大小。这里的标准基类似一维DFT 的标准基, 一维DFT 中标准基是特定频率的波,在二维DFT 中每个标准基就应该是一幅图像,将在2.4.3 节中详细描述标准基图像。考虑二维离散傅立叶逆变换, IDFT 就是将原始图像表示成各个标准基图像的加权和。在图像压缩中常用的就是舍去能量小的标准基图像,只取主分量。以此来达到数据压缩的目的。这样压缩后的图像对视觉效果的影响一般不是很明显,略去的只是细节。但如果舍去的阈值设置过高,就会造成图像模糊。2.4.3 正交变换的标准基图像由于DFT 得到的变换矩阵元素是复数,

16、mat-lab 图像显示工具不能显示复数数值,所以选择了DCT 为例来绘制标准基图像。如前面的讲述,取88 的小方块来进行二维DCT 变换。假设F( u ,v) 对应的标准基图像是N uv , 它也是8 8 的二维矩阵。则有 （式2-12）设G= W T ,则式(2-12) 变为: f = G F W 。将右边前两个矩阵乘积展开有: （式2-13）这里的G( i , :) , f ( : , j) 表示G的第i 行与F的第j 列所有元素对应相乘再求和。实际上就是矩阵相乘得到新矩阵中在( i , j) 位置的元素。即: （式2-14）再设T = W T F, 则f ( X , Y ) 中任意位置

17、( x0， y0 ) 的值有: （式2-15）将上式与式(2-12) 比较可以发现, 这里的F( i ,j) 就是在( i , j) 位置对应频率上的分量, G(x0 ,j)W(j,y0)就是F( i ,j)对应的标准基图像Nij 中(x0 ,y0)位置的元素数值,即: （式2-16）其中i 从1 到8 ,j 从1 到8 得到64个标准基图像的二维矩阵, 每个矩阵中又有x0 从1 到8 ,y0 从1到8 得到88 个矩阵元素。经过上面讨论,得到了标准基图像的表达式。图2 就是88 二维DCT变换中的标准基图像。图2-2 88 二维DCT标准基图像可以看出,只要给定了变换核函数或变换矩阵就可以得

18、到标准基图像。有了标准基图像,就可以更直观地将正交变换理解为对原始图像在诸多标准基图像上的分解。通过对权值矩阵的处理即变换域处理,达到图像处理的目的,得到新的权值矩阵再反变换得到处理后的图像。实际上可以把标准基图像作为一个抽象概念应用到所有的二维正交变换中,并不局限于上面显示的二维DCT。2.5 正交变换在图像处理中的应用窗体顶端窗体底端正交变换研究已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方面是图象和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构

19、(或恢复)。从数学地角度来看，信号与图象处理可以统一看作是信号处理(图象可以看作是二维信号)，小波分析的许多分析和应用问题，都可以归结为信号处理问题。现在，对于其性质随时间是稳定不变的信号（平稳随机过程），处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的（非平稳随机过程），而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。事实上正交变换的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图象处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值

20、分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图象处理方面的图象压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。 (1)用于信号与图象压缩是一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图象的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。 (2)在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及

21、多尺度边缘检测等。 (3)在工程技术等方面的应用。包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面。图像的正交变换作为图像处理技术的重要工具, 通过正交变换改变图像的表示域及表示数据, 给图像处理工作带来了极大的方便。利用这个工具, 可以对 图像的频谱进行各种各样的处理, 如滤波、降噪等。由于傅里叶变换和余弦变换的变换核由正弦、余弦函数组成, 运算速度受影响, 为此，我们在特定问题中往往引进不同的变换方法,要求运算简单且变换核矩阵产生方便，小波变换占用存储空间少, 产生容易, 有快速算法, 在大量数据需要实时处理的图像处理问题中, 得到广泛应用3.典型正交变换方法在图

22、像处理技术的发展中，傅立叶变换起着十分重要的作用,主要体现在以下几个方面： 1.是线性系统分析的一个有力工具; 2.能够定量地分析诸如数字图像之类的数字系统; 3.把傅立叶变换的理论与物理解释相结合，将有利于解决大多数图像处理问题; 4.在图像处理中的应用十分广泛，如图像特征提取、图像恢复、纹理分析等。3.1 傅里叶变换的定义及基本概念傅里叶变换在数学中的定义是严格的。设f(x)为x的函数，如果满足下面的狄里赫莱条件： （）具有有限个间断点； （）具有有限个极值点； （）绝对可积。则有下列二式成立正变换式 （式3-1）反变换式 （式3-2）式中x是时域变量，u为频率变量。如令，则有 （式3-3

23、） （式3-4）通常把以上公式称为傅里叶变换对。函数f(x)的傅里叶变换一般是一个复量，它可以由式（35）表示 （式3-5）或写成指数形式 （式3-6） （式3-7） （式3-8）把 叫做的傅里叶幅度谱或频谱，而叫相位谱。傅里叶变换广泛用于频谱分析。例一：求图31所示波形f(x)的频谱。XA A 0 0 图31 函数的波形 则 0 的幅度谱及相位谱如图32所示。图3-2的幅度谱及相位谱例二：求周期函数的傅里叶谱。一个周期为T的信号可用傅里叶级数来表示，即式中 因此，傅里叶变换可写成下式: 图3-3 周期函数的傅里叶谱由上面的例子可以建立起下面几个概念： （）只要满足狄里赫莱条件，连续函数就可以

24、进行傅里叶变换，实际上这个条件在工程运用中总是可以满足的。 （）连续非周期函数的傅里叶谱是连续的非周期函数，连续的周期函数的傅里叶谱是离散的非周期函数。傅里叶变换可推广到二维函数。如果二维函数满足狄里赫莱条件，那么将有下面二维傅里叶变换对存在： （式3-9） （式3-10）与一维傅里叶变换类似，二维傅里叶变换的幅度谱和相位谱如下式 （式3-11） （式3-12） （式3-13）式中：是幅度谱或频谱；是相位谱；是能量谱。3.1.1 二维离散傅里叶变换一幅静止的数字图像可看做是二维数据阵列。因此，数字图像处理主要是二维数据处理。二维离散傅里叶变换的定义可用下面二式表示。正变换式为： （式3-14）

25、反变换式为： （式3-15）在图像处理中，一般总是选择方形阵列，所以通常情况下总是。因此，二维离散傅里叶变换多采用下面两式形式。 （式3-16） （式3.-17）式中符号可称为空间频率。 a) 原始图像 b) 离散傅立叶频谱 图3-4 二维图像及其离散傅立叶频谱的显示在图3-4（b）中可以看到图像的低频能量（反映景物的概貌）都集中在中心部分，而高频能量（反映景物的细节）集中在四周，这样就便于以后对图像频谱进行各种处理（如滤波、降噪等）。3.1.2二维离散傅里叶变换的性质1.可分离性 式（316）和（317）可以分离成如下形式： （式3-18） （式3-19）这个性质可以使二维变换用两次一维变换

26、实现即先沿f(x,y)的列方向求一维离散傅立叶变换并乘以N得到F(x,v)后再对F(x,v)沿行的方向求一维离散傅立叶变换并乘以N得到F(u,v)： （式3-20） （式3-21）这个过程可用下图表示:图35 二维离散傅立叶变换的分离过程注：二维离散傅立叶反变换的分离过程与正变换的分离过程相似。2. 平移性 平移性指将f(x,y)乘以一个指数项相当于把其二维离散傅立叶变换F(u,v)的频域中心移到新的位置。反变换也类同。这个性质可以用公式表示为: （式3-22） （式3-23）从式（323）可以看出，对f(x,y)的平移不影响其傅立叶变换的幅值3. 周期性 傅立叶变换和反变换均以N为周期，即：

27、 F(u,v)=F(u+N,v)= F(u,v+N)=F(u+N,v+N) (式3-24)周期性表明： （1）尽管F(u,v）对无穷多个u和v的值重复出现，但只要根据任意周期内的N个值就可以从F(u,v）得到f(x,y)。即只需一个周期内的变换就可以将F(u,v）完全确定。 （2）对于f(x,y)在空间域里也同样成立。4. 共轭对称性如果是的傅里叶变换，是傅里叶变换的共轭函数，那么 （式3-25）5. 旋转性 如果空间域函数旋转的角度为，那么在变换域中此函数的傅里叶变换也旋转同样的角度，即 (式3-26)这可用下图表示： 图3-6二维离散傅立叶变换的旋转性6. 分配变换特性 傅立叶变换的分配性

28、表明傅立叶变换对于加法可以分配，而对乘法则不行，即 （式3-27） （式3-28）7. 比例变换特性 如果是的傅里叶变换。a和b分别为两个标量，那么 （式3-29） （式3-30）此式说明了在空间比例尺度的展宽，对应于在频域比例尺的压缩，其幅值也减少为原来的1/（/ab/）。这可用下图表示：图3-7傅立叶变换的比例性3.2离散余弦变换傅立叶变换的一个最大问题是：它的参数都是复数，在数据的描述上相当于实数的两倍，不易计算，因此希望有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换。在这个思想的指导下，产生了离散余弦变换。离散余弦变换表示为DCT3.2.1 离散余弦变换的定义一维离散余弦变换的定义由下式表

29、示 （式3-31） （式3-32）式中F(u)是第u个余弦变换系数，u是广义频率变量，u=1,2,N-1;f(x)是时域N点序列，x=0，1，N-1一维离散余弦反变换由下式表示 （式3-33）显然，式（3-31），式（3-32）和式（3-33）构成了一维离散余弦变换对。二维离散余弦变换的定义由下式表示 （式3-34）式(334)是正变换公式。其中是空间域二维向量之元素，是变换系数阵列之元素。式中表示的阵列为N N二维离散余弦反变换由下式表示 （式3-35）式中的符号意义同正变换式一样。式(334)和式(335)是离散余弦变换的解析式定义。更为简洁的定义方法是采用矩阵式定义。如果令N4，那么由一

30、维解析式定义可得如下展开式 （式3-36）写成矩阵式 （式3-37）若定义A为变换矩阵,F(u)为变换系数矩阵,f(x,y)为时域数据矩阵，则一维离散余弦变换的矩阵定义式可写成如下形式 （式3-38）同理，可得到反变换展开式 （式3-39）写成矩阵式 （式3-40）即 （式3-41）当然，二维离散余弦变换也是可以写成矩阵式 （式3-42）式中是空间数据阵列，是变换系数阵列，是变换矩阵，是的转置3.2.2 图像及其离散余弦变换频谱 a)原始图像 b）离散余弦变换后的频谱图3-8二维图像及其离散余弦变换频谱的显示注意：在图3-8b中可以看到图像的低频能量都集中在左上角区域，而高频能量集中在右下角区

31、域。离散傅立叶变换和离散余弦变换的比较如下表:3.2.3 离散余弦变换在图像处理中的应用1.离散余弦变换在图像的变换编码中有着非常成功的应用。近年来十分流行的静止图像压缩标准JPEG就采用了离散余弦变换。2.离散余弦变换实际上是傅立叶变换的实数部分，但是它比傅立叶变换有更强的信息集中能力。3.对于大多数自然图像，离散余弦变换能将大多数的信息放到较少的系数上去，因此就更能提高编码的效率。如图3-2所示: a) 未经压缩的原始图像 b)采用JPEG方式压缩存储的图像图3-9离散余弦变换在图像压缩中的应用图3-9a与图3-9b的比较如下表:3-9 a图未被压缩的原始图像图像较大3-9 b图采用JPE

32、G方式压缩存储的图像图像相对较小仅为3-9a图的1/6基本上保留了原图的内容信息4.小波变换4.1概述由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到认可一样。幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基；1986年著名数

33、学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的统一方法-多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）对小波的普及起了重要的推动作用。与Fourier变换、视窗Fourier变换（Gabor变换）相比，具有良好的时频局部化特性，因而能有效的从信号中提取资讯，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，因而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发

34、展史上里程碑式的进展。4.2小波变换的基本理论设 L2 (R)(L2 (R)平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间），其傅立叶变换为.如果满足允许条件 （式4-1）则称为一个基本小波或母小波。将母小波经伸缩和平移后，就可以得到一个小波函数。对于连续的情况，小波函数 （式4-2）式中，a为伸缩因子；b为平移因子。对于离散的情况，小波序列为 （式4-3）在相平面中，b仅仅影响窗口在时间轴的位置，而a不仅影响窗口在频率轴的位置，而且也影响窗口的形状。 因此，小波变换对不同频率在时域上的取样步长具有可调节性，即在低频时小波变换的时间分辨率较低，而频率分辨率较高；在高频时小波变换的时间频率较高，而频率

35、分辨率较低，这正好符合低频信号变换缓慢而高频信号变化迅速的特点。这便是它优于傅立叶变换地方。从总体上来说，小波变换比傅立叶变换具有更好的时频窗口特性。如图4-1所示， 图4-1短时傅立叶变换和小波变换的时频窗4.3 小波分析的应用现在，对于时间不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析，但是在实际应用中绝大多数信号是时变的非稳定信号，因而小波分析就成为分析非稳定信号的有力工具。 小波分析的应用领域十分广泛，可用下图来表示：4.3.1小波变换在图像压缩中的应用小波分析用于信号与图像压缩是小波分析应用的一个重要方面。特点包括：压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图像的特征不变，传递中可以抗干扰

36、下面是一个二级小波分解的例子。图4-2（a）是一个分辨率为256*256像素的灰度图像，假设像素的量化精度是8bit，则每个像素的取值范围是0-255，0对应最低灰度值“黑”，255对应最高灰度“白”，0-255之间的值对应一系列灰度值。 图4-2（a) 原始灰度图像对二维图像做小波变换实际上就是把原始图像的像素值矩阵变换成另一个有利于压缩编码的系数矩阵,该系数矩阵对应的图像如图4-3（b）所示 图4-3（b) 一级小波分解后的图像由4-3（b）可以看出：子图包含了图像的低频分量，即图像的主要特征但失去了一部分边沿细节信息，所以左上角子图比原始图像模糊了一些，不仅如此，其长宽尺寸也降低到原来的

37、一半，分辨率降低到原来的1/4。 子图包含了图像 的水平分量，即包含了 较多的水平边缘信息； 子图包含了图像的对角信息，即同时包含了垂直和水平边缘信息； 子图包含了图像的垂直分量，即包含了较多的垂直边缘信息；低频子图可进一步分解，经过二级分解后，系数矩阵对应的图像如图4-3（c）所示。 a)原始灰度图像 b)一级小波分解后的图像 c)二级小波分解后的图像图4-3小波变换在图像压缩中的应用结束语可以看出,只要给定了变换核函数或变换矩阵就可以得到标准基图像。有了标准基图像,就可以更直观地将正交变换理解为对原始图像在诸多标准基图像上的分解。通过对权值矩阵的处理即变换域处理,达到图像处理的目的,得到新

38、的权值矩阵再反变换得到处理后的图像。实际上可以把标准基图像作为一个抽象概念应用到所有的二维正交变换中,并不局限于上面显示的二维DCT。本论文也结合小波变换的基本概念和基本原理，详细讨论小波在图像处理领域的应用，了解小波变换和小波分析的理论和方法。主要以小波的发展过程为线索，从传统的傅立叶分析入手，通过对比傅立叶分析、离散余弦变换和小波分析的优缺点，指出了小波分析在分析数学领域的地位及其必然性。小波的数学理论和发在科学技术界引起一场轩然大波。电子信息技术是六大高新技术中的一个重要领域，图像和信号处理又是电子信息技术领域的重要方面。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要组成部分。现在，对性质

39、随时间稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但在实际应用中，绝大多数信号是非稳定的，小波分析正是适用于非稳定信号的处理工具。图像处理是针对性很强的技术，根据不同应用、不同要求需要采用不同的处理方法。采用的方法是综合各学科较先进的成果而成的，如数学、物理学、心理学、信号分析学、计算机学、和系统工程等。由于毕业设计的时间较短以及自己的技术有限和知识面比较窄，所以该设计考虑还不够全面，还存在一些问题，这些都有待于进一步完善。参考文献1胡广书. 数字信号处理理论、算法与实现(第二版)M . 北京:清华大学出版社,2008. 2阮秋琦. 数字图像处理学(第二版) M . 北京:电子工业出版社,2007. 3姚敏. 数字图像处理M .