江苏专用2019高考数学二轮复习专题二不等式第5讲三个“二次”的问题课件.ppt

1、专题二 不等式 第5讲三个“二次”的问题,第5讲三个“二次”的问题 1.不等式0的解集是.,答案1,3),解析0解得1x3,故原不等式的解集为1,3).,2.已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意xm,m+1,都有f(x)0成立,则实数m的取值范围是 .,答案,解析由二次函数图象可得f(x)0,xm,m+1恒成立,即 解得-m0.,3.已知函数f(x)=x2+ax+b(a,bR)的值域为0,+),若关于x的不等式f(x)c的解集为(m,m+6),则实数c的值为 .,答案9,解析因为f(x)=x2+ax+b的值域是0,+),所以=a2-4b=0(1).又不等式x2+ax+b-c0的解集是(

2、m,m+6),所以2m+6=-a,m(m+6)=b-c,所以a=-(2m+6),b=m(m+6)+c.代入(1)解得c=9.,4.如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为实数,a0)的图象过点C(t,2),且与x轴交于A,B两点,若ACBC,则a的值为.,答案-,解析设A(x1,0),B(x2,0),则x1+x2=-,x1x2=.又ACBC,所以=(t-x1,2)(t-x 2,2)=x1x2-t(x1+x2)+t2+4=+t2+4=0. 又图象过点C(t,2), 所以at2+bt+c=2+t2=,所以+4=0a=-.,题型一一元二次不等式的解法,例1已知f(x)=-3x2+a(

3、6-a)x+b. (1)解关于a的不等式f(1)0; (2)当不等式f(x)0的解集为(-1,3)时,求实数a,b的值.,解析(1)f(1)=-3+a(6-a)+b=-a2+6a+b-3.,因为f(1)0,所以a2-6a+3-b0的解集为;当b-6时,3-6时, f(1)0的解集为a|3-0的解集为. (2)因为不等式-3x2+a(6-a)x+b0的解集为(-1,3), 所以解得,【方法归纳】(1)解二次不等式要结合二次函数图象,从图象的开口方向、判别式等方面考虑,含有参数的问题,一般还需要分类讨论,此时要弄清分类讨论的标准,避免重复和遗漏;(2)已知一元二次不等式的解集求参数的取值,一般结合

4、图象将不等式的解集的区间端点转化为方程的根,利用韦达定理建立方程组求解.,1-1已知函数f(x)=(x0,a0),当x1,3时,函数f(x)的取值范围恰为 . (1)求函数f(x)的解析式; (2)若向量m=,n=(k2+k+2,3k+1)(k-1),解关于x的不等式f(x)mn.,解析(1)若c0,则x1,3时,f(x)0恒成立; 若c0,则f(x)=在1,3上单调递增, 所以解得故f(x)=. (2)由题意得-+,即0, 即x(x-2k)x-(k+1)0. 当-1k0时,不等式的解集是(-,2k)(0,k+1);,当0k1时,不等式的解集是(-,0)(k+1,2k).,题型二二次函数与一元

5、二次不等式,例2(2017南通中学期中)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR且a0),若对任意实数x,不等式2xf(x)(x+1)2恒成立. (1)求f(1)的值; (2)求a的取值范围.,解析(1)令x=1,由2xf(x)(x+1)2可得 2f(1)2,所以f(1)=2. (2)由f(1)=2可得a+b+c=2,则b=2-(a+c). 因为对于一切实数x, f(x)-2x0恒成立, 所以ax2+(b-2)x+c0(a0)对于一切实数x恒成立, 所以 即,可得(a-c)20,但(a-c)20,则a=c0, 则f(x)=ax2+bx+a. 因为对于一切实数x, f(x)(x+1)2恒

6、成立. 所以x2+(b-1)x+0对于一切实数x恒成立,又因为=(b-1)2-4=(1-2a)2-(2a-1)2=0, 所以a-0,即a. 综上可得,a的取值范围是.,【方法归纳】一元二次不等式与二次函数之间的联系:当y0(0)或y0(0)或ax2+bx+c0(0).解决问题时需要两者相互联系.,2-1(2017江苏启东检测)设函数f(x)=,tR,记f(x)在区间0,3上的 最大值为g(t),当t变化时,g(t)的最小值为.,答案,解析令h(x)=x2-x+t=+t-,易知h(x)在上递减,在上递增, 所以在0,3上t-h(x)t.当t时,|t|,此时g(t)=-t;当t时, |t|,所以当

7、t=时,g(t)取得最小值,最小值为.,题型三一元二次方程与一元二次不等式,例3(2017东海高级中学月考)设关于x的一元二次方程ax2+x+1=0(a0)有两个实根x1,x2. (1)求(1+x1)(1+x2)的值; (2)求证:x1-1,且x2-1; (3)如果,试求a的最大值.,解析(1)由已知得x1+x2=-,x1x2=, 则(1+x1)(1+x2)=1+(x1+x2)+x1x2=1-+=1. (2)证明:令f(x)=ax2+x+1,由已知及=1-4a0得 00,所以f(x)的图象与x轴的交点都在点(-1,0)的左侧, 故x1-1,且x2-1. (3)由(1)知,x1=-1=-,则=-

8、. 因为,所以-, 则-.,所以a=-=-+, 故当-=时,a取得最大值,为.,【方法归纳】一元二次不等式与一元二次方程转化时需注意:不等式的解集的区间端点就是对应方程的根,但要注意不等号的方向;在一元二次方程中,综合应用判别式与韦达定理解决根的问题.,3-1(2017江浦中学期中)若关于x的不等式ax2-6x+a20的解集是(1,m),则m的值为.,答案2,解析根据不等式与方程之间的关系知,x=1为方程ax2-6x+a2=0的一个根, 则a2+a-6=0,解得a=2或a=-3.当a=2时,不等式ax2-6x+a20的解集是(1,2),符合 要求;当a=-3时,不等式ax2-6x+a20的解集

9、是(-,-3)(1,+),不符合要求, 舍去.故m=2.,题型四三个“二次”的综合问题,例4设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR),且f(1)=-,2b0且-3-; (2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点; (3)设x1,x2是函数f(x)的两个零点,则|x1-x2|.,证明(1)因为f(1)=a+b+c=-,所以3a+2b+2c=0. 又2b0,2b0,b-3a-2b2b. 因为a0,所以-30时,因为a0,所以f(1)=-0, 所以函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点; 当c0时,因为a0,所以f(1)=-0, 所以函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点

10、. 综合得函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点. (3)因为x1,x2是函数f(x)的两个零点, 所以x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根, 所以|x1-x2|=.,因为-3-,所以|x1-x2|.,【方法归纳】二次函数y=f(x)的图象与x轴的交点横坐标是二次方程f(x)=0的实根,是不等式f(x)0与f(x)0的解集的区间端点(注意能否取到等号).,4-1设A=-1,1,B=,函数f(x)=2x2+mx-1. (1)设不等式f(x)0的解集为C,当C(AB)时,求实数m的取值范围; (2)若对任意xR,都有f(1+x)=f(1-x)成立,试求xB时, f(x)的值域; (3)

11、设g(x)=|x-a|-x2-mx(aR),求f(x)+g(x)的最小值.,解析(1)AB=-1,1,因为二次函数f(x)=2x2+mx-1的图象开口向上,且=m2+80恒成立,故图象始终与x轴有两个交点.若C(AB),则这两个交点的横坐标x1,x2-1,1,所以解得-1m1. (2)因为对任意xR,都有f(1+x)=f(1-x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称, 所以-=1,故m=-4.,所以f(x)=2(x-1)2-3,所以f(x)在上为减函数. 所以f(x)min=-2, f(x)max=2,故xB时, f(x)的值域为-2,2. (3)令(x)=f(x)+g(x),则(x)=x2+|x-a|