根轨迹_有关于分离角（汇合角）的证明.ppt

1、第四章 根轨迹法,闭环系统的稳定性和性能指标主要由闭环系统的极点在复平面的位置决定，因此，分析或设计系统时确定出系统闭环极点的位置是十分有意义的。 1948年，伊文斯(W. R. Evans)提出了根轨迹法，这种方法是根据系统的开、闭环传递函数之间的关系，根据一些准则，直接由开环传递函数的零、极点求出闭环极点（闭环特征根）。,4.1 根轨迹的基本概念,根轨迹：是指系统开环传递函数中某个参数(如开环增益K)从零变到无穷时，闭环特征根在s平面上移动所画出的轨迹。,常规根轨迹：当变化的参数为开环增益时所对应的根轨迹。,广义根轨迹：当变化的参数为开环传递函数中其它参数时所对应的根轨迹。,一、根轨迹的定

2、义,系统的传递函数,其闭环传递函数,则闭环特征方程为,解之，得闭环特征根表达式为,取K为不同值代入s1,2表达式，得,二、根轨迹与系统的性能,稳定性：只要K0，则根轨迹在s平面的左半平面，因此，系统是稳定的。,稳态性能：有一个开环极点在坐标原点处，所以该系统是I型系统，则K为静态速度误差系数。,动态性能： 当0K0.5时，系统的闭环极点位于负实轴上，二阶系统处于过阻尼状态，单位阶跃响应为非周期过程。,当K=0.5时，二阶系统处于临界阻尼状态，单位阶跃响应也为非周期过程。,当K0.5时，系统具有一对共轭复数极点，处于欠阻尼状态，单位阶跃响应为具有阻尼的振荡过程。,三、根轨迹方程,1. 开、闭环传

3、递函数的零、极点表达式,控制系统的结构图,将开环传递函数用其分子、分母多项式方程根的因式来表示，得,开环传递函数,pi 为分母多项式方程的根，称作开环传递函数的极点。 zj 为分子多项式方程的根，称作开环传递函数的零点。 K* 称作根轨迹增益。,开环传递函数的零、极点表达式,闭环传递函数,式中： si 为闭环传递函数的极点，亦即闭环特征根。 zj 闭环传递函数的零点。 K*称作闭环根轨迹增益。,闭环传递函数的零、极点表达式,2. 根轨迹方程,根轨迹是所有闭环特征根的集合。闭环系统的特征方程为 1+G(s)H(s) = 0,G(s)H(s) = -1,或写成,上式就是根轨迹方程。,模值方程：,相

4、角方程：,看出：模值方程与K*有关，而相角方程与K*无关。因此，相角方程是决定闭环根轨迹的充分必要条件，而模值方程是用来确定根轨迹上各点对应的K*值。,4.2 绘制根轨迹图的基本法则,法则1 根轨迹的分支数： n 阶系统根轨迹有 n 条分支。,法则2 根轨迹的对称性： 根轨迹是关于实轴对称的。,法则3 根轨迹的起点、终点： 根轨迹起于开环极点 pi， 终止于开环零点 zj (m条)， 或趋于无穷远点(n-m条)。,证明： 由根轨迹方程，得,令K* =0，得,故,令 ，得,当 ，设 ， 则,法则4 根轨迹在实轴上的分布： 实轴上根轨迹区段右侧的开环零点与开环极点数目之和为奇数。相反，如果右侧(实

5、)零点与(实)极点数目之和为偶数，则试探点 si 所在区段不属于根轨迹。,证明：根据相角方程,法则5 根轨迹的渐近线： 当 nm 时，将有(n-m)条根轨迹沿渐近线趋于无穷远处，其渐近线与实轴正方向的夹角为 ，与实轴交点坐标为 。,常见 n-m1,2,3,4时渐近线的图像:,观察发现：渐近线条数为(n-m)条，而这些渐近线将s平面以 为中心进行等分，几个渐近线之间的夹角为 ，这样只要求出某一条渐近线与实轴的夹角，就很容易求出其它渐近线的位置。,法则6 根轨迹的分离点(或会合点)坐标sd ： 两条或两条以上根轨迹在s平面上相遇后又立即分开的点，称为分离点。,分离点满足方程：,根轨迹起始于开环极点

6、，而终于开环零点。一般情况下，如果实轴上两相邻极点之间的线段属于根轨迹，那么这两个极点之间至少存在一个分离点；根轨迹位于实轴上两相邻开环零点之间(或其中一个零点是无穷远零点)，则两零点之间也至少存在一个分离点。,首先判断是否有分离点，然后确定分离点可能处的大概位置： 实轴上 以共轭形式出现在复平面上,一般是指位于实轴上的两条根轨迹的分离点。,注意：开环零、极点位置的变化影响根轨迹的形状，要仔细把握。属于根轨迹区段上的点，才是分离点，否则舍掉。,证明：系统的闭环特征方程,根轨迹有分离点，说明闭环特征方程有重根。因此，,将上面两式相除，整理得,法则7 根轨迹的分离角(与会合角)： 分离角是指根轨迹

7、离开分离点处的切线与实轴正方向的夹角。 会合角是指根轨迹进入会合点处的切线与实轴正方向的夹角。,实轴上分离点的分离角为 ； 实轴上会合点的会合角为 。,分离角计算公式：,式中，sd分离点坐标 zj原系统的开环零点 siK=Kd时除l个重极点外，其它(n-l)个原系统的闭环极点，即新系统的开环极点 l 分离点处根轨迹的分支数,会合角计算公式：,式中，sd分离点坐标 pi原系统的开环极点 si新系统 时除l个重极点外，其它(n-l)个开环极点(原系统的闭环极点) l 分离点处根轨迹的分支数,一般情况下，两条根轨迹相遇又分开时，它们的会合角和分离角分别是、180和90、-90，或者相反。这一规律具有

8、一般性。可以证明： (1) 若分离角 ，则会合角 (2) 若分离角 ，则会合角,法则：若有l条根轨迹进入sd点，必有l条根轨迹离开sd点；l条进入sd点的根轨迹与l条离开sd点的根轨迹相间隔；任一条进入sd点的根轨迹与相邻的离开sd点的根轨迹方向之间的夹角为/l 。因此只要确定sd点的附近一条根轨迹方向，由上述规律就可以方便地确定sd点附近所有的根轨迹的方向。,法则8 根轨迹的起始角与终止角： 起始角是指根轨迹在起点处的切线与实轴正方向的夹角。 终止角是指根轨迹进入开环零点处的切线与实轴正方向的夹角。,起始角的计算公式：,终止角的计算公式：,法则9 根轨迹与虚轴交点及临界根轨迹增益,根轨迹与虚

9、轴相交，意味着闭环极点中有一对共轭虚根。因此，将 s=j 代入特征方程中就可求得 和K*，即根轨迹与虚轴交点的坐标及交点所对应的临界根轨迹增益Kcr。,将 s=j 代入特征方程中，得 1G(j )H(j ) = 0,令,由上面的方程组，就可求得 和K* 。,法则10 闭环极点(根)的和与积,设系统的闭环特征方程可写成,并设它的n个根为,则根据代数方程的根与系数的关系可知，有,把系统的传递函数写成,如果开环零、极点的数目满足n-m 2，则闭环特征方程为,当m = 0，即没有开环零点时，上式左端最后一项应为,由此得到，系统闭环极点之和为,即 闭环极点之和等于开环极点之和。,系统闭环极点之积为,或,

10、解：,(2) 实轴上(-1.5, 0)，(-, -2.5)为根轨迹段。,(3) 渐近线：由n-m=1可知，有一条根轨迹趋于无穷远处。,开环零点z2处的终止角：,同理，开环零点z3处的终止角：,例 负反馈系统的开环传递函数 试作K(由0)变动的系统闭环根轨迹。,解：,开环极点：p1=0，p2= -1，p3= -2 无开环零点。,(2) n = 3 ，根轨迹有3条分支；,(3) K = 0时 ，根轨迹起始于p1 ， p2 ， p3 K 时，皆趋于无穷远处；,(4) 实轴上的根轨迹区段： (-1, 0)，(-, -2),(5) 渐近线：,(6) 分离点sd：,由公式,解之，得 sd = -0.42,

11、 sd = -1.58 (舍掉),(7) 分离角：,(8) 根轨迹与虚轴交点坐标即临界增益：,令 s = j ，代入特征方程,将实部和虚部分别写成方程式,解之，得,所以，与虚轴交点坐标为 临界增益,解：,开环极点：p1= 0，p2= -3，p3,4= -1 j 无开环零点;,(3) K = 0时 ，根轨迹起始于p1 ， p2 ， p3,4 K 时，皆趋于无穷远处；,(2) n = 4 ，根轨迹有4条分支；,(4) 实轴上的根轨迹区段： (-3, 0),(5) 渐近线：,(6) 分离点坐标sd：,解之，得 sd = -2.2886 sd = -0.7307 j 0.3486 (舍掉),由公式,(

12、7) 分离角：,(8) 起始角：,(9) 根轨迹与虚轴交点坐标及临界增益：,令 s = j ，代入特征方程,将实部和虚部分别写成方程式,解之，得,所以，与虚轴交点坐标为,临界增益,(10) 求K= 8.16时所对应的另外两个闭环根：,利用根之和与根之积的关系式，得到,已知 s1,2 = j1.095 那么 s3,4 = -2.5 j0.742,例 已知系统的结构图,试证明 K 从 0 变化时的闭环根轨迹其复数部分为圆，并求圆的半径和圆心。,开环极点：p1= 0，p2= -a 开环零点：z1 = -b,解：,(2) n = 2 ，根轨迹有2条分支；,(3) K = 0时 ，根轨迹起始于p1 ，

13、p2 K 时，根轨迹一条终止于z1 ，另一条趋于无穷远处；,(4) 实轴上的根轨迹区段： (-a, 0)，(-, -b),(5) 渐近线： 因为 n m = 1 所以,(6) 分离点坐标sd：,由公式,所以,求得两个分离点坐标分别为,证明：两分离点之间的根轨迹为圆,由于根轨迹上任一点都满足闭环特征方程，设根轨迹复数部分任一点 s = + j ，代入特征方程中,展开，整理，令,整理得到，,显然这是以 , 为变量的圆的方程，其圆心坐标为(-b，0)，半径为,将K代入整理，得到,从例题中可以发现：由两个极点(实数极点或复数极点)和一个有限零点组成的开环系统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当K

14、从零变到无穷时，闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心到分离点的距离为半径的圆，或圆的一部分。这在数学上是可以严格证明的。,开环零极点变化时的根轨迹,根轨迹的形状与开环零极点的分布密切相关。,一、增加开环极点的影响,改变了根轨迹在实轴上的分布； 改变渐近线的条数，方向角及与实轴的交点； 一般使根轨迹向右偏移，不利于系统的稳定性和动态特性。,例如：,二、增加开环零点的影响,例如：,增加开环零点可以使根轨迹左移，有利于改善系统的稳定性和动态特性。,4.3 利用根轨迹分析系统的动态性能,设n 阶系统的闭环传递函数可写为,一、闭环零极点分布与阶跃响应的定性关系,设输入为单位阶跃信号，r(t)=1(t

15、)，则 R(s)=1/s 代入上式得,如果(s)无重极点,可将上式分解为部分分式,式中,经拉氏反变换，可以求出系统的单位阶跃响应,看出：系统的阶跃响应将由闭环极点sk及系数Ak决定，而系数Ak也与闭环零、极点分布有关。,一个控制系统总是希望它的输出量尽可能地复现给定的输入量，要求动态过程的快速性、平稳性要好一些。,1. 要求系统稳定，则必须所有的闭环极点si位于s平面的左半平面。,2. 要求系统快速性好，应使阶跃响应式中的每个分量eskt衰减得快，则闭环极点应远离虚轴。要求平稳性好，则复数极点最好设置在s平面中与负实轴成 45夹角线的附近。,二、主导极点与偶极子,3. 要求动态过程尽快消失，要

16、求系数Ak要小， 因为Ak小，对应的暂态分量小。,故应使分母大，分子小。从而看出：闭环极点之间的距离(sk-si)要大；零点zi应靠近极点sk。,一阶系统,闭环特征方程为 Ts+1=0,闭环特征根为实根，s1=-1/T，位于s平面的左半平面。,系统的阶跃响应式为,快速性指标,可以看出：为提高系统的快速性，减小调节时间，应使时间常数T小一些，及特征根的绝对值 大一些，即s1远离虚轴。,二阶系统,在欠阻尼情况下，闭环特征根为负根,位于s平面的左侧。,可以看出：为提高快速性，应加大n ，即特征根的实部绝对值要大一些，即s1,2远离虚轴。,闭环特征方程为,快速性指标,偶极子：如果一个闭环极点和零点在复

17、平面上的位置很接近，则常成为一个偶极子。 工程上，某零、极点之间的距离比它们本身的模值小一个数量级，则它们就构成了偶极子。,例如：,2. 主导极点：在 s 平面上，最靠近虚轴而附近又没有闭环零点的一些闭环极点，称为主导极点。 主导极点对系统的性能影响最大，远离虚轴的极点对系统的影响很小。 凡是比主导极点的实部大6倍以上(比主导极点远离虚轴46倍)的其它闭环零、极点，其影响均可以忽略。,这样，在许多情况下，同时考虑偶极子的处理原则后，高阶系统往往只剩下二、三个主导极点和一、二个零点，这样就可以估算阶跃响应的性能指标，从而简化了高阶系统的分析研究工作。,三、利用主导极点估算系统的性能指标,例 三阶

18、系统的闭环传递函数 试估算系统的性能指标、ts。,解：,闭环传递函数有三个极点，分别为 s1=-1，s2,3=-4j9.2 一个闭环零点 z1=1.1,由零、极点分布图看出： 极点 s1与零点 z1构成偶极子，所以主导极点不再是 s1 ，而是 s2,3 。 所以系统可以近似为二阶系统，即,系统的 0.4， n10 s-1,对应的性能指标,四、系统阶跃响应的根轨迹分析,例 某负反馈系统的开环传递函数 试作系统K* (由0)变动的闭环根轨迹，并进行动态分析。,解：,开环极点：p1=0，p2=1， 开环零点: z1=-1,(3) 实轴上根轨迹区段(0,1)，(-,-1),(4) 渐近线:,解得: s

19、d1=0.46, sd2=-0.79+j2.16, sd3=-0.79-j2.16, sd4=-2.22, 其中sd1和sd4为根轨迹上的分离点，将sd2、sd3舍去。,(5) 分离点坐标sd：,(6) 实轴上的分离角与会合角： 90和0、180,(7) 起始角：,(8) 与虚轴交点坐标及临界增益：,系统闭环特征方程为,展开，整理得,令s=j，则有,解之,由图看出，当K*在23.335.7范围内，根轨迹位于s平面左侧，闭环系统是稳定的。 K*在其他范围内取值，系统均不稳定。,4.4 广义根轨迹,通常，将反馈系统中K*变化时的根轨迹叫做常规根轨迹。,除开环增益以外，其它参数变化时对应的根轨迹称为

20、广义根轨迹。,例如，系统的参数根轨迹，开环传递函数中零点个数多于极点个数的时的根轨迹，以及零度根轨迹（正反馈系统或某些非最小相位系统）等。,如果引入等效传递函数的概念，则广义根轨迹的绘制法则与常规根轨迹的绘制法则相同或略有不同。,一、参数根轨迹,定义：以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹，称为参数根轨迹。 以区别于以开环增益K*为可变参数的常规根轨迹。,常规根轨迹：,特征方程,参数根轨迹：从系统的特征方程出发，引入等效传递函数的概念，构造一个新系统，使新系统的闭环传递函数的分母(特征式)与原系统一样，而新系统的开环增益恰为原系统的参数(即以可变参数代替原来的K*)，得到,根轨迹的绘制规则：,根轨

21、迹的分支数： 根轨的对称性： 根轨的起点、终点： 根轨在实轴上的分布： 根轨迹的渐近线： 根轨迹的分离点坐标：,(7) 实轴上的分离角(与会合角)： (8) 根轨迹的起始角和终止角： (9) 根轨迹与虚轴交点及临界根轨迹增益： (10) 闭环极点(根)的和与积：,例 已知系统 试作从0 变化的闭环根轨迹。,解：特征方程,构造新系统,开环传递函数,根据* ： 0 ，作出根轨迹图,新系统的开环零、极点：,z1 = 0 不是原系统的闭环零点，因此“等效”的含义仅在闭环极点相同这一点上成立，而闭环零点一般是不同的。,二、双参数根轨迹,假设特征方程 式中 、 为可变参数，Q(s), W1(s), W2(

22、s) 为 s 的多项式。,第一步：先设一个可变参数等于零。若设 = 0，于是上式变为,等效变换，用Q(s)除方程的两边，得,根据 的零、极点分布绘制根轨迹。, 从 0 变化的根轨迹。,(2) 第二步：还原 的值， 0，用Q(s) + W1(s) 除方程的两边，得,根据 的零、极点分布绘制(*)的广义根轨迹。, 从 0 变化的根轨迹。,G2(s)H2(s)的开环极点与1+G1(s)H1(s)的根是一致的。这样，原方程的广义根轨迹的全部起点( = 0)都落在1+G1(s)H1(s)=0的根轨迹上。这样就把广义根轨迹的问题看成是嵌套在另一种根轨迹的问题中。,例 已知系统的开环传递函数 试作 K, 变化的根轨迹族。,解：特征方程,(1) 当 = 0