初二三角形常见辅助线做法总结及相关试题_周末

1、数学专题三角形中的常用辅助线常见辅助线的作法有以下几种：（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。例1：如图，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，BD平分ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。2）解题思路：要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分ABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。解答过程：证明：延长BA，CE交于点F，在BEF和BEC中，1=2，BE=BE，BEF=BEC=90，BEFBEC，EF=EC，从而CF=2CE。又1+F=3+F=90，故1=3。在A

2、BD和ACF中，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90，ABDACF，BD=CF，BD=2CE。（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。例2：如图，已知ABC中，AD是BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ABC是等腰三角形。证明：延长AD到E，使DE=AD，连接BE。又因为AD是BC边上的中线，BD=DC又BDE=CDABEDCAD，故EB=AC，E=2，AD是BAC的平分线1=2，1=E，AB=EB，从而AB=AC，即ABC是等腰三角形。（3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用

3、的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。例3：已知，如图，AC平分BAD，CD=CB，ABAD。求证：B+ADC=180。2）解题思路：因为AC是BAD的平分线，所以可过点C作BAD的两边的垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。解答过程：证明：作CEAB于E，CFAD于F。AC平分BAD，CE=CF。在RtCBE和RtCDF中，CE=CF，CB=CD，RtCBERtCDF，B=CDF，CDF+ADC=180，B+ADC=180。解题后的思考：关于角平行线的问题，常用两种辅助线；见中点即联想到中位线。（4）过图形上某一点作特定的平行线，构造

4、全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”例4：如图，ABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D，若EB=CF。求证：DE=DF。2）解题思路：因为DE、DF所在的两个三角形DEB与DFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换：过E作EG/CF，构造中心对称型全等三角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决。解答过程：证明：过E作EG/AC交BC于G，则EGB=ACB，又AB=AC，B=ACB，B=EGB，EGD=DCF，EB=EG=CF，EDB=CDF，DGEDCF，DE=DF。解题后的思考：此题的辅助线

5、还可以有以下几种作法：例5：ABC中，BAC=60，C=40，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。2）解题思路：本题要证明的是AB+BP=BQ+AQ。形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过O作BC的平行线。得ADOAQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再证出BD=OD就可以了。解答过程：证明：如图（1），过O作ODBC交AB于D，ADO=ABC=1806040=80，又AQO=C+QBC=80，ADO=AQO，又DAO=QAO，OA=AO，ADOAQO，OD=OQ，AD=AQ，又ODBP，PBO=

6、DOB，又PBO=DBO，DBO=DOB，BD=OD，又BPA=C+PAC=70，BOP=OBA+BAO=70，BOP=BPO，BP=OB，AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。解题后的思考：（1）本题也可以在AB上截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长法”。（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：如图（2），过O作ODBC交AC于D，则ADOABO从而得以解决。如图（5），过P作PDBQ交AC于D，则ABPADP从而得以解决。例6：如图甲，ADBC，点E在线段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB。求证：CD=AD+BC。2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。解答过程：证明：在CD上截取CF=BC，如图乙FCEBCE（SAS），2=1。又ADBC，ADC+BCD=180，DCE+CDE=90，2+3=90，1+4=90，3=4。在FDE与ADE中，FDEADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC。小结：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平